2023年福建省福州重点中学高考数学考前适应性试卷（含解析）

这是一份2023年福建省福州重点中学高考数学考前适应性试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省福州重点中学高考数学考前适应性试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知点，，，则在上的投影向量为(    )A.  B.  C.  D. 5.  从到的连续个整数中随机抽取个，已知这个数之和为奇数，则这个数之积为偶数的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长均为，活动弹子在线段上移动包含端点，弹子，分别固定在线段，的中点处，且平面，则当取最大值时，多面体的体积为(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知双曲线：，为左焦点，，分别为左、右顶点，为右支上的点，且为坐标原点若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有人参加考试为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图若在样本中，成绩落在区间的人数为，则由样本估计总体可知下列结论正确的为(    )
A.  B.
C. 考生成绩的第百分位数为 D. 估计该市全体考生成绩的平均分为10.  已知函数，则下列结论正确的为(    )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称
C. 的最小值为 D. 在区间上单调递增11.  已知抛物线：的焦点为，点为的准线与轴的交点，若直线与交于，两点，则下列结论正确的为(    )A.
B. 存在唯一实数，使得直线与相切
C. 恰有个实数，使得成立
D. 恰有个实数，使得成立12.  已知，，是半径为的球面上的三个定点，且，若是该球面上的动点，且，则下列结论正确的为(    )A. 有且仅有两个点使得
B. 有且仅有两个点使得与所成的角为
C. 的最大值为
D. 的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知的展开式的各二项式系数的和为，则常数项为______ 用数字作答14.  已知为定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集______ ．15.  已知无穷等差数列中的各项均大于，且，则的最小值为______ ．16.  在平面直角坐标系中，圆：，，为圆上的个动点，为中点，若点在以为直径的圆上，则到轴距离的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球设各层球数构成一个数列
写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
18.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，且，点在线段含端点上运动，设．
当平面时，求实数的值；
当平面平面时，求平面与平面的夹角的正弦值．
19.  本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
证明：；
若，目的面积为，求的内切圆面积．20.  本小题分
已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的，两间教室中选择一间用于自习若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择教室的概率为，任意连续两天选择相同教室的概率为．
求的取值范围；
若，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则，求的分布列和数学期望．21.  本小题分
已知在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点和右焦点分别为，，动点满足，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于，两点是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
已知定义在上的函数．
求的最小值；
当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
若，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
可得，
解得．
故选：．
利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式，化简求解即可．
本题考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合欧拉公式，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查欧拉公式，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，，，
则，，
，，
故在上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：从到的连续个整数中随机抽取个，已知这个数之和为奇数，
则这三个数中可能两个偶数一个奇数或这三个数都是奇数，
这个数之和为奇数的取法有，
其中这个数之积为偶数的取法有，
则这个数之积为偶数的概率为．
故选：．
先求出这个数之和为奇数的取法和数，再求出其中这个数之积为偶数的取法种数，由此能求出这个数之积为偶数的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：平面，平面，
，三角形为直角三角形，
故最短时，取最大值，
即时，取最大值，
，分别固定在线段，的中点处，
，，最大角．
，
多面体的体积为．
故选：．
先确定点的位置，再计算可求多面体的体积．
本题考查点的位置的判断，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：设双曲线的右焦点为，
由双曲线的性质可得，
即为直角，
取的中点为，
则，
设，
则，
则，
在中，由勾股定理可得：，
即，
又，
则，
即，
即，
即的离心率的取值范围为．
故选：．
由双曲线的定义，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由可知，即与存在两个交点，
令，则，令，解得，
则在处的切线方程为，令，解得，
则在处的切线方程为，且这两条切线在轴上的截距分别为，，
实数的取值范围为．
故选：．
由已知可得与存在两个交点，进而可求实数的取值范围．
本题考查函数的零点与方程的根，考要导数的应用，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，因为，解得，故A正确；
对于，因为成绩落在区间内的人数为，所以样本容量，故B错误；
对于，因为，
所以考生成绩的第百分位数落在区间，
设考生成绩的第百分位数为，则，
解得，
即考生成绩的第百分位数为，故C正确；
对于，学生成绩平均分为，故D正确．
故选：．
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为，即可判断，根据成绩落在区间内的人数和频率可判断，根据百分位数的定义和平均数的定义可判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于函数，由于的最小值正周期为，函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为，故A错误．
由于，故的图象关于对称，故B正确．
当，对于，故当最小且时，
最小，故当时，函数取得最小值，故C正确．
在区间上，，，不单调，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：抛物线：的焦点为，，，故A错误；
由，可得，求导得，
设，，抛物线在处的切线方程为，
又直线过点，，，解得，
又，故直线平行于轴，，故B正确；
由直线与联立方程组，可得，
，，，
与关于轴对称，过，分别向准线作垂直，交准线于，，

∽，，，
由抛物线性质可得恒成立，故无论为何值，
都有得成立，故C错误；
若成立，而有，
，
又，，
，
，
，方程有两解，
恰有个实数，使得成立，故D正确．
故选：．
先利用抛物线的性质可求，进而联立方程组逐项计算判断即可．
本题考查直线与抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：不妨设球心为，则，，
，在以圆心垂直于的圆面上．

对于：显然当位于，时，满足，故选项A正确；
对于：如图所示，将平移至，根据对称性，当位于，，，时，满足题意，故选项B错误；
对于：取，的中点分别为，，易知，且到点所在圆面的距离为，
将投影至，则，显然当，，三点共线时，取得最大值，
此时，故选项C正确；
对于：易知，取的中点，则，
显然当，，三点共线时取得最大值，
此时，，故选项D正确．
故选：．
根据球体的性质，逐项求解判断即可．
本题考查球体的性质，考查推理运算能力，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意可得，解得．
设展开式中的第项为，
令，解得．
所以该展开式的常数项为．
故答案为：．
利用二项式系数的性质及二项式定理展开式的通项公式即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，为定义在上的奇函数，则有，
而当时，，则有，故当时，，
当时，有，此时，
或，解可得或，
即不等式的解集为．
故答案为：．
根据题意，利用奇函数的性质和解析式求出的值，进而求出函数的解析式，由此可得或，解可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于，则，
由于，即，解可得或舍，
则，
设，，
若，则有，解可得或，
在区间上，，在上，，在或或上，，
则当时，取得最小值，且，
故的最小值为．
故答案为：．
根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出的值，则有，设，求出的导数，分析的单调性和最值，即可得答案．
本题考查数列与函数、不等式的综合应用，涉及等差数列的性质，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设，则，，
当位于上方，且轴时，到轴距离取得最大值，
此时，设到轴距离为，且，
设，则，
当，即时，取得最大值，
故答案为：．
设，可得，进而可判断当位于上方，且轴时，到轴距离取得最大值，可求到轴距离的最大值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 17.【答案】解：从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以有，，
所以，所以；
由题意，得，所以，
，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，，
所以，所以，
，
，
所以，
所以，
故答案为：；． 【解析】通过观察数列的规律可以发现第一层球的数量是，第二层是，第三层的是，可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，从而求出数列通项公式，而后进行求和．
本题主要考查了数列推导，等差、等比数列相关性质以及差比数列的求和方法，有一定的计算量要求，属中档题．
 18.【答案】解：连接，且，再连接，如图所示：

平面，平面，且平面平面，
，又由为线段的中点，于是是的中位线，
为线段的中点，即，
故当平面时，；
以为坐标原点，以的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，
设 ，由得，
解得，即 ，
，
令是平面的一个法向量，则，
令，解得，，即，
同理求得平面的一个法向量为，
由平面平面得，解得，
即，，
又，从而可得平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角的大小为，
则，
故当平面平面时，平面与平面所成二面角的正弦值的为． 【解析】利用线面平行的性质定理，即可求解．
建立空间直角坐标系，通过平面平面，求得点位置，继而求解二面角．
本题主要考查线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：，
由正弦定理，得，
，，或，
若，则，显然不可能，
，即，
由正弦定理，得，
又，，
；
解：的面积为，，即，
由余弦定理，得，
，，
，，
，整理得，
，，且，
，且，
，且，
，解得，
设面积为，内切圆半径为，则，
的内切国面积为． 【解析】利用正弦定理得到，或，分情况讨论再根据正弦定理，得，即可得证；
利用三角形的面积公式得，由余弦定理得，化简整理即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
 20.【答案】解：由题意得，连续天选择教室的概率为，连续天选择教室的概率为，
，
，，
．
，解得舍或，
则任意一天选择教室的概率为，选择教室的概率为，
则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：     ． 【解析】根据相互独立事件的乘法公式列不等式求解即可；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
 21.【答案】解：椭圆：，
，，，
即，，
设，满足，
，
即，即，
即．
即的方程为．
设点，则，
由题意知，，的斜率存在，不妨依次设为，，
则直线的方程为，即，
直线与圆相切，，
即，
同理，可得，
则，是方程的两根，
判别式，
即，，，
设，，
则，，



，
等于的短轴长，
，
得，由，得，
存在或满足题意． 【解析】根据题意求出，的坐标，根据动点满足的条件进行化简求解即可．
设出过的两条切线方程，联立方程组，利用设而不求思想以及弦长公式进行化简求解即可．
本题主要考查直线和圆锥曲线的综合应用，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理以及设而不求思想，相交弦的弦长公式进行化简求解是解决本题的关键，是中档题．
 22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
不妨令，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
又，
所以当时，，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
同理，当时，，
即当时，，
所以函数在上单调递减，
则的最小值在处取得，最小值；
当时，若不等式恒成立，
即不等式恒成立，
不妨令，函数定义域为，
可得，
又，
当时，取，
当时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以，不满足条件；
当时，，
由知，
所以，
即，
此时，
当时，
易知，
所以当时，，
则在上单调递增，
此时，
综上所述，实数的取值范围为；
证明：易知当时，，
由，知，当，且时，，
所以
，
即，
易知当时，，
所以
，
此时，
则，
故当时，不等式成立． 【解析】由题意，对函数进行求导，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而反推出的单调性，结合单调性即可求出的最小值；
将问题转化成不等式恒成立，构造函数，和这两种情况进行分析，结合中所得的单调性以及导数的几何意义得到函数的单调性和最值，进而即可得证；
易知当时，，结合，知，当且时，，此时，因为当时，，
所以，整理得．
本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题和归纳法的应用，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．