2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　A．，，0， B．，0，1， C．， D．，2．（5分）“”是“”的　　A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则　　A． B． C． D．4．（5分）在平面直角坐标系中，，是角终边上一点，与原点之间距离为，比值叫做角的正割，记作；比值叫做角的余割，记作；比值叫做角的余切，记作．四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是　　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，6．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，在，上递增，且（2），则不等式的解集是　　A．，， B．，， C．，， D．，，7．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．8．（5分）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等，目视星等和观测距离（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为，在地球某地测得天狼星的目视星等为，老人星的目视星等为，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为　　，A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列函数中是奇函数的是　　A． B． C． D．10．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．11．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．12．（5分）已知函数，的一个对称中心为，，则下列说法正确的是　　A．越大，的最小正周期越小 B．当时，是偶函数 C．当时，， D．当时，在区间，上具有单调性三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．（5分）若，则　　．14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　．①定义域为；②；③（1）．15．（5分）若，且，，，则的最小值为 　　．16．（5分）分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形与地面的唯一接触点恰好是弧的中点，已知正三角形的边长为，动点从处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点在（单位：秒）时距离地面的高度为（单位：，则当秒时，　　；当时，　　（用表示）四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）若，求的值；（2）计算：．18．（12分）已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并证明．19．（12分）已知函数，，的图象如图所示．（1）求，，的值；（2）当，时，求函数的最值以及取得最值时的值．20．（12分）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额（单位：千元）与销售人数之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为，每月线下门店和线上销售总额为（单位：千元），（1）求关于的函数关系式；（2）线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？21．（12分）在下列两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并回答问题．①为自变量，为关于（即的函数，记为；②为自变量，为关于（即的函数，记为．问题：对于等式，若视为常数，______，且函数的图象经过．（1）求的解析式，并写出的单调区间；（2）解关于的不等式．22．（12分）已知函数．（1）若关于的方程在区间上有三个不同解，，，求与的值；（2）对任意，，都有，求的取值范围．
2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　A．，，0， B．，0，1， C．， D．，【解答】解：集合，，0，1，，，，．故选：．2．（5分）“”是“”的　　A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：由可得：，而由可得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：．3．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则　　A． B． C． D．【解答】解：函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象．故选：．4．（5分）在平面直角坐标系中，，是角终边上一点，与原点之间距离为，比值叫做角的正割，记作；比值叫做角的余割，记作；比值叫做角的余切，记作．四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是　　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：当甲：错误时，乙：正确，此时，，，则，或，丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；甲：，从而，，，，此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，丙和丁应该同号，乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，，，，，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．故选：．5．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，【解答】解：若命题“，”是真命题，即有解，对应的判别式△，即△，解得，故选：．6．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，在，上递增，且（2），则不等式的解集是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：函数是定义在上的偶函数，在，上递增，（2），函数在上为减函数，且（2），作出函数的草图，如图所示：则不等式等价为或，解得或，即不等式的解集为，，．故选：．7．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．8．（5分）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等，目视星等和观测距离（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为，在地球某地测得天狼星的目视星等为，老人星的目视星等为，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为　　，A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467【解答】解：设地球与天狼星的距离为，地球与老人星的距离为，由题意可得，，，，故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列函数中是奇函数的是　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，，不是奇函数，不符合题意，对于，设，其定义域为，有，是奇函数，符合题意，对于，，是奇函数，符合题意，对于，设，有，解可得，即函数的定义域为，且，函数是奇函数，符合题意，故选：．10．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，又，，，故正确；，故错误；又，故正确；，故错误，故选：．11．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．【解答】解：对于，，，，即，故错误，对于，，，，，，，故正确，对于，，，，故正确，对于，，，，即，，即，故错误．故选：．12．（5分）已知函数，的一个对称中心为，，则下列说法正确的是　　A．越大，的最小正周期越小 B．当时，是偶函数 C．当时，， D．当时，在区间，上具有单调性【解答】解：函数，的一个对称中心为，，，，即，，又，越大，的最小正周期越小，故正确；当时，，取偶数时，不是偶函数，故错误；当时，由，得，，，故正确；由于，，，不妨令，由，得，，，，，故在区间，上单调递减；同理可得，当，由，得，，，，，故在区间，上单调递减；即当时，在区间，上单调递减，故正确；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．（5分）若，则　　．【解答】解：，，．故答案为：．14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　（答案不唯一）　．①定义域为；②；③（1）．【解答】解：函数的定义域为，满足，且（1）．故答案为：（答案不唯一）．15．（5分）若，且，，，则的最小值为 　2　．【解答】解：由已知且，，，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为2，故答案为：2．16．（5分）分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形与地面的唯一接触点恰好是弧的中点，已知正三角形的边长为，动点从处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点在（单位：秒）时距离地面的高度为（单位：，则当秒时，　　；当时，　　（用表示）【解答】解：，当时，走过的路程为，由于，故此时走到了的中点，则，又，所以，当时，在上移动，其路程为，由，可得，所以到边的距离为，故．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）若，求的值；（2）计算：．【解答】解：（1）因为，所以；（2）．18．（12分）已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并证明．【解答】解：（1）函数是上的奇函数，，；（2）由（1）可得函数，再根据在上是增函数，且在上是增函数，在上是减函数，可得函数在上是增函数，证明：，，且，，即，所以在上是增函数．19．（12分）已知函数，，的图象如图所示．（1）求，，的值；（2）当，时，求函数的最值以及取得最值时的值．【解答】解：（1）根据函数的图象，，故，故，所以，由于，所以；故，由于，故，解得，所以，，．（2）由于，且，，故，故，即当时，函数取得最大值为1，当时，函数的最小值为．20．（12分）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额（单位：千元）与销售人数之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为，每月线下门店和线上销售总额为（单位：千元），（1）求关于的函数关系式；（2）线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？【解答】解：（1）由题意可知当时，；当时，，；（2）由（1）知当时，单调递增，当时，取最大值900；当时，，当且仅当，即时取等号，故线上安排40人时，合作社月销售额最大，最大值为1100千元．21．（12分）在下列两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并回答问题．①为自变量，为关于（即的函数，记为；②为自变量，为关于（即的函数，记为．问题：对于等式，若视为常数，______，且函数的图象经过．（1）求的解析式，并写出的单调区间；（2）解关于的不等式．【解答】解：选①，则有，所以，代入得：，（1），，为上的偶函数，在上单调递增；在，上单调递减；（2），令，则原不等式等价于：，△，令，得：（舍，，所以，即，解得，所以解集为：．选②则有，所以有，代入得，（1）所以，所以为偶函数，在上单调递减，在上单调递增；（2），当时，，解集为，；当时，，解集为；当时，，解集为，．22．（12分）已知函数．（1）若关于的方程在区间上有三个不同解，，，求与的值；（2）对任意，，都有，求的取值范围．【解答】解：（1），设，则在区间上，，则函数等价为，若方程有三个不同解，，，则方程有两个不同的根，其中，，则，得，由得，由，知两个解，，关于对称，即，则．（2）当，时，，，要使恒成立，即得，得，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，，当且仅当，即时取等号，此时，当时，，当，时，函数为减函数，则当时，，此时，综上实数的取值范围是，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/1 9:03:08；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367