2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一(下)期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一(下)期中数学试卷,共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一(下)期中数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)在中,已知,则角的大小为 A. B. C. D.2.(5分)设,不共线,,,,若,,三点共线,则实数的值是 A. B. C. D.3.(5分)已知,且为锐角,则 A. B. C. D.4.(5分)欧拉公式是自然对数的底数,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将复数和指数函数、三角函数紧密相联,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.当时,就有,根据上述背景知识,复数的虚部为 A.1 B. C. D.5.(5分)已知向量,,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围是 A. B. C.,, D.,,6.(5分)、分别是复数、在复平面内对应的点,是原点,若,则三角形一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7.(5分)函数,则下列结论正确的是 A.的最大值为1 B.的图象关于点对称 C.在上单调递增 D.的图象关于直线对称8.(5分)月牙泉,古称沙井,俗名药泉,自汉朝起即为“敦煌八景”之一,得名“月泉晓澈”,因其形酷似一弯新月而得名,如图所示,月牙泉边缘都是圆弧,两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分,若,南北距离的长大约,则该月牙泉的面积约为 (参考数据:A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(5分)已知向量,,,则 A. B. C. D.10.(5分)下列各式中,值为的是 A. B. C. D.11.(5分)已知与是共轭复数,以下4个命题一定正确的是 A. B. C. D.12.(5分)如图所示,设,是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与,轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为的反射坐标系,若,则把有序数对叫做向量的反射坐标,记为.在的反射坐标系中,,.则下列结论中,正确的是 A. B. C. D.在上的投影向量为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知复数满足,为虚数单位,则复数 .14.(5分)若,则 .15.(5分)中,为边的中点,为中线上的一点且,则的最小值为 .16.(5分)邳州市艾山九龙景区标志性建筑物鼎,距今已有多年的历史.它是每一位到邳州旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集多面体于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算该鼎的高度,在它的正东方向找到一座建筑物,高为,在它们之间的地面上的点,,三点共线)处测得楼顶,该鼎顶的仰角分别是和,在楼顶处测得该鼎顶的仰角为,则小明估算该标志性建筑物的高度为 .四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)若复数,是虚数单位).(1)若是纯虚数,求的值;(2)若在复平面内对应的点在第二象限,求的取值范围.18.(12分)如图,三个全等的矩形相接,且,.(1)若,求的值;(2)已知,求的值.19.(12分)如图,在中,是边的中点,,和交于点,设,.(1)用和表示向量,;(2)若,求实数的值.20.(12分)的面积为,,,的对边分别为,,且,﹣___.(1)求;(2)若,求.从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.21.(12分)在锐角中,角,,所对的边分别为,,,向量与垂直.(1)求角的大小;(2)求的取值范围.22.(12分)如图,已知扇形是一个观光区的平面示意图,其中扇形半径为10米,,为了便于游客观光和旅游,提出以下两种设计方案:(1)如图1,拟在观光区内规划一条三角形形状的道路,道路的一个顶点在弧上,另一顶点在半径上,且,求周长的最大值;(2)如图2,拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉,三角形花圃的一个顶点在弧上,另两个顶点、在半径、上,且,,求花圃面积的最大值.
2020-2021学年江苏省徐州市邳州市运河中学普通班高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【分析】已知等式利用正弦定理化简,求出三边之比,设出三边长,利用余弦定理表示出,将表示出的三边长代入求出的值,即可确定出的度数.【解答】解:在中,已知,,设,,,,由余弦定理得:,因为为三角形内角,则,故选:.2.【分析】根据,,三点共线,得到,即可求解结论.【解答】解:,,,,,三点共线,,即,,解得.故选:.3.【分析】由已知结合同角基本关系及两角和的余弦公式即可直接求解.【解答】解:因为,且为锐角,所以,则.故选:.4.【分析】利用欧拉公式,化简求解复数,推出虚部即可.【解答】解:因为,所以复数.所以复数的虚部为1.故选:.5.【分析】利用向量夹角为钝角,得到数量积小于0并且排除反向的情况.【解答】解:因为向量,,若与的夹角为钝角,并且,即且,解得且;故选:.6.【分析】利用复数的几何意义,结合向量的性质进行判断即可.【解答】解:设复数、在复平面内对应的向量为,,则由,得,,则向量,为邻边的平行四边形为矩形,则角形一定是直角三角形,故选:.7.【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后判断选项的正误即可.【解答】解:函数,所以的最大值为2,所以不正确;时,,所以的图象关于点对称,所以不正确;由,可得,时,函数是增函数,所以函数在上单调递增,所以正确;时,,所以的图象关于点对称,所以的图象不关于直线对称,所以不正确.故选:.8.【分析】由题意,求出内侧圆弧所在圆的半径,利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积,再求出以为直径的半圆的面积,相减即可.【解答】解:设的外接圆半径为,则,,又月牙内弧所对的圆心角为,内弧的弧长,弓形的面积为,以为直径的半圆的面积为,则该月牙形的面积为,故选:.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【解答】解:向量,,,,不平行,故排除;,,,故,故正确;,故不正确;,故正确,故选:.10.【分析】直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果.【解答】解:对于,故正确;对于,故错误;对于,故正确;对于,故错误;故选:.11.【分析】由虚数与实数不能比较大小判定;设,则,然后逐一核对即可.【解答】解:由虚数与实数不能比较大小判定错误;设,则,则,,,故正确;,故正确;,若,则,故错误.故选:.12.【分析】利用已知题意以及向量模,投影向量的求法对应各个选项逐个求解即可.【解答】解:选项:因为,则,故正确,选项,故正确,选项,故错误,选项:设在上的投影向量为,则,因为,所以,则,故正确,故选:.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【解答】解:,,.故答案为:.14.【分析】由题意利用两角差的正弦公式,求得要求式子的值.【解答】解:若,则,故答案为:.15.【分析】因为点在线段上,则由向量共线定理可设:,,然后根据平面向量基本定理表示出向量,由此求出,,然后根据基本不等式即可求解.【解答】解:因为点在线段上,则由向量共线定理可设:,因为,所以,则,当且仅当,即时取等号,此时的最小值为9,故答案为:9.16.【分析】中求得,在中运用正弦定理求得,解求得的值.【解答】解:在中,.在中,,,所以,由正弦定理,,故,在中,.所以小明估算该标志性建筑物的高度为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【分析】(1)由实部为0且虚部不为0求解的值;(2)由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解.【解答】解:(1)是纯虚数,,解得,,的值为;(2)在复平面内对应的点在第二象限,,解得,,的取值范围是.18.【分析】(1)由已知先求出,,然后结合两角和的正切公式即可求解;(2)由已知,结合两角和的正切公式展开即可求解.【解答】解:(1)如图,若,则,所以,,(2)由图可得,,因为,所以即,化简得,,所以,所以的值为119.【分析】(1)根据平面向量加减运算的三角形法则进行表示;(2)设,用表示出,求出的值.【解答】解:(1);.(2)设,则,又,,解得.20.【分析】(1)根据条件可得出,然后可求出,从而求出;(2)若选①,根据余弦定理即可求出的值;若选②根据正弦定理即可求出的值;若选③,根据余弦定理即可求出的值.【解答】解:(1)在中,,,即,且,;(2)若选①:则在中,由余弦定理,得,解得或(舍去),;若选②:,则,由正弦定理,得,解得;若选③:,由余弦定理得,,解得或(舍去),.21.【分析】(1)利用向量垂直的坐标运算,正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式可得,结合范围,可得的值.(2)由(1)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,由题意可求范围,进而根据正切函数的性质即可求解其范围.【解答】解:(1)因为向量与垂直,所以,在中,由正弦定理得,,所以,化简得,,即,又因为,,所以,又因为,所以.(2)由(1)可知,因为是锐角三角形,所以,所以,所以,所以所以的取值范围为.22.【分析】(1)由已知可得,又,设,,利用正弦定理求得,,作和后利用三角函数求最值;(2)由已知结合余弦定理求解的最大值,代入三角形面积公式求解.【解答】解:(1),,,又,设,,在中,由正弦定理可知,,,,的周长,.化简得.时,的周长有最大值为米.答:周长的最大值为米;(2)图2中与图1中面积相等,而在中,,,,.由余弦定理知,,,,当且仅当时取“”.平方米.答:花圃面积的最大值为平方米,此时米.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/3/11 19:17:45;用户:高中数学6;邮箱:tdjyzx38@xyh.com;学号:42412367
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