2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）集合，中的元素个数有　　A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知幂函数的图象过点，则（8）　　A． B． C．4 D．3．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　A． B． C． D．4．（5分）“且”是“”成立的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数的图象大致为　　A． B． C． D．6．（5分）如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形所需要篱笆的　　A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为7．（5分）已知偶函数在，上单调递增，且，则满足的的取值范围是　　A． B． C． D．8．（5分）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　A．， B． C．，1，3， D．集合的真子集个数为810．（5分）已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有　　A． B． C． D．11．（5分）下列各结论中正确的是　　A．“”是“”的充要条件 B．“”的最小值为2 C．命题“，”的否定是“，” D．“”是“”的充分不必要条件12．（5分）对任意两个实数，，定义，，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　A．函数是偶函数 B．方程有两个解 C．方程至多有三个根 D．函数有最大值为0，无最小值三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）函数的定义域为 　　．14．（5分）已知函数，则（3）　　．15．（5分）已知函数，则函数的最大值为 　　．16．（5分）已知函数是定义在，的奇函数，则实数的值为 　　；若函数，如果对于，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（10分）已知集合或，．（1）求；（2）求．18．（12分）类题）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）画出函数的图象；（Ⅲ）指出函数的单调区间．19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数．20．（12分）已知命题“，都有不等式成立”是真命题．（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21．（12分）郑州地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁5号线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元．问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．（1）求函数的解析式；（2）若函数，，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）集合，中的元素个数有　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依题意，，，0，，所以集合中元素的个数为3，故选：．2．（5分）已知幂函数的图象过点，则（8）　　A． B． C．4 D．【解答】解：设幂函数，由于它的图象过点，，，故，则（8），故选：．3．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，故错误；，故错误；，故，即，故错误；，故正确；故选：．4．（5分）“且”是“”成立的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当且时，成立，即充分性成立，若，满足，但且不成立，即必要性不成立，故“且”是“”成立的充分不必要条件，故选：．5．（5分）函数的图象大致为　　A． B． C． D．【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，函数，则，则函数为奇函数，故排除，，当时，，故排除，故选：．6．（5分）如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形所需要篱笆的　　A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为【解答】解：设，，则，所以围成矩形所需要的篱笆长度为，当且仅当即时取等号，此时长度取得最小值．故选：．7．（5分）已知偶函数在，上单调递增，且，则满足的的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，为偶函数，则，（2），又由在，上单调递增，则（2），解可得．故选：．8．（5分）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由题意可得：①，解得：；②，解得：，③当时，，解得：，综上可得，实数的取值范围是．故选：．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　A．， B． C．，1，3， D．集合的真子集个数为8【解答】解：全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，，，故正确，，，故错误，，1，3，，故正确，集合的真子集个数为，故错误故选：．10．（5分）已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有　　A． B． C． D．【解答】解：已知，且，对于，故正确；对于：由于，所以，即，故正确；对于，故正确；对于，故错误．故选：．11．（5分）下列各结论中正确的是　　A．“”是“”的充要条件 B．“”的最小值为2 C．命题“，”的否定是“，” D．“”是“”的充分不必要条件【解答】解：显然，故成立；因为，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故错误；“，”的否定是“，”，故错误；由得，或，故“”是“”的充分不必要条件，故正确．故选：．12．（5分）对任意两个实数，，定义，，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　A．函数是偶函数 B．方程有两个解 C．方程至多有三个根 D．函数有最大值为0，无最小值【解答】解：，作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的图象关于轴对称，为偶函数，故选项正确；有两个解，分别为和，故选项正确；函数与直线的图象至多有4个交点，则至多有4个解，故选项错误；函数有最大值为0，无最小值，故选项正确．故选：．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）函数的定义域为 　，，　．【解答】解：由题意得：，解得：且，故函数的定义域是，，，故答案为：，，．14．（5分）已知函数，则（3）　4　．【解答】解：根据题意，函数，令可得：（3），故答案为：4．15．（5分）已知函数，则函数的最大值为 　　．【解答】解：函数，由于，所以，故，当且仅当时等号成立．故答案为：16．（5分）已知函数是定义在，的奇函数，则实数的值为 　0　；若函数，如果对于，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：由函数是定义在，的奇函数，可得，即；设在，的值域为，在，的值域为，对于，，，，使得，等价为．由为奇函数，可得，当时，，，，，所以在，的值域，；又在，递增，在，递减，可得的最小值为，最大值为，即有，．所以，且，解得，即有的取值范围是，．故答案为：0，，．四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（10分）已知集合或，．（1）求；（2）求．【解答】解：（1）因为或，，所以；（2）．18．（12分）类题）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）画出函数的图象；（Ⅲ）指出函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ），，（1），即．（Ⅱ）函数的图象如图：（3）由图象知递减区间：，，递增区间：．19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数．【解答】解：（1）设，则，由时，可知，，又为奇函数，故，函数在上的解析式为（2）证明：设，则，，，，即，函数在区间上是增函数，得证．20．（12分）已知命题“，都有不等式成立”是真命题．（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解答】解：（1）命题“，都有不等式成立”是真命题，所以△，解得，所以实数的取值集合；（2）因为不等式对应的方程为，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，所以，此时；②当，即时，解集，满足是的充分不必要条件；③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，所以，此时；综上知，实数的取值范围是，．21．（12分）郑州地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁5号线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元．问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）当时，．当时，，（2），，解得．．，（5）人．（2）当时，．．可得．当时，．，当且仅当时，该线路每分钟的净收益最大．答：当列车发车时间间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大．22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．（1）求函数的解析式；（2）若函数，，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）是幂函数，得，解得：或当时，，不满足（2）（4）．当时，，满足（2）（4）．故得，函数的解析式为；（2）由函数，即，令，，，，，记，其对称在，①当，即时，则（1），解得：；②当时，即，则，解得：，不满足，舍去；③当时，即时，则（3），解得：，不满足，舍去；综上所述，存在使得的最小值为0；（3）由函数在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数，，使函数在，上的值域为，则两式相减：可得：．③将③代入②得，令，，，得：故得实数的取值范围，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 15:17:30；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367