2023年浙江省台州市中考数学试卷（含解析）

2023年浙江省台州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列无理数中，大小在与之间的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  以下调查中，适合全面调查的是(    )

A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件
C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量

8.  如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，下列命题中，假命题是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
 

10.  抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过(    )

A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  一个不透明的口袋中有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球随机摸出一个小球，摸出红球的概率是______ ．

13.  用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为______ ．

14.  如图，矩形中，，在边上取一点，使，过点作，垂足为点，则的长为______ ．

15.  月日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动第一组植树棵；第二组比第一组多人，植树棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有______ 人

16.  如图，点，在线段上点在点，之间，分别以，为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为，，与交于点，延长，交于点，长为．
若四边形的周长与的周长相等，则，，之间的等量关系为______ ；
若四边形的面积与的面积相等，则，，之间的等量关系为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程组：．

19.  本小题分
教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图象高度抽象成如图所示的，，黑板上投影图象的高度，与的夹角，求的长结果精确到参考数据：，，

20.  本小题分
科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度单位：是液体的密度单位：的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
求关于的函数解析式；
当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．

21.  本小题分
如图，四边形中，，，为对角线．
证明：四边形是平行四边形；
已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上保留作图痕迹，不要求写作法．

22.  本小题分
为了改进几何教学，张老师选择，两班进行教学实验研究，在实验班实施新的教学方法，在控制班采用原来的教学方法在实验开始前，进行一次几何能力测试前测，总分分，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试后测，得到前测和后测数据并整理成表和表．
表：前测数据

表：后测数据

，两班的学生人数分别是多少？
请选择一种适当的统计量，分析比较，两班的后测数据．
通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．

23.  本小题分
我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置如图，是的直径，直线是的切线，为切点，是圆上两点不与点重合，且在直径的同侧，分别作射线，交直线于点，点．
如图，当，长为时，求的长；
如图，当，时，求的值；
如图，当，时，连接，，直接写出的值．

 

24.  本小题分
【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀控制水的流速大小的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：

任务：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．
任务：利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小．
任务：计算任务得到的函数解析式的值；
请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务：请你简要写出时间刻度的设计方案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，
则，
那么最小的数为：，
故选：．
正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看该组合体，其主视图是．
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
那么在和之间，
故选：．
一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．
本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：

，
则符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.

，
则不符合题意；
D.，
则不符合题意；
故选：．
根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：．
直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：．
故选：．
直接利用“車”位于点，得出原点的位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合普查，故本选项符合题意；
C.检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，点为上一点，点为正方形上一点，连接，，，，

由三角形三边关系可得，，
是圆的半径，为定值，当点在时，取得最大值，
当、、三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，
由题意可得，，，
点为正方形的中心，
，，
为等腰直角三角形，
，
圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为．
故选：．
如图，由三角形三边关系分析可得当、、三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当、、三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
≌，
，故选项B是真命题，不符合题意；
，故选项D是真命题，不符合题意；
，，，
≌，
，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明时，，故选项A是假命题，符合题意；
故选：．
由，得，而，，可得≌，故CD，判断选项B是真命题；，判断选项D是真命题；根据，，，得≌，有，判断选项C是真命题；不能证明时，，可判断选项A是假命题．
本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
，
，
，
，
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上，直线一定经过一、四象限．
故选：．
根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
提取公因式即可．
本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个口袋里有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球，
摸到红球的概率是．
故答案为：．
利用红球的个数球的总个数可得红球的概率．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，标注三角形的三个顶点、、．
．
图案是由一张等宽的纸条折成的，
，
．
又纸条的长边平行，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
根据矩形的性质可得出，结合已知，利用证得和全等，得出，再根据矩形的性质得到，从而在中利用勾股定理求出的长．
本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
 

15.【答案】 

【解析】解：设第一组有人，则第二组有人，依题意有：
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故第一组有人．
故答案为：．
可设第一组有人，则第二组有人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解．
本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系．
 

16.【答案】   

【解析】解：和是等边三角形，
，
和是等边三角形，，，
四边形是平行四边形，，，
，，
四边形的周长与的周长相等，
，
整理得：，
故答案为：；
，四边形的面积与的面积相等，
，
，
，和是等边三角形，
，
，
故答案为：．
由和是等边三角形，可得和是等边三角形，，，即知，，根据四边形的周长与的周长相等，有，故；
由，四边形的面积与的面积相等，可得，即，从而可得．
本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含，，的代数式表示相关线段的长度．
 

17.【答案】解：



． 

【解析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：，
得，
解得，
把代入，得，
解得，
方程组的解是． 

【解析】利用加减消元法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
 

19.【答案】解：在中，，，，
，
，
的长约为． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得，
关于的函数解析式为；
把代入，得，
解得：，
答：该液体的密度为． 

【解析】设关于的函数解析式为，把，代入解析式，解方程即可得到结论；
把代入，求得，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形；

解：如图，四边形就是所求作的菱形．
 

【解析】证明，可得结论；
桌线段的垂直平分线交与点交与点即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：班的人数：人，
班的人数：人，
答：，两班的学生人数分别是人，人．

，
，
从平均数看，班成绩好于班成绩．
从中位数看，班中位数在这一范围，班中位数在这一范围，班成绩好于班成绩．
从百分率看，班分以上的人数占，班分以上的人数约占，班成绩好于班成绩．

前测结果中：
，
，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测班中位数在这一范围，班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，班分上的人数增加了，班分以上的人数增加了，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 

【解析】将表格中、班各等级人数分别相加即可得出答案；
分别计算出、班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
计算出前测、班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
 

23.【答案】解：如图，连接，

设的度数为，
，长为，
，
，即，
，
直线是的切线，
，
；
如图，连接，过点作于点，

为直径，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
如图，连接，

，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
由，将两式相除得：
，
，
． 

【解析】连接，设的度数为，可得，，即，故，而直线是的切线，有，从而；
连接，过点作于点，求出，由，得，有，证明，即得，故；
连接，证明∽，得，证明∽，得 ，由，将两式相除得：，故．
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
 

24.【答案】解：任务：
变化量分别为：；；；，
每隔水面高度观察值的变化量为：，，，．
任务：
设水面高度与流水时间的函数解析式为，
时，；时，；
，
解得：，
水面高度与流水时间的函数解析式为；
任务：

．

，
当时，的最小值为．
任务：
在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了分钟． 

【解析】任务：依表计算即可；
任务：根据待定系法确定关系式即可；
任务：根据题意计算即可；设，代入计算化简，利用二次函数性质求的最小值即可；
任务：按照上一问题中的结论设计即可．
本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．