2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题（每题5分，计70分）

1．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，，，，且，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知不等式的解集是，则的值等于　　

A． B． C．2 D．4

4．（5分）已知函数，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）下列命题中，假命题是　　

A．的充要条件是 

B．，是的充分条件 

C．命题“，使得”的否定是“都有” 

D．命题“，”的否定是“，”

6．（5分）若，，则等于　　

A． B． C． D．

7．（5分）若函数图象上不同两点，关于原点对称，则称点对，是函数的一对“姊妹点对”（点对，与，看作同一对“姊妹点对” ，已知函数，则此函数的“姊妹点对”有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

8．（5分）定义在上的函数满足，且，（3），则不等式的解集为　　

A． B． C．， D．

二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分，计20分）

9．（5分）若指数函数在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　

A． B． C．3 D．2

10．（5分）已知，则下列不等式中成立的有　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）已知正数、满足，则下列说法正确的是　　

A．的最小值是 B．的最小值是 

C．的最小值是 D．的最小值是

12．（5分）已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．方程有两个实数根 

D．函数的值域是，

三、填空题（每题5分，计20分）

13．（5分）设，，若，则实数的值 　　．

14．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 　　．

15．（5分）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．

16．（5分）已知，，则的最大值是 　　．

四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分，计70分）

17．（10分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合．

（1）求的值；

（2）当，，时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数满足．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明．

19．（12分）化简与求值（写出必要的推导过程，不能直接写结果）

（1）；

（2）．

20．（12分）（1）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；

（2）已知函数是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，解不等式．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间，上单调，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间，上的最小值小于，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）设，若对于，总，，使恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（每题5分，计70分）

1．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，是非奇非偶函数函数，不满足题意；

对于，是奇函数又是增函数，满足题意；

对于，是奇函数，在和上单调递减，不满足题意；

对于，是偶函数，不符合题意．

故选：．

2．（5分）设，，，，且，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，，，，且，，

对于选项，故选项正确．

对于选项：由于选项正确，故选项错误．

对于选项：由于，，、的符号不确定，故和不能确定大小关系，故选项错误．

对于选项：当，时，该不等式没有意义，故选项错误．

故选：．

3．（5分）已知不等式的解集是，则的值等于　　

A． B． C．2 D．4

【解答】解：因为不等式的解集是，

所以和2是方程的解，

所以，

解得，，

所以．

故选：．

4．（5分）已知函数，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

在，内，函数单调递增，在内，函数单调递减，

又，

故选：．

5．（5分）下列命题中，假命题是　　

A．的充要条件是 

B．，是的充分条件 

C．命题“，使得”的否定是“都有” 

D．命题“，”的否定是“，”

【解答】解：当，可知错；，可得，但不能推出，，对；

根据全称量词命题与存在量词命题的否定形式可知对．

故选：．

6．（5分）若，，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

故选：．

7．（5分）若函数图象上不同两点，关于原点对称，则称点对，是函数的一对“姊妹点对”（点对，与，看作同一对“姊妹点对” ，已知函数，则此函数的“姊妹点对”有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解答】根据题意可得的姊妹点对数即为与的图象的交点个

画出两个函数的图象如下：

由图可得两个函数的图象有个交点，即此函数的“姊妹点对“有1对．

故选：．

8．（5分）定义在上的函数满足，且，（3），则不等式的解集为　　

A． B． C．， D．

【解答】解：因为，不妨设，则，所以，

令，则，

所以函数在上单调递减，

不等式可变形为，

又因为（3），所以（3），

则不等式变形为（3），所以，

则不等式的解集为．

故选：．

二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分，计20分）

9．（5分）若指数函数在区间，上的最大值和最小值的和为，则的值可能是　　

A． B． C．3 D．2

【解答】解：①当时，函数在区间，上为增函数，

当时，，当时，，

，即，

，．

②当时，函数在区间，上为减函数，

当时，，当时，，

，即，

，．

综上：的值可能为或．

故选：．

10．（5分）已知，则下列不等式中成立的有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：指数函数在上单调递减，

由得：，

，故选项正确，

，，故选项正确，

当时，，故选项错误，

，且，，故选项正确，

故选：．

11．（5分）已知正数、满足，则下列说法正确的是　　

A．的最小值是 B．的最小值是 

C．的最小值是 D．的最小值是

【解答】解：因为正数，满足，

对选项，．所以，

当且仅当，即时取等号，故错误．

对选项，，，

所以，

当且仅当，即时取等号，故正确．

对选项，，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值是，故错误．

对选项，因为，即，

由（1）知：，所以，解得，

当且仅当时取等号，所以的最小值是，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，则　　

A．是奇函数 

B．在，上单调递增 

C．方程有两个实数根 

D．函数的值域是，

【解答】解：，

对于的定义域是，不关于原点对称，所以不是奇函数，故错误；

对于：当 时，，由的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故在，上单调递增，故正确；

对于：方程有两个实数根，等价于与的图象有两个交点，结合图象可知正确；

对于：当时，；

又当且时，，

此时由的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，

此时，，，

所以函数的值域是，，故正确；

故选：．

三、填空题（每题5分，计20分）

13．（5分）设，，若，则实数的值 　，，　．

【解答】解：集合，，，

又，

所以，

当时，，符合题意；

当时，则，所以或，

解得或．

综上所述，或或．

故答案为：，，．

14．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 　，　．

【解答】解：因为函数的定义域为，

令，

解得，

所以函数的定义域是，．

故答案为：，．

15．（5分）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：因为函数在上单调递增，

所以和都为增函数，且，

即，解得，

则的取值范围是，．

故答案为：，．

16．（5分）已知，，则的最大值是 　　．

【解答】解：令，，

则，，

则，

当且仅当时，取等号，

故答案为：，

四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分，计70分）

17．（10分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合．

（1）求的值；

（2）当，，时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由幂函数的定义与性质知，

，

解得．

（2）由得，

解得，

所以，，

当，，时，的值域为，，

所以，，

因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，．

18．（12分）已知函数满足．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明．

【解答】解：（1）把中的换成，

得，两等式消去，

得；

（2）证明：设，，且，

则，

，，，

函数在上是减函数．

19．（12分）化简与求值（写出必要的推导过程，不能直接写结果）

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

20．（12分）（1）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；

（2）已知函数是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，解不等式．

【解答】解：（1）当时，，即，

函数是定义在上的奇函数，

，

当时，，

函数的解析式为．

（2）函数是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，

，且在，上为减函数，

不等式可化为，

解得，不等式的解集为．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间，上单调，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间，上的最小值小于，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），对称轴为，

若函数在区间，上单调，则或，

实数的取值范围为，，．

（2），对称轴为，

①若，即，，，解得，

②若，即，，，

解得，而，即无解，

③若即，，，解得无解；

综上，实数的取值范围是．

22．（12分）已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）设，若对于，总，，使恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由函数为奇函数，

可得，

即为，

可得；

（2）对于，总，，使恒成立，

可得函数的值域是函数值域的子集．

，

由，可得，，

则，

所以的值域为，，

①若，则函数在，上为增函数，

所以函数的值域为，，

所以，解得；

②若，则函数在，上为减函数，

所以函数的值域为，，

所以，解得；

③若，则函数，

所以函数的值域为，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围为，．

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