2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知全集，2，3，4，，，，，，则　　A． B．， C．，2，4， D．，2，3，2．（5分）函数的定义域是　　A．， B．，， C．，， D．，3．（5分）　　A． B． C． D．4．（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）已知某函数的图象如图，则该函数的解析式可能是　　A． B． C． D．6．（5分）已知偶函数在，上是增函数，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．7．（5分）已知函数的图象恒过点，正实数，满足，则的最小值是　　A．9 B．12 C．3 D．68．（5分）设函数，，其中是自然对数的底数，若对任意，，都存在，使得，则实数的最大值为　　A．0 B．1 C． D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9．（5分）下列说法正确的有　　A．“”是真命题 B．“，”是假命题 C．的充要条件是 D．是的充分不必要条件10．（5分）已知，，是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有　　A． B．若，则 C．若，则 D．若，．则11．（5分）已知函数，则　　A．当时，的最小正周期是 B．当时，的值域是 C．当时，为奇函数 D．对，的图象关于直线对称12．（5分）已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　A． B． C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．（5分）若幂函数的图象过点，则　　．14．（5分）设，则　　．15．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，且（2），则不等式的解集为 　　．16．（5分）已知为正数，函数在区间，和，上的最大值分别记为和，若，则　　，的取值范围为 　　．四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）17．（10分）已知“，方程有实根”是真命题．（1）求实数的取值集合；（2）设，关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．18．（12分）已知的最小正周期为，______．在①的图象过点，②的图象关于直线对称，③的图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题．（1）求函数的解析式；（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，．（1）若点的纵坐标为，求的值；（2）若，求的值．20．（12分）已知函数，，．（1）求的值域；（2）若对，，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．（1）若，求养殖区域面积的最大值；（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．22．（12分）已知函数满足．（1）求的值；（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且．
2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知全集，2，3，4，，，，，，则　　A． B．， C．，2，4， D．，2，3，【解答】解：由全集，2，3，4，，，，，，，，2，4，，故选：．2．（5分）函数的定义域是　　A．， B．，， C．，， D．，【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．函数的定义域是，，．故选：．3．（5分）　　A． B． C． D．【解答】解：，故选：．4．（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点在第四象限，，，角的终边在第二象限，故选：．5．（5分）已知某函数的图象如图，则该函数的解析式可能是　　A． B． C． D．【解答】解：由图象知函数为奇函数，排除，，函数的零点只有一个0，排除，故选：．6．（5分）已知偶函数在，上是增函数，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：因为偶函数在，上是增函数，所以在上单调递减，所以，又，所以（3），故．故选：．7．（5分）已知函数的图象恒过点，正实数，满足，则的最小值是　　A．9 B．12 C．3 D．6【解答】解：根据题意，函数恒过，，，，又，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6．故选：．8．（5分）设函数，，其中是自然对数的底数，若对任意，，都存在，使得，则实数的最大值为　　A．0 B．1 C． D．【解答】解：因为，，，所以，，又因为对任意，，都存在，使得，所以的值域包含，，所以，．若，则，存在；若，则，即，所以．若，则，即，所以．综上所述：．故选：．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9．（5分）下列说法正确的有　　A．“”是真命题 B．“，”是假命题 C．的充要条件是 D．是的充分不必要条件【解答】解：对于，故错误；对于：当时，，故正确；对于，故成立的充要条件是，故正确；对于：当时，，反之不一定成立，故错误．故选：．10．（5分）已知，，是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有　　A． B．若，则 C．若，则 D．若，．则【解答】解：对于，，当且仅当时，等号成立，，故正确，对于，，当且仅当时，等号成立，故正确，对于，令，，满足，但，故错误，对于，，，，即，故正确．故选：．11．（5分）已知函数，则　　A．当时，的最小正周期是 B．当时，的值域是 C．当时，为奇函数 D．对，的图象关于直线对称【解答】解：对于：当时，函数，所以函数的最小正周期为，故正确；对于，当时，，的值域为，，故正确；对于，当时，，则，故，即不是奇函数，故错误；对于，，，则的图象关于直线对称，故正确．故选：．12．（5分）已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：画出函数与函数的图像如下：在，上单调递减，值域，；在，上单调递增，值域，；在，单调递减，值域，；在，单调递增，值域，．则有，，即，选项判断错误；方程有四个不同的实数解，则有，选项判断正确；由在，上单调递减，值域，，（e），，可知，选项判断正确；由，可知，又，则有，故选项判断正确．故选：．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）13．（5分）若幂函数的图象过点，则　　．【解答】解：设幂函数为，因为图象过点，则，所以，．所以．故答案为．14．（5分）设，则　　．【解答】解：原式，又因为，所以原式，故答案为：．15．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，且（2），则不等式的解集为 　　．【解答】解：由可得又（2），则（4）（4）（2）（2）（2）设任意，，且，则，又当时，，则即，故函数在上为减函数．则不等式，等价于，解得，故答案为：．16．（5分）已知为正数，函数在区间，和，上的最大值分别记为和，若，则　1　，的取值范围为 　　．【解答】解：由于函数在区间，和，上的最大值分别记为和，若，则，，因为，所以，，所以，，矛盾，故，又，所以，所以，于是得，所以，，结合，所以，，所以．故答案为：1；，．四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）17．（10分）已知“，方程有实根”是真命题．（1）求实数的取值集合；（2）设，关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．【解答】（1）若，方程有实根是真命题，则△，所以，因此，．（2）因为，所以，，所以不等式的解集，若是的充分条件，则是的子集，所以，解得，所以的取值范围是，．18．（12分）已知的最小正周期为，______．在①的图象过点，②的图象关于直线对称，③的图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题．（1）求函数的解析式；（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．【解答】解：（1）若选①：（1）由已知得，则，于是，因为图象过点，所以，由，得，所以，即，故．若选②：由已知得，则，于是．因为图象关于直线对称，所以，即，又因为，所以，故．若选③：由已知得，则，于是．因为图象关于点，对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，令，可得．故的单调递增区间为．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，．（1）若点的纵坐标为，求的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由三角函数定义可知，又，所以，所以，所以；（2）因为，由得，所以，所以，，所以．20．（12分）已知函数，，．（1）求的值域；（2）若对，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）令，当，时，，（2分）则可将原函数转化为，当时，；当时，．所以在，上的值域为．（5分）（2）关于的不等式对，恒成立，由（1），对恒成立，所以，所以，（8分）因为（当且仅当，即时，等号成立），所以在上为减函数，在上为增函数，（10分）又在上的最大值为，因此实数的取值范围为，即，．（12分）21．（12分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．（1）若，求养殖区域面积的最大值；（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．【解答】（1）时，，所以，又因为（当且仅当时等号成立），所以，于是，因此，养殖区域面积的最大值为．（2）由题意，，所以，所以的周长，其中．设，则，所以．所以，于是当时，，因此，观赏长廊总长的最小值为．22．（12分）已知函数满足．（1）求的值；（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且．【解答】解：（1）根据题意，函数满足，所以，即，解得；（2）证明：由题意可知函数的图象在上连续不断．①当，时，因为与在，上单调递增，所以在，上单调递增．又因为，（1），则有．根据函数零点存在定理，存在，使得．所以在，上有且只有一个零点．②当，时，，所以，所以在，上没有零点．③当时，，所以，所以在上没有零点．综上所述，在定义域上有且只有一个零点．因为，即．则，，，又因为在上单调递减，所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/1 9:04:41；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367