2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则满足条件的三角形有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

3.  若为第三象限角且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B. 若向量，满足且，同向，则
C. 若，，三点满足，则，，三点共线
D. 将钟表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为

5.  将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则的一个可能值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，的部分图象如图，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中，，为边上的动点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角三角形中，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列四个命题为真命题的是(    )

A. 若向量，，，满足，，则
B. 若向量，，则、可作为平面向量的一组基底
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 若向量，满足，，，则

10.  已知函数，则下面结论正确的是(    )

A. 的对称轴为  B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 ，最小值为 D. 在上单调递减

11.  “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有(    )

A. 若，则：：：：
B. 若，则
C. 若为的内心，，则
D. 若为的重心，则 

12.  已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有(    )

A. 的最小正周期是
B. 若，则
C. 若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有个
D. 若，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  请写出终边落在射线上的一个角______ 用弧度制表示．

14.  在平行四边形中，点为的中点，点在上，，，三点共线，若，则 ______ ．

15.  某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月份的平均气温最高，为，月份的平均气温最低，为，则月份的平均气温为______

16.  为所在平面内一点，且满足，则点为三角形的______ 心若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，满足，．
若，求；
若与的夹角为，求

18.  本小题分
某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
若在上有两根，求的取值范围．

19.  本小题分
已知向量，．
求的取值范围；
求的最大值．

20.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，．
求的三个角中最大角的大小；
秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”他的数学巨著数书九章中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术可以已知三边求三角形的面积请用余弦定理推导该公式，并求的面积．

21.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，向量，，．
若，求证：为等腰三角形；
若，，求的面积．

22.  本小题分
已知函数请在下面的三个条件中任选两个解答问题函数的图象过点；函数的图象关于点对称；函数相邻两个对称轴之间距离为．
求函数的解析式；
当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，，
所以，所以满足条件的三角形有个．
故选：．
根据与，的大小判断可得．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为为第三象限角且，
则．
故选：．
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，斜三角形的内角是锐角或钝角，它是第一象限角或第二象限角，选项A正确；
对于，向量是矢量，不能比较大小，所以选项B错误；
对于，因为，且，所以，，三点不共线，选项C错误；
对于，钟表的分针拨快分钟，分针转过的角的弧度数为，选项D错误．
故选：．
根据题意，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了平面向量的基本概念与任意角的定义应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：将函数的图象沿轴向左平移个单位后，
得到的函数的图象关于原点对称，
为奇函数，故有，．
，，则的一个可能值为．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得的一个可能值．
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象知，即周期，即，得，
则，
，，即，，
，当时，，
则，
，即，
则，
．
故选：．
根据正切函数的图像和性质，求出函数的解析式，然后代入求值即可．
本题主要考查正切函数的图象和解析式的求解，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算求解．

【解答】

解：以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，
设，，
则，，
可得，，
的取值范围是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：为锐角三角形，，
，
，，
，，，
，，，
与的大小关系不能确定，与的大小关系不确定．
故选：．
根据三角形为锐角三角形可得出，然后根据正弦函数和余弦函数的单调性及三角函数的诱导公式可得出，，，然后根据余弦函数的单调性即可判断的正误；可看出与的大小关系不确定，从而判断不一定成立．
本题考查了锐角三角形的定义，正弦函数和余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，已知向量，，，满足，，当时，则，当时，与的关系无法确定，即选项A错误；
对于选项B，已知向量，，则与不共线，则、可作为平面向量的一组基底，即选项B正确；
对于选项C，已知向量，，则在上的投影向量为，即选项C正确；
对于选项D，已知向量，满足，，，则，即选项D错误．
故选：．
由平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
当，时，
即当，时，
，即，
此时，；
当，时，
即当，时，
，即，
此时，；作出函数的图象如下图中实线所示：

对于选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，
对任意的，
，
所以，函数的对称轴为，，故A对；
对于选项，对任意的，

结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，对；
对于选项，由选项可知，函数的对称轴为，，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，，
所以，，
因此，的最大值为，最小值为，对；
对于选项，由选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，错．
故选：．
化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项．
本题考查了三角函数图象及性质，作出函数的图象是关键，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，由奔驰定理可知，若，则：：：：，故A正确；
对于，在中，由，可知，
又，所以：：：：，所以，，
所以，故B错误；
对于，由奔驰定理可知，为的内心，，设内切圆半径为，故，，，则结合：：：：，所以：：：：，由勾股定理得为直角三角形，与题干矛盾，故C错误；
对于，为的重心，，故D正确．
故选：．
根据奔驰定理，结合每个选项的条件，找到相应的，，的值或它们的比值，再结合每个选项的条件转化为相应的边角关系，进一步解决问题．
本题考查了向量的新定义、三角形面积公式以及平面几何的相关知识，属于较难题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为函数在区间上单调递减，所以，
所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；
对于，因为，所以的图像关于点对称，所以，故B正确；
对于，若的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，
所以，所以，由可知，
又，所以，所以，即满足条件的有且仅有个，故C正确；
对于，由题意可知为单调递减区间的子集，
所以，其中，解得，，
当时，，当时，，
故的取值范围是，故D正确．
故选：．
利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围可判断，根据中心对称即可求值，可判断；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，可判断；结合已知单调区间得出范围后可判断．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：因为角的终边在射线上，
故满足条件的一个角为．
故答案为：答案不唯一．
结合三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，为平行四边形，为中点，
由可得，
又因为，，三点共线，故可设，
即，
由平面向量的基本定理可得：，解得．
故答案为：．
选定和作为基底，把用基底表示出来，再比较系数，即可求出的值．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，解得，，
，
令，．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的有界性，求出，，推得的解析式，令，即可求解．
本题主要考查三角函数的应用，属于基础题．
 

16.【答案】垂   

【解析】解：因为，
则，即，
即，
即，
即，
所以，，同理可得，，
故点为的垂心；
因为
，即，
因为，解得，
因此，，
解得，
因此，．
故答案为：垂；．
由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：若方向相同，则；
若方向相反，则；
由已知可得，，
所以． 

【解析】分为方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；
根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
 

18.【答案】解：补充表格：

由最大值为，最小值为，可知，
又，故，
再根据五点作图法，可得，得 ，
故；
令，则，
所以有两个根，转化为在上有两个根，
即在上有两个根，

由在的图像和性质可得：，
所以，
故实数的取值范围为． 

【解析】根据表格数据可得和周期，然后可得，代点可得；
令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
则，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故的取值范围为；
，，
则，
令，，
故，
当时，
的最大值为． 

【解析】根据已知条件，结合向量模公式，以及三角函数的有界性，即可求解；
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，，
则角最大，
，
，
；
在中，
则，
，，

，即得证；
当，，，
则． 

【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；
根据已知条件，结合三角形的面积公式，三角函数的同角公式，余弦定理，即可求解．
本题主要考查三角形的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为，，且，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
所以为等腰三角形；
因为，，且 ，
所以，
又，则，
因为，，
则由余弦定理可得，解得，
所以的面积为． 

【解析】根据题意得到，再根据正弦定理可得到，进而即可证明结论；
根据题意化简整理可得到，再根据余弦定理即可得到，进而即可求得的面积．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：若选；
由得，，所以，即，
又因为，解得．
由得，的图象关于点对称；
所以，解得，即，，
因为，所以时，解得，
则．
若选；
由得，，所以，即，
又因为，解得．
由得，函数相邻两个对称轴之间距离为，则，
解得，所以，解得，
所以．
若选，
由得，函数相邻两个对称轴之间距离为则，
解得，所以，解得．
由得，的图象关于点对称，
所以，解得，即，，
又因为，所以，
所以．
综上，函数．
若，则
即，
因为，
所以，，
当时，即时，，
此时在上单调递增，
所以，解得，即．
所以．
当时，即时，，
此时，，
只需要，
因为在上单调递增，
所以，解得，即．
所以．
综上，实数的取值范围是 

【解析】根据三角函数的图象和性质求出和的值，即可写出函数的解析式．
假设不等式成立，由此结合三角函数的单调性进行讨论求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．