2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知是第二象限角，且，则的值是　　A． B． C． D．2．（5分）若幂函数的图象过点，则　　A． B． C． D．3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为　　A． B．， C．， D．4．（5分）函数的大致图象是　　A． B． C． D．5．（5分）函数的零点个数是　　A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知偶函数在，上单调递增，若，，，则　　A． B． C． D．7．（5分）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为　　A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙8．（5分）已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为　　A． B． C．6 D．10二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）若函数且在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　A． B． C． D．310．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有　　A．4 B．5 C．6 D．711．（5分）如图是函数的部分图象，则　　A． B． C． D．12．（5分）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法中正确的有　　A．是周期函数 B．在区间上是减函数 C．关于的方程有实数解 D．的图象关于点对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的值为 　　．14．（5分）半径为，面积为的扇形的圆心角为 　　弧度．15．（5分）已知函数，且关于的方程在区间上有唯一解，则的取值范围是 　　．16．（5分）德国数学家康托创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为　　，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为 　　．（参考数据：，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，集合，设集合．（1）求；（2）当时，求函数的最小值．18．（12分）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：（1）；（2）．19．（12分）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象．（1）直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．（1）求的解析式；（2）用定义证明为上的增函数，并求在，上的值域．21．（12分）已知函数，．（1）若，求的最小值（a）；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围．22．（12分）已知函数，．（1）求证：为上的偶函数；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知是第二象限角，且，则的值是　　A． B． C． D．【解答】解：是第二象限角，且，由，可得．故选：．2．（5分）若幂函数的图象过点，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，代入点的解析式得：，解得：，故，故选：．3．（5分）已知集合，，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为　　A． B．， C．， D．【解答】解：集合，，，若是的充分不必要条件，则有，当时，得，故，当时，集合不能真包含于，故无解，综上，实数的取值范围为．故选：．4．（5分）函数的大致图象是　　A． B． C． D．【解答】解：，则是奇函数，图象关于原点对称，排除，，当，，排除，故选：．5．（5分）函数的零点个数是　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数，当时，令，解得，当时，令，解得，函数的零点有2个，故选：．6．（5分）已知偶函数在，上单调递增，若，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为是偶函数，所以（1），，因为，，所以，因为在，上单调递增，所以（1），即．故选：．7．（5分）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为　　A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙【解答】解：设提价前的价格为1，则甲提价后的价格为：，乙提价后的价格为：，丙提价后的价格为：，因为，所以，所以，即乙甲丙，故选：．8．（5分）已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为　　A． B． C．6 D．10【解答】解：令，则，所以是奇函数，则可化为，即（a），因为在上单调递减，所以在上恒成立，则，令，则，，则在，上单调递减，所以当时取得最小值为10，所以，解得，所以实数的最小值为．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）若函数且在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　A． B． C． D．3【解答】解：且在区间，上单调函数，，，或，即或，故选：．10．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，解可得，所以四个选项中符合条件的实数的取值可以是4，5，6．故选：．11．（5分）如图是函数的部分图象，则　　A． B． C． D．【解答】解：若，根据函数的部分图象，可得，由，求得．再结合五点法作图，可得，，故函数的解析式为．若，根据函数的部分图象，可得，由，求得．再结合五点法作图，可得，，故据函数．故选：．12．（5分）已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法中正确的有　　A．是周期函数 B．在区间上是减函数 C．关于的方程有实数解 D．的图象关于点对称【解答】解：对于，所以是以为周期的周期函数，故正确；对于：因为在上为减函数，在上为增函数，根据复合函数单调性同增异减原则，可得在上为减函数，同理在上为增函数，所以在上为增函数，所以在上是减函数，故正确；对于：因为，，，，所以，，当且仅当，时方程有解，即且时方程有解，此时且，无法同时满足，所以关于的方程没有实数解，故错误；对于，，所以，即的图象关于点对称，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的值为 　　．【解答】解：．故答案为：．14．（5分）半径为，面积为的扇形的圆心角为 　　弧度．【解答】解：扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数满足，解得．故答案为：．15．（5分）已知函数，且关于的方程在区间上有唯一解，则的取值范围是 　，　．【解答】解：，，，设，则，作出函数的图象，则当时，，当时，，则要使在区间上有唯一解，则或，即的取值范围是，，故答案为：，．16．（5分）德国数学家康托创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间，均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为　　，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为 　　．（参考数据：，．【解答】解：第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为；由题意可知，，故答案为：；10．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，集合，设集合．（1）求；（2）当时，求函数的最小值．【解答】解：（1）集合，集合，或，集合．（2）当时，，函数．当且仅当，即时，取等号，当时，求函数的最小值为8．18．（12分）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得：，可得．（2）．19．（12分）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象．（1）直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线的图象，即，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象；所以函数的最小正周期为，令，整理得：，所以函数的单调递增区间为．（2）由于，所以；由于不等式对恒成立，所以，整理得．故实数的取值范围为．20．（12分）设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．（1）求的解析式；（2）用定义证明为上的增函数，并求在，上的值域．【解答】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，可得①，且其图象经过点，可得（1）②，联立①②，解得，，所以，，满足是奇函数，所以的解析式为．（2）证明：设任意，且，则，因为，所以，所以，，，所以，，所以为上的增函数，在，上单调递增，，（2），所以在，上的值域为，．21．（12分）已知函数，．（1）若，求的最小值（a）；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围．【解答】解：因为函数，因为，所以，，令，则，，则，又因为，所以，当，即时，则在，上单调递减，在，上单调递增，故在，上的最小值为（a），当即时，在，上单调递减，故在，上的最小值为（a）（1），综上所述：（a），（2）因为关于的方程在上有解，即关于的方程在上有解，所以在上有解，因为，所以，，令，，则，因为在，上单调递增，则，，故的取值范围是，．22．（12分）已知函数，．（1）求证：为上的偶函数；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．【解答】证明：（1）函数，定义域为，关于原点对称，，函数为上的偶函数．解：（2），函数在上只有一个零点，关于的方程有唯一的实数解，即方程有唯一的实数解，即，化简得，令，下面研究关于的方程，①当时，，符合题意；②当时，则△，且，方程有异号的两个实根，符合题意；③当时，则，故只需，解得，此时方程有两个相等的正根，符合题意；综上所述，实数的取值范围，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/1 9:04:00；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367