2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）对于命题，，命题为　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（3分）设全集，，，则　　

A． B．， C．， D．，

3．（3分）已知函数，则的值为　　

A． B．0 C． D．2

4．（3分）计算的结果为　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知二次函数的零点为和1，则关于的不等式的解集为　　

A．，， B． 

C． D．，，

6．（3分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

7．（3分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为　　（参考数据：

A．36分钟 B．39分钟 C．40分钟 D．44分钟

8．（3分）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分。

9．（5分）设，则的一个充分条件为　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知，，，，则下列结论正确的为　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

11．（5分）下列说法正确的为　　

A．若，则最大值为1 

B．函数的最小值为4 

C． 

D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8

12．（5分）若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，下列结论正确的为　　

A． 

B． 

C． 

D．函数的图像关于对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知幂函数的图象过点，则（2）　　．

14．（5分）已知集合，1，，若，则实数的值构成的集合为 　　．

15．（5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为　　．（用区间表示）

16．（5分）若，则的最小值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知集合，，_______．求满足条件的实数的取值集合．

18．（12分）化简与求值：

（1）计算；

（2）已知，求．

19．（12分）已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，

（1）当时，求；

（2）设命题，命题，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

20．（12分）若函数是定义在，上的奇函数，

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：在，上是递减函数；

（3）若，求实数的范围．

21．（12分）高邮某企业为紧抓高邮湖环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足85台时，（万元）；当年产量不少于85台时，（万元）．若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数关系式；

（2）年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

22．（12分）若函数的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．

（1）若函数的“2倍跟随区间”为，求的值；

（2）函数是否存在跟随区间，，其中，若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）对于命题，，命题为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：特称命题的否定是全称命题得，均有，

故选：．

2．（3分）设全集，，，则　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：全集，，，，

则，，

，．

故选：．

3．（3分）已知函数，则的值为　　

A． B．0 C． D．2

【解答】解：，

，

故选：．

4．（3分）计算的结果为　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

5．（3分）已知二次函数的零点为和1，则关于的不等式的解集为　　

A．，， B． 

C． D．，，

【解答】解：二次函数的零点为和1，

所以和1是方程的实数根，

由根与系数的关系知，，

解得，，

所以不等式可化为，

解得或，

所以不等式的解集为，，．

故选：．

6．（3分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，

所以为偶函数，排除选项和，

又（2），所以排除选项．

故选：．

7．（3分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为　　（参考数据：

A．36分钟 B．39分钟 C．40分钟 D．44分钟

【解答】解：由题意可得，，，，

故，

，即，

．

故选：．

8．（3分）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．

【解答】解：令，

因为当时，不等式恒成立，

所以，

①当，即时，，所以无解；

②当，即时，，解得；

③当，即时，（2），所以无解．

综上所述，实数的取值范围为．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分。

9．（5分）设，则的一个充分条件为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由解得或，

的一个充分条件为选项中不等式．

故选：．

10．（5分）已知，，，，则下列结论正确的为　　

A．若，，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

【解答】解：对于，令，，，，满足，，但，故错误，

对于，当时，，故错误，

对于，，

又，

，故正确，

对于，，，

由不等式的可加性可得，，即，故正确．

故选：．

11．（5分）下列说法正确的为　　

A．若，则最大值为1 

B．函数的最小值为4 

C． 

D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8

【解答】解：对于选项，，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

对于选项，，

但方程无解，

故，故错误；

对于选项，与同号，

，

当且仅当或时，等号成立，故正确；

对于选项，不是定值，

故不能利用基本不等式求最值，故错误；

故选：．

12．（5分）若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，下列结论正确的为　　

A． 

B． 

C． 

D．函数的图像关于对称

【解答】解：对于，因为，

所以，

故选项错误；

对于，因为，

所以，

，

故选项正确；

对于，因为（其中为整数），

则，

所以，

因为函数，

则，

所以函数的值域为，

故选项正确；

对于，因为，

所以函数的图像关于直线对称，

故选项正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知幂函数的图象过点，则（2）　　．

【解答】解：设幂函数，，

函数图象过点，，

，

解得，

，

（2），

故答案为：．

14．（5分）已知集合，1，，若，则实数的值构成的集合为 　，　．

【解答】解：集合，1，，

因为，则当时，，此时，2，，

当时，解得或4，

当时，集合，1，不成立舍去，

当时，集合，2，，

综上，实数的值构成的集合为，，

故答案为：，．

15．（5分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为　，，　．（用区间表示）

【解答】解：函数的图象如图：

函数的单调增区间：，，，．

函数在上单调递增，

可得，或，

即，，．

故答案为：，，．

16．（5分）若，则的最小值为 　　．

【解答】解：，，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知集合，，_______．求满足条件的实数的取值集合．

【解答】解：选①，，，

，，，

于是当时，，符合题意，即；

当时，，则有，

解得或，

实数的取值集合为，，；

选②，，

，，，

于是，且，则，，

即，解得，

实数的取值集合为；

选③，，，，，

有且，

即，且，

解得且．

实数的取值集合为且．

18．（12分）化简与求值：

（1）计算；

（2）已知，求．

【解答】解：（1）原式；

（2）由，知，

，

，

．

19．（12分）已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，

（1）当时，求；

（2）设命题，命题，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得，即，

解得，所以，

当时，，解得，或，

所以或，

所以或．

（2）由解得或，

所以或，

由题意可知且，

所以或，

解得或．

20．（12分）若函数是定义在，上的奇函数，

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：在，上是递减函数；

（3）若，求实数的范围．

【解答】解：（1）函数是定义在，上的奇函数，

可得（1），解得，

即即，

经检验，满足，

所以的解析式为；

（2）证明：设，则，

由于，则，，，，

所以，即，

即有在，上是递减函数；

（3）由于，且奇函数在，上是递减函数，

则，

即有，解得，

则的取值范围是，．

21．（12分）高邮某企业为紧抓高邮湖环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足85台时，（万元）；当年产量不少于85台时，（万元）．若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数关系式；

（2）年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

【解答】解：（1）当，时，，

当，时，，

于是，

（2）由（1）可知当，时，，

此时当时取得最大值为1250（万元），

当，时，，

当且仅当，即时，等号成立；

综上所述，当年产量为89台时，该企业在这款净水设备的生产中所获利润最大，最大利润为1401万元．

22．（12分）若函数的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．

（1）若函数的“2倍跟随区间”为，求的值；

（2）函数是否存在跟随区间，，其中，若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）函数的对称轴为，

所以在上单调递增，

又为的“2倍跟随区间”，

所以在上的值域为，

则（a），即，解得，

又，

所以；

（2）假设存在跟随区间，，

当时，，即，

①②可得，，

则不成立；

当时，因为在，上单调递减，在，上单调递增，

所以，则，

又因为，

所以，

故；

当时，因为在，上单调递增，

所以，

则，，无解，不成立．

综上所述，存在跟随区间，即，．

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