2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项项符合题目要求）

1．（5分）已知集合，1，2，3，，，，则　　

A．， B．，2， C．， D．，1，2，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）下列各组函数表示同一函数的是　　

A． 

B．， 

C． 

D．，

4．（5分）已知，，则用，表示为　　

A． B． C． D．

5．（5分）某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． 

C． D．

7．（5分）已知，，则是的　　条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．既不充分也不必要 D．充分必要

8．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运　　年时，其营运的年平均利润最大．

A．3 B．4 C．5 D．6

二、多项选题（本大题共4小题，每小题5分.共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多个项符合题目要求，全选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）给出下列四个对应，其中构成函数的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）若，，则下列说法不正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）已知集合，，当时，恒成立，则集合可以为　　

A．， B．， 

C．， D．，

12．（5分）已知函数满足，则关于函数正确的说法是　　

A．的定义域为 

B．值域为且 

C． 

D．不等式的解集为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题目横线上）

13．（5分）函数的零点是 　　．

14．（5分）设，，为实数，不等式的解集是，，，则　　．

15．（5分）已知实数满足，则　　．

16．（5分）若，为正实数，，，且，，则　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）计算：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

18．（12分）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若是的充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数．

（1）将函数写出分段函数的形式，并画出图象；

（2）利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？

20．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．

（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；

（2）请你运用上述对数运算性质计算的值；

（3）因为，，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注

21．（12分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．

（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

22．（12分）已知二次函数，，，满足：

（1）当时，且；

（2）当时，；

（3）在上的最小值为0．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）试求最大的，使得存在，只要，，都有．

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项项符合题目要求）

1．（5分）已知集合，1，2，3，，，，则　　

A．， B．，2， C．， D．，1，2，

【解答】解：因为集合，1，2，3，，，，2，4，6，，

则，2，．

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题“，”是特称命题．

否定命题为：，．

故选：．

3．（5分）下列各组函数表示同一函数的是　　

A． 

B．， 

C． 

D．，

【解答】解：．的定义域为，而的定义域为，所以定义域不同，所以不是同一函数．

．的定义域为，而的定义域为，，，所以定义域不同，所以不是同一函数．

．因为，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以表示同一函数．

．的定义域为，而的定义域为，，，所以定义域不同，所以不是同一函数．

故选：．

4．（5分）已知，，则用，表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

．

故选：．

5．（5分）某工厂过去的年产量为，技术革新后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，即，

，，，

，

，

即，

故选：．

6．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． 

C． D．

【解答】解：要使有意义，则，

解得，且，

的定义域为．

故选：．

7．（5分）已知，，则是的　　条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．既不充分也不必要 D．充分必要

【解答】解：，或，

，，

是的必要不充分条件，

故选：．

8．（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运　　年时，其营运的年平均利润最大．

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：由图可知，抛物线顶点为且过点，设二次函数解析式为，

把点代入得：，解得：，二次函数解析式为，

即，，当且仅当时，取得最大值2，．

故选：．

二、多项选题（本大题共4小题，每小题5分.共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多个项符合题目要求，全选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）给出下列四个对应，其中构成函数的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据函数的定义可得正确，而是一对多，是定义域内3没有对应，不符合函数的定义，

故选：．

10．（5分）若，，则下列说法不正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于：若，则，故正确；

对于：若，则不成立，故不正确；

对于：若，则，得不到，故不正确；

对于：若，则不成立，故不正确；

故选：．

11．（5分）已知集合，，当时，恒成立，则集合可以为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：要使得，必有，

即或，

即或，

所以或时，恒成立，

故选：．

12．（5分）已知函数满足，则关于函数正确的说法是　　

A．的定义域为 

B．值域为且 

C． 

D．不等式的解集为

【解答】解：设，则，

则等价为，

即，且，故错误，

，

，，即函数的值域为且，故正确，

（2），故正确，

由得得，得，

得，即不等式的解集为，故正确，

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题目横线上）

13．（5分）函数的零点是 　　．

【解答】解：根据题意，，

若，即，解可得，

即函数的零点为；

故答案为：．

14．（5分）设，，为实数，不等式的解集是，，，则　　．

【解答】解：不等式的解集为，，，

，3是方程的两根，

则，，

即，，

所以有．

故答案为：．

15．（5分）已知实数满足，则　　．

【解答】解：，

，

．

故答案为：．

16．（5分）若，为正实数，，，且，，则　3　．

【解答】解：，为正实数，，，，

，

，

即

，

当且仅当①时取等号，即，

所以，

所以②，

联立①②，因为，，所以，则，解得，

所以．

故答案为：3．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）计算：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

【解答】解：（Ⅰ）原式；

（Ⅱ）原式．

18．（12分）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若是的充分条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）要使有意义，则得得，即函数的定义域，．

当时，不等式等价为得，即，，

则，，，

则，，．

（Ⅱ）得根为，或，

，，

的解集为，，

若是的充分条件，

则，

即，得，得，

即实数的取值范围是，．

19．（12分）已知函数．

（1）将函数写出分段函数的形式，并画出图象；

（2）利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？

【解答】解：（1）当时，

当时，

综上

其函数图象如图所示：

（2）由（1）中函数的图象可得：

当或时，方程有一解

当或时，方程有两解

当时，方程有三解

20．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．

（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；

（2）请你运用上述对数运算性质计算的值；

（3）因为，，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注

【解答】解：（1）方法一：

设，所以

所以

所以，得证．

方法二：

设，所以，所以

所以

所以，所以

方法三：

因为

所以

所以得证．

（2）方法一：．

方法二：．

（3）方法一：

设，

所以

所以

所以

所以

因为

所以

所以的位数为6677

方法二：

设

所以

所以

所以

所以

因为，

所以有6677位数，即的位数为6677

21．（12分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克升）随着时间（天变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克升）时，它才能起到有效治污的作用．

（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

【解答】解：，．（2分）

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时．（4分）

综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．（6分）

当时，，（9分）

又，，，，则．

当且仅当，即时取等号．

令，解得，

故所求的最小值为1．　　　　　　（14分）

22．（12分）已知二次函数，，，满足：

（1）当时，且；

（2）当时，；

（3）在上的最小值为0．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）试求最大的，使得存在，只要，，都有．

【解答】解：（1）由，则函数的图象关于对称，所以，即，①；

由（3），时，，即②，

由（1）得（1），由（2）得（1），故（1），

即③

由①②③可得，，，，

；

（2）假设存在，只要，，就有，令，可得，

，解得，

对固定的，取，可得，即

，解得，，

，

的最大值为9．

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