2023年湖北省黄冈市中考数学试卷（含解析）

2023年湖北省黄冈市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年全国普通高校毕业生规模预计达到万人，数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，三视图都是圆的是(    )

A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球

4.  不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D. 无解

5.  如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中；；若点，，均在该二次函数图象上，则；若为任意实数，则；方程的两实数根为，，且，则，正确结论的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  计算； ______ ．

10.  请写出一个正整数的值使得是整数： ______ ．

11.  若正边形的一个外角为，则 ______ ．

12.  已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数 ______ ．

13.  眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是______ ．

14.  综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为米，则尚美楼高度为______ 米结果保留根号

15.  如图，是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形设图中，，连接，，若与的面积相等，则 ______ ．

16.  如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简；．

18.  本小题分
创建文明城市，构建美好家园为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购，两种型号的新型垃圾桶若购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元．
求两种型号垃圾桶的单价；
若需购买，两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买型垃圾桶多少个？

19.  本小题分
打造书香文化，培养阅读习惯崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍：科技类，：文学类，：政史类，：艺术类，：其他类张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．

根据图中信息，请回答下列问题；
条形图中的 ______ ， ______ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于______ 度；
若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

20.  本小题分
如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
求这两个函数的解析式；
根据图象，直接写出满足时的取值范围；
点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为，求点的坐标．

22.  本小题分
加强劳动教育，落实五育并举孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜经调查发现：甲种蔬菜种植成本单位；元与其种植面积单位：的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元．
当 ______ 时，元；
设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
学校计划今后每年在这土地上，均按中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？

23.  本小题分
【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
【问题探究】
如图，当时，直接写出，的位置关系：______ ．
如图，当时，中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．

 

24.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．

直接写出结果； ______ ， ______ ，点的坐标为______ ， ______ ；
如图，当时，求点的坐标；
如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，点，分别为的边，上的动点，且，记的最小值为．
求的值；
设的面积为，若，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为，
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：长方体的三视图都是矩形，故本选项不合题意；
B.圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
C.圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D.球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形的内角和即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：．

先根据圆周角定理求得，再由是的直径得即可求得．
本题主要考查了圆周角定理、三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，设交与点，过点作于点．

四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，设交与点，过点作于点首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，
，正确，
，
抛物线开口向下，
点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
，错误；
，
，
，
，
抛物线的最大值为，
若为任意实数，则，
，正确；
方程的两实数根为，，
抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线对称性可得抛物线与轴另一交点坐标为，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向下，，
，，正确．
故选：．
由抛物线经过可判断，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断，由时取最大值可判断，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：写出一个正整数的值使得是整数：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由算术平方根的定义，即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
 

11.【答案】 

【解析】解：正边形的一个外角为，
，
故答案为：．
根据正多边形的性质及其外角和为列式计算即可．
本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
，
解得，
又方程有两个实数根，
，
解得，
综合以上可知实数取值范围是．
故答案为：．
把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的值，再根据根的判别式求得的取值范围．最后综合情况，求得的值．
此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，位于最中间的一个数是，
所以中位数是．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查统计知识中的中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作过点的水平线于，过点作过点的水平线于，
由题意可知米，
又米，
米，
在中，，
米，
又是的中点，
米，
在中，，
，米，
，
米，
米．
故答案为：
过点作过点的水平线于，过点作过点的水平线于，先求出的长，在中求出的长，然后求出的长，在中求出的长，即可求出的长．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：图中，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
，
故答案为：．
根据题意得出，即，解方程得到负值舍去代入进行计算即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在轴上取点和点，使得，过点作于点，
点的坐标为，
，，
在中，，，，，，，
，
，
≌，
，，
点，
，

在中，，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
在轴上取点和点，使得，过点作于点，在中，解直角三角形可得，，再证明≌，则，求得，在中，得，解方程即可求得答案．
此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用分式的加减运算法则，再结合分式的性质化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
 

18.【答案】解：设型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元；
设型垃圾桶个，
由题意可得：，
，
答：至少需购买型垃圾桶个． 

【解析】设型垃圾桶单价为元，型垃圾桶单价为元，根据购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需要元，列出二元一次方程组，即可求解；
设型垃圾桶个，根据总费用不超过元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

19.【答案】     

【解析】解：调查的学生人数为：人，
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：，，；
人，
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，即、，
甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
由喜欢的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题；
由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：连接，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，
，，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质得到半径，又，因此，推出，由等腰三角形的性质得到，故，即可证明；
连接，，由圆周角定理得到，而，得到，推出，因此，由∽，得到：：，即可求出，于是得到．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出；由等腰三角形的性质得到，由∽，求出的长．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
．
．
反比例函数解析式为．
把代入，得．
点坐标为，
一次函数解析式，经过，，
．
．
故一次函数解析式为：．
由，
，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，．
由题意，设且，

．
．
解得，．
或． 

【解析】将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围；
由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：当时，设甲种蔬菜种植成本单位；元与其种植面积单位：的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
解得：，
故答案为：；
当时，，
，
抛物线开口向上，
当时，有最小值，最小值为，
此时，，
当时，，
，
当时，有最小值为：，
，
当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小；
由可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，乙种蔬菜的种植成本为元，
则甲种蔬菜的种植成本为元，
由题意得：，
设，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
，
答：当为时，年的总种植成本为元．
当时，由待定系数法求出一次函数关系式，当时，，再求出当时的值，即可得出结论；
当时，，由二次函数的性质得当时，有最小值，最小值为，再求出当时，，由一次函数的性质得当时，有最小值为，然后比较即可；
根据年的总种植成本为元，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：用待定系数法正确求出一次函数关系式；找出数量关系，正确求出二次函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，交于，

当时，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：；
中的结论成立，理由如下：
如图，延长交于点，交于，

，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
如图，当点在线段上时，连接，

∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
当点在线段上时，连接，

∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
综上所述：或．
由“”可证≌，可得，由余角的性质可证；
通过证明∽，可得，由余角的性质可证；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】      

【解析】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
抛物线与轴交于、两点，
时，，解得：，，
，
，，
在中，．
故答案为：，，，；
过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，

，，，
，
由可得，，即，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又
∽，
，
设点坐标为，则，，
，
解得：舍，，
点坐标为；

如图，作，且使，连接，

，，
，
，，
≌，
，
，
，，共线时，的值最小．作于点，
，，
，
，
，
设，则，
，
解得或舍去，
，
，
，
；
如图，作轴，交于点，

解析式为，
设，，
则，
点在第一象限，
，
，
，
．
利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，由，即，再由，可得，证明∽，可得，设点坐标为，可得，再进行求解即可；
作，且使，连接根据证明≌，可得，即，，共线时，的值最小．作于点，设则，根据求出点的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；作轴，交于点，求出解析式，设，利用三角形面积公式表示出，利用二次函数的性质求出的取值范围，结合中结论即可求解．
本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．