2021-2022学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的.

1．（5分）已知集合，1，2，3，，，，则　　

A．， B．，2， C．， D．，1，2，

2．（5分）函数，，，则的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）不等式“”是不等式“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．，， D．

5．（5分）材料：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦一秦九韶公式．根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为　　

A． B．3 C． D．6

6．（5分）关于的不等式在，内有解，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意，，均有，则实数的最大值是　　

A． B． C．0 D．

8．（5分）已知“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”，现有函数：①；②；③；④，则其中有相同对称中心的一组是　　

A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项合题意要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分.

9．（5分）下列判断正确的是　　

A． 

B．是定义域上的减函数 

C．是不等式成立的充分不必要条件 

D．函数且过定点

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 

B．在单调递减 

C．的解集为，， 

D．的解集为，

12．（5分）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知不等式解集为，且，则实数的取值范围是 　　．

14．（5分）若函数是奇函数，，，则　　．

15．（5分）若，，且，则的最小值为 　　．

16．（5分）已知函数在，上单调递减，则实数的取值范围为　　．

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值集合．

18．已知一元二次方程有两个不同实数解．

（1）求实数的取值范围；

（2）记这两个解为，，求的最大值．

19．已知定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）判断并用定义证明在上的单调性；

（3）解不等式．

20．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（Ⅰ）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润销售额成本）；

（Ⅱ）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

21．已知函数．

（1）若，求的值域；

（2）若在区间，上的最小值为1，求的值．

22．已知函数．

（1）当时，判断函数的奇偶性；

（2）对，，当函数的图象恒在图象的下方时，求实数的取值范围；

（3）若，，使得关于的方程（a）有三个不相等实数根，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省苏州中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的.

1．（5分）已知集合，1，2，3，，，，则　　

A．， B．，2， C．， D．，1，2，

【解答】解：因为集合，1，2，3，，，，2，4，6，，

则，2，．

故选：．

2．（5分）函数，，，则的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：函数，，，

是单调增函数，

，

，

故选：．

3．（5分）不等式“”是不等式“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由不等式可以解得，

不等式得，即，

由集合法判定得可以推出，而不可以推出，

所以不等式“”是不等式“”的必要而不充分条件，

故选：．

4．（5分）函数的定义域为　　

A．， B．， 

C．，， D．

【解答】解：由函数，

得，

解得，

即且；

所以函数的定义域为，，．

故选：．

5．（5分）材料：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦一秦九韶公式．根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为　　

A． B．3 C． D．6

【解答】解：设，，，则，，

，

．

当且仅当，即时取等号，

故选：．

6．（5分）关于的不等式在，内有解，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，不等式即，

又由，，则，

若不等式在，内有解，必有，即，

解可得：，则的取值范围为；

故选：．

7．（5分）函数是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意，，均有，则实数的最大值是　　

A． B． C．0 D．

【解答】解：根据题意，是定义在上的偶函数，且当时，，在上为增函数，

其图象大致如图：

对任意的，，，

则，

则有在区间，上恒成立，

即或在区间，上恒成立，

若，即，则有，无解；

若，即，则有，解可得，

综合可得：，实数的最大值是；

故选：．

8．（5分）已知“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”，现有函数：①；②；③；④，则其中有相同对称中心的一组是　　

A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④

【解答】解：①由，可得：，由为奇函数，因此函数关于点中心对称；

②，可得：，由为奇函数，因此函数关于点中心对称；

③，可得，由为奇函数，可得关于点中心对称；

④，可得：，由为奇函数，因此函数关于点中心对称．

则其中有相同对称中心的一组是②④．

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项合题意要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分.

9．（5分）下列判断正确的是　　

A． 

B．是定义域上的减函数 

C．是不等式成立的充分不必要条件 

D．函数且过定点

【解答】解：对于，，显然不正确；

对于，在，是减函数，所以不正确；

对于．可得不等式成立，反之不成立，所以是不等式成立的充分不必要条件，正确；

对于，函数且过定点，正确；

故选：．

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于，当时，命题不真，所以错；

对于，，所以对；

对于，，，所以错；

对于，当时，

，所以对．

故选：．

11．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 

B．在单调递减 

C．的解集为，， 

D．的解集为，

【解答】解：函数是定义在上的偶函数，可得图象关于轴对称．

当时，，当时，取得最大值，

则在上的最大值为，故正确；

由在，内递减，可得在递增，故错误；

等价为或，解得或，故正确；

等价为或，解得或，

所以原不等式的解集为，，故正确．

故选：．

12．（5分）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为函数，作出函数图象如图所示，

关于的方程有且仅有三个不同的实数解，

由图象可知，只有当时，方程有三个根，，，且，

故，，，

所以，

故选项正确；

当时，由，可得，

故选项正确；

因为，

故选项错误；

因为，

故选项正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知不等式解集为，且，则实数的取值范围是 　或　．

【解答】解：由题意知，

，

即，

解得或，

故实数的取值范围是或，

故答案为：或．

14．（5分）若函数是奇函数，，，则　　．

【解答】解：若函数是奇函数，，，

可得，且，

解得，，

则．

故答案为：．

15．（5分）若，，且，则的最小值为 　9　．

【解答】解：，，且，

，，，

，

，

，

（当且仅当，即时取等号），

故答案为：9．

16．（5分）已知函数在，上单调递减，则实数的取值范围为　，，　．

【解答】解：，，，

令，则，

①时，由对勾函数的性质可得在递减，在，递增，

若在，递减，

则，即，解得：；

②时，和在，递增，

则在，递增，则（1），即，解得：；

③时，，不成立，

综上：或，

故答案为：，，．

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值集合．

【解答】解：（1）集合，

当时，，

所以；

（2）因为，所以，

①当时，则，解得；

②当时，则，解得．

综上所述，实数的取值集合为或．

18．已知一元二次方程有两个不同实数解．

（1）求实数的取值范围；

（2）记这两个解为，，求的最大值．

【解答】解：（1）因为元二次方程有两个不同实数解，

所以，解得，，，；

即的取值范围是：，，，；

（2）由题可得，，

则，

要求的最大值，即求时的最大值，

因为，当仅当，即时取“”，

所以的最大值为．

19．已知定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）判断并用定义证明在上的单调性；

（3）解不等式．

【解答】解：（1）设，则，

是奇函数，

，

，

．

（2）在上单调递增，证明如下：

任取，

，

，，则，，即，

故在上单调递增，则在单调递增．

（3）由为奇函数可得，则，

由在上单调递增，可得，解得，

即不等式的解集为．

20．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（Ⅰ）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润销售额成本）；

（Ⅱ）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（Ⅰ）当时，（2分）

当时，（4分）

（5分）

（Ⅱ）若，

当时，万元（7分）

若，（9分）

当且仅当时，即时，万元（11分）

年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．（12分）

21．已知函数．

（1）若，求的值域；

（2）若在区间，上的最小值为1，求的值．

【解答】解：（1）函数，

令，

则，

所以函数的值域为，；

（2）当，时，单调递增，则，

所以，

当，即时，在上单调递增，

所以的最小值为，不符合题意；

当，即时，在，上单调递减，在，上单调递增，

所以的最小值为，解得或，

又，所以；

当，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，解得，不合题意．

综上所述，实数的值为．

22．已知函数．

（1）当时，判断函数的奇偶性；

（2）对，，当函数的图象恒在图象的下方时，求实数的取值范围；

（3）若，，使得关于的方程（a）有三个不相等实数根，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为，所以，，

所以为奇函数；

（2）因为当，时，函数的图象恒在图象的下方

，

所以实数的取值范围是．

（3）当时，在上是增函数，

则关于 的方程（a）不可能有三个不等的实数根，

当，

，，对称轴在，为增函数，

，，对称轴在，在为减函数，

由题意可知，，即，

令在，上是增函数，

（a），

．

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