2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省怀化市新晃县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，中，于点，根据“”判定≌，还需添加条件(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前个五边形，要完成这一圆环还需个五边形．(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平行四边形的周长是，、交于点，交于点，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的(    )

A.  B.  C.  D.

7.  中，，，，点、、分别是三边的中点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题中，正确的是(    )

A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另组对边平行的四边形是平行四边形

10.  如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是(    )

A. 是等腰三角形，
B. 折叠后和一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形
D. 和一定是全等三角形

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行至点，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了______

12.  如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为______

13.  如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为______．

14.  如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为和时，则阴影部分的面积为______．

 

15.  如图，在菱形中，点是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 ______

16.  如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为______．

三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
若一个边形的内角和与外角和的差是，求．

18.  本小题分
如图，在中已知：：：：，．
求证：为直角三角形．
求边上的中线长．

19.  本小题分

如图，在▱中，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点求证：．

20.  本小题分
如图，在和中，，，与相交于点．
求证：≌；
是何种三角形？证明你的结论．

21.  本小题分
如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点，．

求证：平行四边形是矩形；
请添加一个条件使矩形为正方形．

22.  本小题分
如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．

23.  本小题分
如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点米处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为千米时．
求对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出的值，如果不能，说明理由；
在运动过程中，四边形能否为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
由直角三角形的两锐角互余直接可得答案．
本题考查的是直角三角形的两个锐角互余，掌握“直角三角形的两个锐角之间的关系”是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：中，，，的垂直平分线交于点，交于点，
，，
，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D正确，
，
在和中，
，
≌，
，故选项A正确，
故选C．
根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

3.【答案】 

【解析】解：还需添加条件，于，，
在和中，
，
≌．
故选：．
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”可得需要添加条件．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是正确理解定理．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的个正五边形．
先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去即可得解．
【解答】
解：五边形的内角和为，
所以正五边形的每一个内角为，
如图，延长正五边形的两边相交于点，则，

，
已经有个五边形，
，
即完成这一圆环还需个五边形．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长是，
，
，
，
的周长．
故选：．
由平行四边形的周长是，可得，，又由，可得，继而可求得的周长为．
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，是的中位线，
，，．
，，，
，，，
的周长为．
故选：．
首先确定，，是的中位线，再根据三角形中位线的性质得，，，进而求出各边长得出答案即可．
本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，根据中位线的性质求出各边长是解题的关键．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中度角所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形的外角以及直角三角形中度所对的边等于斜边的一半得出答案．
【解答】解：，，
，
又，
，
，
，
，，，
，
．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故A错误，不符合题意；
两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故B正确，符合题意；
两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形，故C错误，不符合题意；
一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形判定，平行四边形的判定逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形的判定定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：为矩形
，

≌故D选项正确
故A选项正确
故B选项不正确
≌，是等腰三角形
过作边的中垂线，即是图形的对称轴．故C选项正确
故选：．
对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由平分知，再由四边形是平行四边形知，，据此得，结合以上结论得出，据此知，根据可得答案．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点．
 

13.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，，
，
在中，，
以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点对应的数为．
故答案为：．
先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了等腰三角形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】

解：易知，菱形的两条对角线互相垂直平分，对角线的交点是菱形的中心点，任何连接菱形两对边的线段，若经过菱形对角线的交点，一定会被平分；经过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个梯形，这两个梯形全等．
菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，
阴影部分的面积．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
，
，
，

故答案为：．
如图根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

17.【答案】解：由题意可得：，
解得：． 

【解析】根据多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得方程是解题的关键．
 

18.【答案】证明：设、、的度数分别为、、，
则，
解得，，
则，
为直角三角形；
解：，
为斜边，
边上的中线长． 

【解析】根据三角形内角和定理列式，分别求出、、，根据直角三角形的概念证明结论；
根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又点在的延长线上，
，
．
点是边的中点，
．
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
首先由平行四边形的性质可得，再由全等三角形的判定定理可证明≌由此可得，进而可证明．
 

20.【答案】证明：在和中，
在和中
≌；

是等腰三角形
≌


是等腰三角形 

【解析】根据已知条件，用公理证：≌；
利用≌的对应角相等，即可证明是等腰三角形．
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
解：或答案不唯一．
理由：四边形是矩形，
且，
四边形是正方形．
或：四边形是矩形，
且，
四边形是正方形． 

【解析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
根据平行四边形对角线互相平分可得，，根据等角对等边可得，然后求出，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
根据正方形的判定方法添加即可．
 

22.【答案】证明：，
，．
是中点，
．
在与中，
．
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：过点作于点．

在中，，，，，
由勾股定理得．
，
在中，，，，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
过点作于点根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作于点，
，，
，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离为米；

由图可知：以为半径画圆，分别交于，两点，，，，
在中，，
，
在中，，，由勾股定理得：，
故BC米，即重型运输卡车在经过时对学校产生影响．
重型运输卡车的速度为千米小时，即米分钟，
重型运输卡车经过时需要分钟秒．
答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为秒． 

【解析】直接利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半求出即可；
根据题意可知，图中，，且，，；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．
此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响．
 

24.【答案】证明：在中，，，
．
在中，，，
，
；

解：能构成菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，即，
解得：，
当时，四边形是菱形；

解：四边形不能为正方形，理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，，
，，
，
，
四边形不可能为正方形． 

【解析】由题意易得，则有，然后问题可求证；
由题意易得四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，进而问题可求解；
由题意易得当时，，，然后可得，则可求出的值，进而问题可求解．
本题主要考查含度直角三角形的性质、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握含度直角三角形的性质、菱形的判定及正方形的判定是解题的关键．