2021-2022学年江苏省苏州市张家港市高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州市张家港市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若集合，，则集合中元素的个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（5分）成立是成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）若函数，则函数的定义域为　　

A． B．， C．， D．，

4．（5分）若集合，，，，则集合与的关系是　　

A． B． C． D．不确定

5．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：

若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为　　

A． B． C． D．

6．（5分）若一元二次不等式的解集为，则的值为　　

A． B．0 C． D．2

7．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．

8．（5分）若正实数，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给岀的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）若集合，，，则　　

A．，3，4， 

B．可能为， 

C．与有相同的子集个数 

D．是，3，4，的必要不充分条件

10．（5分）下列四个选项中，是的充分不必要条件的是　　

A．， 

B．， 

C．，， 

D．，，

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．，是同一个函数 

B．，是同一个函数 

C．存在无数组函数，：定义域相同，值域相同，但对应关系不同 

D．存在无数组函数，：值域相同，对应关系相同，但定义域不同

12．（5分）下列四个命题正确的是　　

A．若奇函数在，上单调递减，则它在，上单调递增 

B．若偶函数在，上单调递减，则它在，上单调递增 

C．若函数为奇函数，那么的图象关于中心对称 

D．若函数为偶函数，那么的图象关于对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若命题：“，”，则命题的否定为 　　．

14．（5分）若，，则集合的子集个数为 　　．

15．（5分）若是定义在上的奇函数，则实数的值是 　　．

16．（5分）若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，　　，若，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为．

（1）求关于的解析式；

（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

19．（12分）已知幂函数过点．

（1）若，，，判断与的大小关系，并证明；

（2）求函数在区间，上的值域．

20．（12分）已知函数，．

（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若，，求关于的不等式的解集．

21．（12分）已知函数．

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）解关于的不等式；

（3）探究关于的方程的解的个数．（直接写出结果）．

22．（12分）已知函数．

（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．

2021-2022学年江苏省苏州市张家港市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若集合，，则集合中元素的个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：，，1，2，，

故集合中元素的个数为4，

故选：．

2．（5分）成立是成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：，

当时，不一定有，

成立是成立的充分不必要条件．

故选：．

3．（5分）若函数，则函数的定义域为　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．

由，得．

函数的定义域为，．

故选：．

4．（5分）若集合，，，，则集合与的关系是　　

A． B． C． D．不确定

【解答】解：，，，

任意，则存在，使，

而，

故，

又，，

，都不正确，

故选：．

5．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：

若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设用水量为，水费为元，

当时，，

当时，，

当时，，

，

令，解得，

故此用户居民本月用水量为．

故选：．

6．（5分）若一元二次不等式的解集为，则的值为　　

A． B．0 C． D．2

【解答】解：不等式的解集为，

，

解得，，，

故，

故选：．

7．（5分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．

【解答】解：，

若在上单调递增，

则，故，

故选：．

8．（5分）若正实数，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为正实数，满足，

所以，整理得，

所以，即，

所以，故错误；

因为，所以，，

所以，

所以，故错误；

由，可得，所以，

所以，故正确；

由，取，，可得，，此时，故错误．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给岀的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）若集合，，，则　　

A．，3，4， 

B．可能为， 

C．与有相同的子集个数 

D．是，3，4，的必要不充分条件

【解答】解：，，，，

当时，，此时、选项均错误．

当，或时，选项正确．

当时，且，

当时，，3，4，，

当时，，3，，

所以充分性不满足，

反之，当，3，4，时．

所以正确．

故选：．

10．（5分）下列四个选项中，是的充分不必要条件的是　　

A．， 

B．， 

C．，， 

D．，，

【解答】解：对于，，是的充分必要条件，错误，

对于，，，，是的充分不必要条件，正确，

对于，当，时，则成立，

反之，当，时，满足，是的充分不必要条件，正确，

对于，当，时，则，，

反之，当，，时，，，满足，是的充分不必要条件，正确，

故选：．

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．，是同一个函数 

B．，是同一个函数 

C．存在无数组函数，：定义域相同，值域相同，但对应关系不同 

D．存在无数组函数，：值域相同，对应关系相同，但定义域不同

【解答】解：对于，两个函数定义域均为，对应法则也相同，故是同一个函数，正确；

对于，定义域为，定义域为，定义域不同，故不是同一个函数，错误；

对于，例如函数，，定义域都是，值域都是，，但是对应关系不同，所以正确；

对于，举例，，两个函数值域都是，，对应关系也相同，但是定义域不同，故正确；

故选：．

12．（5分）下列四个命题正确的是　　

A．若奇函数在，上单调递减，则它在，上单调递增 

B．若偶函数在，上单调递减，则它在，上单调递增 

C．若函数为奇函数，那么的图象关于中心对称 

D．若函数为偶函数，那么的图象关于对称

【解答】解：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，

若奇函数在，上单调递减，则它在，上单调递减，

若偶函数在，上单调递减，则它在，上单调递增，

故选项错误，选项正确；

函数为奇函数，则函数的图象关于中心对称，故选项正确；

函数为偶函数，那么的图象关于对称，故选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若命题：“，”，则命题的否定为 　，　．

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题：“，”，

则命题的否定为：，．

故答案为：，．

14．（5分）若，，则集合的子集个数为 　4　．

【解答】解：由题意得：

，

故，

得，得△，

方程有2个根，

故有2个元素，

故集合的子集个数为4个，

故答案为：4．

15．（5分）若是定义在上的奇函数，则实数的值是 　　．

【解答】解：因为是定义在上的奇函数，

所以，即，

解得，

验证，当时，，，是偶函数，不符合题意；

当时，，，是奇函数，符合题意，

故．

故答案为：．

16．（5分）若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，　　，若，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：当时，，

当时，，

，

又函数是定义在上的偶函数，

可得，

所以时，

当时，，在，递增，

即为，

所以，即，

解得，

即的取值范围是．

故答案为：；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）若，，或，

，

，

．

（2），，

，

实数的取值范围为，．

18．（12分）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为．

（1）求关于的解析式；

（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

【解答】解：（1）每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：成反比，

可设，

每月库存货物费（单位：万元）与成正比，

可设，

又在距离车站处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元，

，，

，，

．

（2），当且仅当，即时等号成立，

这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元．

19．（12分）已知幂函数过点．

（1）若，，，判断与的大小关系，并证明；

（2）求函数在区间，上的值域．

【解答】解：因为幂函数过点．

所以，，

所以，

（1）；

证明：因为，

，

所以，

即，

所以；

（2），

因为，，

所以，，

所以，，

所以，，

即，，

所以，，

也即函数在区间，上的值域为，．

20．（12分）已知函数，．

（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若，，求关于的不等式的解集．

【解答】解：（1）的不等式的解集为，

，且，3是方程的两个实数根，

，，解得，，

不等式等价于，即，

故，解得或，

所以该不等式的解集为，，；

（2）当时，不等式等价于，即，

又，所以不等式等价于，

当，即时，不等式为，解得；

当，即时，解不等式得或；

当，即时，解不等式得或，

综上，当时，不等式的解集为，，，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，，．

21．（12分）已知函数．

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）解关于的不等式；

（3）探究关于的方程的解的个数．（直接写出结果）．

【解答】解：（1）当时，，

此时，

当时，，

此时，，

当时，，

所以，

所以为偶函数．

（2）①时，，

，

若时，，

②时，，

，

若时，，

综上所述，的取值范围为，，．

（3），

，

所以或，

作出的图象，如下：

有两个交点，

当时，有四个解，

当时，有三个解，

当时，有两个解，

当时，有两个解，

当时，没有解，

综上所述，当时，关于的方程的解有六个解，

当时，关于的方程的解有五个解，

当时，关于的方程的解有四个解，

当时，关于的方程的解有四个解，

当时，关于的方程的解有两个解，

当时，关于的方程的解有四个解，

当时，关于的方程的解有两个解．

22．（12分）已知函数．

（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．

【解答】解：（1），依题意，在上单调递增，

由双勾函数的性质可知，，解得，

实数的取值范围，；

（2）当时，，，

，

令，则在，上的最小值为，

当，即时，在区间，上单调递增，则（2），解得，符合题意；

当，即时，在区间单调递减，在单调递增，则，解得（舍去）；

综上，实数的值为．

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