2022-2023学年四川省眉山冠城重点学校高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省眉山冠城重点学校高二（下）期中数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是(    )

A. 至少有一本政治与都是数学 B. 至少有一本政治与都是政治
C. 至少有一本政治与至少有一本数学 D. 恰有本政治与恰有本政治

3.  已知复数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从甲、乙等名专家中任选人前往某地进行考察，则甲、乙人中至少有人被选中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  命题：“，”，命题：“”，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

6.  把极坐标方程化成直角坐标方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  命题“，”的否定形式是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  若直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了单一地面交通的不足成都地铁号线每分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过分钟的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知命题：，；命题：，，，则下列命题是真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  函数的图象与函数的图象交点的横坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表每名同学只参加一个小组：
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取人，结果武术组被抽出人，则的值为______ ．

14.  已知：，：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______．

15.  已知函数在上单调递增，则的最大值是______ ．

16.  已知定义在上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为        ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．

18.  本小题分
从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛．
将名学生做适当编号，把选中人的所有可能情况列举出来；
求所选人中恰有一名女生的概率；
求所选人中至少有一名女生的概率．

19.  本小题分
某电脑公司有名产品推销员，其中名的工作年限与年推销金额数据如表：

求年推销金额关于工作年限的线性回归方程；
若第名推销员的工作年限为年，试估计他的年推销金额．
附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．

20.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
将曲线化为普通方程，将曲线化为参数方程；
设曲线与曲线交于，两点，求．

21.  本小题分
已知函数其中为常数
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
若在处取到极值，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围；
求证：当时，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
则．
故选：．
结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A错误；
对于，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于，恰有本政治与恰有本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．
故选：．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
本题考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则，
，
，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：名专家随机选取人的情况有种，
其中甲、乙两人都未被选中的情况有种，
由甲、乙人中至少有人被选中的概率为．
故选：．
先计算出甲、乙人都未被选中的情况，再通过对立事件关系即可得出甲、乙人中至少有人被选中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于命题：“，”，
，得，
可以推出，但是不能推出，
是的充分不必要条件．
故选：．
先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：极坐标方程，两边同时乘以可得，化为直角坐标方程是，
即，
故选：．
把所给的极坐标方程两边同时乘以可得，化为直角坐标方程是，化简得出结论．
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定形式是，，
故选：．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对为参数，消参可得，，
直线的斜率为，即，由，
所以直线倾斜角为．
故选：．
消参得直线普通方程，由方程得出直线斜率再求倾斜角即可．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设上次车于时刻 到达，而下次车于时刻到达，线段的长度为，

设是线段上的点，且的长度为记等车时间不超过分钟为事件，
则发生即点落在线段上．
由上可知，，，
故．
故选：．
利用几何概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查了几何概型的概率计算公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为不成立，所以为假命题；
因为当，时，成立，故为真命题．
所以，，为假命题，为真命题．
故选：．
利用命题的真假判定，真值表的应用求解．
本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，且，
，两边取对数可得，
根据题意可得与在上有两个交点，
设，则，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，且时，；时，，
要使与在上有两个交点，
则，，
故选：．
根据题意可得，两边取对数可得，从而根据题意可得与在上有两个交点，设，再利用导数研究的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解．
本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，则，
所以，
设，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以．
故选：．
令，变形整理可得，从而构造新函数，再利用导数研究其单调性，即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数，理解函数与方程的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知三个小组的人数比为：：，
从参加这三个兴趣小组的学生中抽取人，结果武术组被抽出人，
，
解得．
故答案为：．
根据三个小组的人数之比，结合抽取人中武术组被抽出人，列式计算，可得答案．
本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，知，解得或，
所以：或，
若是的充分不必要条件，则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
解一元二次不等式，可得：或，再结合充分必要条件与集合的关系，得解．
本题考查充分必要条件的应用，理解充分必要条件与集合的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
因在上单调递增，
则对任意的，成立，
即对设任意的恒成立，
所以只需即可．
令，则，
由，得，所以在上单调递减；
由，得，所以在上单调递增，
所以，在处有极小值，也是最小值．
因此，
所以的最大值是．
故答案为：．
求出导函数，根据函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值，即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，
所以，
因为函数满足，
所以，
所以的周期为，
所以，
因为，
所以，
令，
，
因为，
所以，
所以在上单调递减，
所以，，
不等式可转化为，即，
所以，
所以，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
由为偶函数，满足，可得的周期为，进而可得，令，求导分析的单调性，不等式可转化为，即，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：若为真命题，则，解得．
若为真命题，则，解得，
因为为真命题，为假命题，所以、一真一假，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为：． 

【解析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一真一假，分类讨论，分别得到不等式组，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键，是基础题．
 

18.【答案】解：设名男生为、、、，名女生为、；
从中选出人，其情况有、、，、、，、、，、、，、、，
、、，、、，、、，、、，、、，
、、，、、，、、，、、，、、，
、、，、、，、、，、，，、，，共种情况；
记所选人中恰有一名女生为事件，则包含、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、，共种情况，
则其概率；
记所选人中名女生为事件，则包含、、，、、，、、，、、，共种情况，
而所选人中至少有一名女生包含事件、，则所选人中至少有一名女生共有种情况；
则其概率． 

【解析】根据题意，设名男生为、、、，名女生为、；进而用列举法依次列举从人中选出人的情况即可；
记所选人中恰有一名女生为事件，从查找只有一个女生的基本事件，可得其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案；
记所选人中名女生为事件，用列举法易得包含的情况数目，而所选人中至少有一名女生包含事件、，将、的基本事件数目相加可得可得所选人中至少有一名女生的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
本题考查列举法求事件的个数以及事件的概率，注意列举时按一定的顺序，做到不重不漏．
 

19.【答案】解：设所求的线性回归方程为，
则：样本平均数



年推销金额关于工作年限的线性回归方程为：
当时，万元．
可以估计第名推销员的年推销金额为万元． 

【解析】由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
代入即可．
本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由为参数，消去参数，可得，
即曲线的普通方程为；
由，结合，，可得．
该直线过定点，直线的倾斜角为，
则曲线的参数方程为为参数．
把为参数代入
可得．
，设，两点对应的参数分别为，，
则，．
． 

【解析】直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得其普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，得到曲线的直角坐标方程，求其所过定点与直线的倾斜角，可得曲线的参数方程；
把曲线的参数方程代入曲线的普通方程，得到关于的一元二次方程，再由参数的几何意义及根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：当时，，
，
且，
所以切线方程为，即．
当时，，
令得或舍去，
所以在上有一个零点，
当时，，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以的极大值为，
所以在上没有零点，
又且函数在上单调递增，
当时，，
所以在上只有一个零点，
综上所述，当时，在上有一个零点． 

【解析】当时，，求导得，由导数的几何意义可得切线斜率为，计算，由点斜式，可得答案．
当时，，令得，可得函数零点个数；当时，求导分析单调性，极值，零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
，
在处取得极值，
，即，
此时，经验证是的极小值点，故，
当时，，
当时，，故不满足题意，
当时，，
，故不满足题意，
当时，，，
令，则，
恒成立，
解得，舍去，，
当时，即时，，在单调递增，
，满足题意，
当时，即时，
时，，即递减，
，矛盾．
综上，在上恒成立，，
证明：由知令时，，
当时，，即，
令，
则，


． 

【解析】本题综合性很强，考查了导数的综合应用，考查恒成立的问题，以及不等式的证明及裂项求和的方法，属于较难题．
函数在极值点处导数为，即可求实数的值；
若在上恒成立，分类讨论，求导数，利用函数的单调性，即可求实数的取值范围；
当时，当时，，即，令，则，裂项求和即可证明．