2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）的值为　　A．1 B． C． D．2．（5分）若复数，则　　A． B．2 C． D．3．（5分）已知，是不共线的向量，，，且，，三点共线，则　　A． B． C．或1 D．或24．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．（5分）若，则　　A．2 B． C． D．16．（5分）在等腰直角三角形中，，，，则　　A． B． C．3 D．7．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则　　A．2 B．4 C． D．8．（5分）在中，角，都是锐角，且，则的最大值是　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．9．（5分）1797年，丹麦数学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，从而使复数及其运算具有了几何意义．若，则复数为虚数单位）在复平面内对应的点可能在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（5分）若向量，满足，，与的夹角为，则以下正确的是　　A． B． C． D．与的夹角为11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．12．（5分）在中，，是上的两个三等分点，若，，则下列结论中正确的有　　A． B． C． D．的长度为3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，则　　．14．（5分）计算　　．15．（5分）已知函数，则函数的一条对称轴的方程为 　　．16．（5分）在平面几何图形中，把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图，在垂美四边形中，，，，．（1）边的长为 　　；（2）若，分别是线段，上的点，且，则的最大值为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．18．（12分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数的值；（2）求向量与夹角的余弦值．19．（12分）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答：①；②；③．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_____，，，求的面积．20．（12分）某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为30海里小时．（Ⅰ）求点到点的距离；（Ⅱ）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．21．（12分）如图，在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，且．（1）若，求的长；（2）若，求及的长．22．（12分）已知向量，，函数．（1）当时，求函数的值；（2）若不等式对所有，恒成立，求实数的范围．
2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】利用两角和与差的正弦函数公式，把原式整理成的形式，利用特殊角的三角函数值，求得答案．【解答】解：故选：．2．【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．【解答】解：，．故选：．3．【分析】，，三点共线，可得存在实数使得，即可得出．【解答】解：，，三点共线，存在实数使得，，，解得或2．故选：．4．【分析】首先利用正弦定理和三角函数关系式的变换，进一步利用分类讨论思想的应用求出结果．【解答】解：在中，角，，所对的边分别为，，，若，利用正弦定理得：，整理得：，化简得：，则：，则：或，利用正弦定理整理得：．由于，所以．故选：．5．【分析】利用“弦化切”及其平方关系即可进行求解．【解答】解：，则．故选：．6．【分析】利用向量的数量积公式，转化求解即可．【解答】解：在等腰直角三角形中，，，，所以，，则．故选：．7．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于，，所以，所以．故选：．8．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的值，基本关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：中，角，都是锐角，且，整理得：，化简得：；故．当且仅当时，等号成立．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．9．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，当，且，解得，此时复数表示的点位于第一象限，当，且，解得，此时复数表示的点位于第二象限，当，且，解得，此时复数表示的点位于第一象限，当，且时，此时无解，综上所述复数在复平面内对应的点可能在第一，二，三象限．故选：．10．【分析】，由平面向量数量积的运算法则，即可判断；，计算 的值后，即可判断；，计算的值，看是否等于0；，与的夹角和与的夹角相同．【解答】解：对于，，即正确；对于，，，即正确；对于，，即错误；对于，与的夹角和与的夹角相同，应为，即正确．故选：．11．【分析】结合二倍角公式和正弦定理可知的值，再由同角三角函数的平方关系求出的值；利用余弦定理可列得关于的方程，解之即可；由，可得的面积．【解答】解：，，，，对：由正弦定理知，，可得，可得，，即选项正确；对：由正弦定理知，，可得，故选项正确；对，，即，解得，或，若，则，此时，与题意不符，，故选项错误；对的面积，即选项错误．故选：．12．【分析】选项，由，结合平面向量的线性运算法则，用基底，表示即可；选项，由，结合平面向量的线性运算法则，用基底，表示即可；选项，先用基底，表示，再由，即可得解；选项，利用，计算的值，即可得解．【解答】解：选项，，即错误；选项，，即正确；选项，由选项知，，而，，，，即正确；选项，由选项知，，，，，是上的两个三等分点，，即正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．【分析】直接利用正弦定理代入数据计算即可．【解答】解：由正弦定理可得，故答案为：．14．【分析】利用两角差的正切公式把要求的式子化为，从而求得结果．【解答】解：，故答案为：．15．【分析】先利用二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，然后由正弦函数的对称轴方程列式求解即可．【解答】解：函数，令，解得，所以函数的一条对称轴的方程为．故答案为：（答案不唯一）．16．【分析】（1）设，由，结合平面向量的线性运算和数量积运算，可求得，再利用，两边平方，化简运算即可；（2）由（1）可知四边形为等腰梯形，设，结合平面向量的数量积运算和基本不等式，可得解．【解答】解：（1）设，由题意知，，，，即，解得，，，．（2）由（1）知，，四边形为等腰梯形，，，不妨设，则，，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为．故答案为：（1）；（2）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换求出函数的值；（2）利用角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知，且，所以：，故．  （2）由（1）得：，故．18．【分析】（1）根据平面向量的线性坐标运算，求得和，再结合数量积为0，即可得解；（2）写出向量和，再由平面向量的夹角公式，即可得解．【解答】解：（1），，，，与垂直，，即，解得．（2）由题意知，，，设向量与夹角为，，故向量与夹角的余弦值为．19．【分析】利用正弦定理，结合两角和的正弦公式求出角，再利用余弦定理求出，最后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：若选择条件①：根据正弦定理，由，得，即，，又，，由余弦定理得，，解得，；若选择条件②：根据正弦定理，由，得，，即，由于，则，，即，又，，以下同选择条件①；若选择条件③：根据正弦定理，由，得，即，由于，则，，又，，以下同选择条件①．20．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，求出，（Ⅱ）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间．【解答】解：（Ⅰ）由题意知海里，，，，（2分）在中，由正弦定理得，（海里）（6分）（Ⅱ）在中，，（8分）（海里），由余弦定理得，（10分）（海里），则需要的时间（小时）．（11分）答：救援船到达点需要1小时．（12分）21．【分析】（1）在，中，分别应用余弦定理，结合，可求的值，根据即可求解的值．（2）在中，由余弦定理求得，再在中，由余弦定理可得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可得解；【解答】解：（1）由题意，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以两式相加得，即，解得，所以．（2）在中，由余弦定理知，，，化简得，解得，是的中点，，在中，由余弦定理知，，，，，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，．22．【分析】（1）代入，结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解；（2）令，，则，原问题等价于不等式对所有，恒成立，再参变分离，结合基本不等式求最值，即可得解．【解答】解：（1），当时，．（2），不妨令，则，此时，，，，，，，原问题等价于不等式对所有，恒成立，，，，，当且仅当，即时，等号成立，此时，，故实数的范围为，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/11 19:19:21；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367