2020-2021学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知是虚数单位，则　　A． B． C． D．2．（5分）在中，，，，则　　A． B． C． D．3．（5分）下列命题正确的是　　A．空间不同三点确定一个平面 B．三条两两相交的直线在同一平面内 C．垂直于平面内无数条直线的直线与该平面垂直 D．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行4．（5分）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为　　A． B． C． D．5．（5分）如图，平面内有三个向量，，，其中与与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则的值为　　A．3 B．6 C．9 D．126．（5分）在空间四边形中，，，分别为，的中点，若与所成的角为，则与所成角的大小为　　A． B． C．或 D．以上都不正确7．（5分）已知，则　　A． B． C． D．8．（5分）已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则过点，，的截面的周长为　　A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）已知点，，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则10．（5分）已知为复数，且为纯虚数，则　　A． B．的实部为0时， C．的最大值为3 D．，11．（5分）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则　　A．，，三点共线 B．直线与的夹角为 C．直线与平面所成的角为 D．二面角的大小为12．（5分）在中，，角的平分线交于点，且，则下列说法正确的是　　A．若，则的面积为 B．若， C．若，则 D．的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知两点，，则与同向的单位向量是　 　．14．（5分）已知，则的值为　　．15．（5分）函数的最大值为　　．16．（5分）已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数，其中为虚数单位，，．（1）求，的值；（2）若复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求的面积．18．（12分）在平行四边形中，．（1）若向量与的夹角为，求；（2）若，求向量与的夹角．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点．求证：（1）直线平面；（2）直线平面．20．（12分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．（1）当时，求四边形的周长；（2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？21．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知向量，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的最大值及取得最大值时的值．22．（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为底面直径．已知，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．
2020-2021学年江苏省徐州一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据复数的四则运算进行化简即可直接求解．【解答】解：．故选：．2．【分析】利用正弦定理直接求解正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：在中，，，，，则，可得．故选：．3．【分析】直接利用平面的性质，线面垂直的判定和性质的应用判定、、、的结论．【解答】解：对于：空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；对于：三条两两相交但是不经过同一点的直线在同一个平面内，故错误；对于：垂直于平面内任意一条直线的直线与该平面垂直，故错误；对于：过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故正确；故选：．4．【分析】根据题意画出原平面图形，结合图形即可判断该图形的形状，然后再求解面积即可．【解答】解：在直观图中，设与交于点，则，，，在原图形中，，，，因为，，所以原图形是平行四边形，如图所示，其面积为．故选：．5．【分析】过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，由题意可知，在中，利用边角关系可求出，的长，又，所以，，即可求出结果．【解答】解：如图所示：，过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，与的夹角为，与的夹角为，，，在中，，，又，，，，，，，，故选：．6．【分析】取的中点，连接与，则与（异面直线）所成角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小．【解答】解：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成角为，，，或，而，则，或．与所成的角是或．故选：．7．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】解：，则，故选：．8．【分析】利用线面平行的判定和性质做两面交线，由此能求出结果．【解答】解：由平面，知平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，正方体的棱长为1，截面周长为：故选：．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．【分析】由直线在平面内的定义判断；由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断；直接证明正确；由两平面平行的判定判断．【解答】解：若，，则，故正确；若，，则或，故错误；若，则垂直于内两条相交直线与，又，由异面直线所成角的概念，可得垂直也垂直，则，故正确；若，，，，则或与相交，故错误．故选：．10．【分析】设，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0可得且，判断正确；由求得值，再求判断；由复数模的几何意义数形结合判断；由，结合的范围求解的范围判断．【解答】解：设，则，为纯虚数，且．，故正确；的实部为0时，，则，，则，故错误；由且，可得的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆去掉点，，如图，的最大值为3，故正确；，，，则，，即，，故正确．故选：．11．【分析】连接，，可知与平面的交点必在上，由此判断选项；直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角，由此容易判断选项；分析可知即为与平面所成角，计算可得，由此可判断选项；即为二面角的大小，计算可得，由此判断选项．【解答】解：如图，连接，，可知平面平面，与平面的交点必在上，即，，三点共线，选项正确；显然，故直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角，在正方体中，易知△为正三角形，则，选项正确；在平面的射影为，，，同理，又，且平面，平面，平面，即为与平面所成角，又，故，选项错误；平面，平面，，，，平面，平面，平面，又平面，故，连接，则即为二面角的大小，又，则，，则，于是，选项正确．故选：．12．【分析】由已知结合正弦定理，和差角公式及同角基本关系进行变形，分别检验各选项即可判断、、、的结论．【解答】解：因为为的平分线，，所以，对于：若，在中，由余弦定理得：，，，为等腰三角形，，，故正确；对于：若，在中，，，由正弦定理得，，故正确；对于：若，可得，在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得，，，在中，由正弦定理得，，，，故错误；对于：设，则，，因为，所以，，故，所以，令，所以．故有最小值时，为，故错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】求出，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：，，，与同向的单位向量是，，．故答案为：，．14．【分析】由，利用二倍角公式化简，再用弦化切公式计算即可．【解答】解：因为，所以，故答案为：3．15．【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的最大值．【解答】解：函数．当时，函数的最大值为．故答案为：．16．【分析】利用正方体的棱与棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，截此正方体所得截面最大值为：．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得与的值；（2）分别求出，，的坐标，再求出及到的距离，代入三角形面积公式求解．【解答】解：（1）由，得，即，解得，；（2）由（1）得，，，，，，，，如图，则，到的距离为，则．18．【分析】（1）设，，由已知可得，两边取模再平方，即可得到关于的方程，求解得答案；（2）由得，展开单项式乘多项式，再由数量积运算求解向量与的夹角．【解答】解：（1）设，，则，，①向量与的夹角为，，则①式化为，即，解得，即；（2），，，，即，解得，又，，．即向量与的夹角为．19．【分析】（1）根据题意，取的中点，连接、，由中位线定理可得且，分析可得四边形是平行四边形，则有，由线面平行的判定定理可得证明；（2）由线面垂直的性质可得，又由底面是矩形，则，由线面垂直的判定定理可得证明．【解答】证明：（1）根据题意，取的中点，连接、，是的中点，是的中点，则且，则四边形是平行四边形，则有，又由不在平面中，而在平面中，则有直线平面；（2）平面，则，又由底面是矩形，则，而，故直线平面．20．【分析】（1）结合已知利用余弦定理可求，即可得到所求四边形的周长；（2）先由余弦定理求，再由三角形的面积公式和等边三角形的面积公式，结合辅助角公式和正弦函数的最值，可得所求结论．【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，即，于是四边形的周长为；（2）在中，由余弦定理得，所以，，于是四边形的面积为，当，即时，四边形的面积取得最大值．21．【分析】（1）由已知结合数量积的坐标运算可得，再由的范围求得角；（2）由正弦定理把、用含有角的三角函数表示，再由辅助角公式化积，然后利用三角函数求最值．【解答】解：（1）由，，，且，得，即，，整理得，得，，又，，即；（2），，则．又，，得，，，其中，．当时，取最大值为，此时，即，由，得．22．【分析】（1）利用正弦定理易得的边长，再利用勾股定理可得，，由此即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量夹角公式即可得解．【解答】解：（1）证明：设的边长为，则，解得，在中，，同理，，由于，，故，，又，且平面，平面，平面；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，故，，即二面角的余弦值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/11 19:16:40；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367