备战2024届高考数学复习精练—结构不良解数列大题

备战2024届高考数学复习精练—结构不良解数列大题

1．已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的首项，其前n项和为，且    ，若数列满足，的前n项和为，求的最小值.

在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②.

2．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．

已知数列的前n项和为，  ，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？

3．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设数列___________，求数列的前项和.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

4．已知数列的前n项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5．①{2nan}为等差数列，且a1，a3，a2成递减的等比数列;

②{（-1）n+1n+an}为等比数列，且4a1，a3，a2成递增的等差数列.

从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，      .

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和Sn.

6．已知数列的前n项和为，且，______.请在①：②，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，设数列{}的前n项和，求证：

7．①{2nan}为等差数列，且a1，a3，a2成递减的等比数列;

②{（-1）n+1n+an}为等比数列，且4a1，a3，a2成递增的等差数列.

从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，      .

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和Sn.

8．在①，；②，；③，三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且   .

(1)求数列和的通项公式；

(2)记，求使取得最大值时的值.

9．已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)若_________，求数列的前项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

10．已知数列的前n项和为.

(1)从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；

(2)在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.

注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.

11．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，          ．

（1）求数列，的通项公式．

（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

参考答案

1．(1)设数列的公比为q，则由前3项和为13，

且，，成等差数列，得所以

所以，即，解得或.

又因为是递增的等比数列，且，所以，所以，所以.

(2)选择①.因为，所以，

两式相减得，即，

所以，所以数列是以为首项，

为公比的等比数列，故，因此.

由恒成立，故为单调递增数列，所以的最小值为.

选择②.由知是为首项，

为公比的等比数列，所以，所以，

所以，

当n为奇数时，由于，故；

当n为偶数时，由于，故，

由在n为偶数时单调递增，所以当时，.

2．若选①时，数列为公比为q的递增的等比数列，，且是和的等差中项，

故，解得，

整理得，

故或（舍去），

所以．

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

若选②时，，

当时，

所以，（首项符合通项），

所以．

所以，

当时，使得恒成立，

故k的最小值为1．

3．（1）根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列，

所以，即得，

设公差为，则有，，，

又因为，，构成等比数列的前三项，

所以，即，

解之可得，或（舍去），

所以，即得数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

故可得，

且由题可得，，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得，

（2）若选①，则，

则①，

在上式两边同时乘以2可得，②，

①②可得，，

即得；

若选②，则，

则；

若选③，则，

则

所以当为偶数时，；

由上可得当为奇数时，，

综上可得，．

4．（1），

两式相减得，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

；

（2）由（1）可知，

若选①：，

.

两式相减得：，

所以.

若选②：

.

若选③：

当为偶数时，

当为奇数时，.

综上得：.

5．(1)选①：

因为{2nan}为等差数列，所以2×22a2=21a1+23a3，即8a2=2+8a3（*）.

又a1，a3，a2成等比数列，所以=a1×a2，即=a2（**）

由（*）（**）解得或（舍去），       

则22a2-21a1=3-2=1，

故{2nan}是以2为首项，1为公差的等差数列，

则2nan=n+1，即an=.

选②：

令bn=（-1）n+1n+an，即{bn}为等比数列，

则=b1b3，即（a2-2）2=2（a3+3）（*）.       

又4a1，a3，a2成等差数列，所以2a3=4a1+a2，即2a3=4+a2（**）.

由（*）（**）解得或（舍去），

则==2，

故{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

bn=2n=（-1）n+1n+an，得an=2n+（-1）nn.

(2)

选①：Sn=++…+，       

Sn=++…+，       

则Sn=1+（++…+）-       

=1+-       

=-，       

所以Sn=3-.       

选②：

Sn=（21-1）+（22+2）+…+[2n+（-1）nn]

=（21+22+…+2n）+[-1+2-3+…+（-1）nn]       

=An+Bn，其中An=21+22+…+2n==2n+1-2，       

Bn=-1+2-3+…+（-1）nn.

当n为偶数时，Bn=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]=;       

当n为奇数时，Bn=Bn+1-（n+1）=-n-1=-.       

综上，Sn=An+Bn=

6．（1）由，得，得，

所以数列为等差数列，公差.

若选①，因为，所以，，

所以，，

所以，

若选②，因为，，成等比数列，所以，

所以，所以，

所以，所以.

若选③，因为，所以，

所以，

（2）由（1）知，，则，

则，

，

所以，

所以，

所以，因为为正数，所以，

因为，

所以，所以数列为递增数列，

所以，

综上所述：.

7．（1）选①：

因为{2nan}为等差数列，所以2×22a2=21a1+23a3，即8a2=2+8a3（*）.

又a1，a3，a2成等比数列，所以=a1×a2，即=a2（**）

由（*）（**）解得或（舍去），    

则22a2-21a1=3-2=1，

故{2nan}是以2为首项，1为公差的等差数列，

则2nan=n+1，即an=.

选②：

令bn=（-1）n+1n+an，即{bn}为等比数列，

则=b1b3，即（a2-2）2=2（a3+3）（*）.    

又4a1，a3，a2成等差数列，所以2a3=4a1+a2，即2a3=4+a2（**）.

由（*）（**）解得或（舍去），

则==2，

故{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

bn=2n=（-1）n+1n+an，得an=2n+（-1）nn.

（2）选①：Sn=++…+，    

Sn=++…+，    

则Sn=1+（++…+）-    

=1+-    

=-，    

所以Sn=3-.    

选②：

Sn=（21-1）+（22+2）+…+[2n+（-1）nn]

=（21+22+…+2n）+[-1+2-3+…+（-1）nn]    

=An+Bn，其中An=21+22+…+2n==2n+1-2，    

Bn=-1+2-3+…+（-1）nn.

当n为偶数时，Bn=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]=;    

当n为奇数时，Bn=Bn+1-（n+1）=-n-1=-.    

综上，Sn=An+Bn=

8．(1)由，

又因为，

所以，

所以，

设数列的公比为，则，

选①，因为，，

所以，

又，

所以，所以，

若选②，，

所以，

，即，

所以或，

因为，所以，则.

若选③，由，得，

又，

解得，

因为，所以，

所以.

(2)由（1）得，

所以，

因为，

所以当或2时，；

当时，；当时，，

所以，

所以使得取得最大值时的值为3或4.

9．（1）设等差数列的公差为，

依题意可得，则

解得，，

所以，数列的通项公式为.

综上：，  ；

（2）选①

由（1）可知：  

∴

∵

∴

选②

由（1）可知：

∴

∵

选③

由（1）可知：，∴

∵

则

于是得

两式相减得，

所以.

10．(1)选①②，因为，所以，

因为，，

所以，数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，即

所以，当时，，

当时，，显然满足，

所以，.

选：②③，因为，，

所以，解得，故.

因为，

所以，即，

所以，整理得，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以.

选：①③，因为，，

所以，

所以，两式作差得，即，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，，

所以，

所以.

(2)由（1）得，故，

所以数列的前项和满足：

11．方案一：选条件①

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案二：选条件②

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案三：选条件③

解得或（舍去）

（2）