广东省实验中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】一､选择题:(每小题5分,共60分)1.已知集合A={x|x2﹣x0},,则A∩B=(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，集合B，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A={x|x2﹣x0} ，，所以A∩B=.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a>b，则A. ln(a−b)>0 B. 3a<3bC. a3−b3>0 D. │a│>│b│【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知，则等于（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】因为tanθ=3，∴= 故选B．4.如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】.故选C.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数的图象关于直线对称,它的最小正周期为,则函数图象的一个对称中心是 （　　）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】由周期求出，再由图象关于直线对称，求得，得到函数，求得，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由，解得，可得，再由函数图象关于直线对称，故，故可取，故函数，令，可得，故函数对称中心，令可得函数图象的对称中心是，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P及△ABC,若,则P与△ABC的位置关系是(    )A. P在△ABC外部 B. P在线段AB上C. P在线段AC上 D. P在线段BC上【答案】B【解析】【分析】根据，通过加减运算整理为，再利用共线向量定理判断.【详解】因为，所以，所以，所以P在线段AB上.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题.7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(    )A. y=x2 B.  C. y=2|x| D. y=cosx【答案】B【解析】【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性.【详解】因为，所以是偶函数，又因为在（0，+∞)上单调递增，故A错误. 因为，所以是偶函数，又因为，在(0，+∞)上单调递减，故B正确.因为，所以 是偶函数，又因为 在(0，+∞)上单调递增，故C错误.因为，所以是偶函数，又因为在 (0，+∞)上不单调，故D错误.故选;D【点睛】本题主要考查函数单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若并且（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】∵α、β均为锐角且α＜β，∴ ＜α-β＜0，∵cos（α-β）= ，∴sin（α-β）= ∵cos2α= ，α为锐角∴sin2α= ，∴cos（α+β）=cos[2α-（α-β）]=cos 2αcos（α-β）+sin 2αsin （α-β）=，∵α+β∈（0，π），∴α+β= ．本题选择C选项.9.下列给出的关系式中正确的是(    )A.  B. 若∥,∥,则∥C. ∥⇒在上的投影为|| D. ()•()=0【答案】D【解析】【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取判断.C. 根据∥时，夹角为或判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得，故A错误.B. 当时，不成立.故B错误.C. 当∥时，夹角为或，所以在上的投影为    故C错误.D. 由数量积的运算得()•()=，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，连结，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有，那么（　　）A. 0 B. 1 C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】先根据题意结合图形分别确定的坐标，然后分别代入中求得的值，最后再求出的值，即可得出答案．【详解】因为，点，所以分别代入中，所以故选A．【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题．11.将函数和直线g(x)=x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1,A2,A3,An…,若P点坐标为(0,1),则(    )A.  B.  C.  D. 0【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3， A4，A5，根据为的一个对称点，得到 关于对称， 关于对称，再用中点坐标公式得到求解.【详解】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3， A4，A5，因为是的一个对称点，所以 关于对称， 关于对称，所以，所以，因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,以下命题正确的个数是(    )下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论:①对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;②函数f(x)偶函数;③函数f(x)的值域是{0,1};④若T≠0且T为有理数,则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A,B,C,使得△ABC为等边角形.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断.②分，两种情况，利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.④分，两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取 ， 判断.【详解】①当时，，则；当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正确.②当时，，；当时，，，所以函数f(x)偶函数;故正确.③当时，；当时，，所以函数f(x)的值域是{0，1};故正确.④当时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=1=f(x)；当 时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=0=f(x)，所以对任意的x∈R恒成立;故正确.⑤取 ， 构成以为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量(﹣2,3),(x,1),若⊥,则实数x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，根据⊥，利用数量积的坐标运算求解.【详解】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，因为⊥，所以 解得 故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.计算_____.【答案】【解析】【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解.【详解】，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知 ，若不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为______________．【答案】【解析】因为函数 为单调递增函数，且 ，所以不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，设 ，则 ，当时， ；当 时的最小值为1.16.如图所示,矩形ABCD的边AB=2,AD=1,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧(含端点B､E)上的一点,则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】以点C为原点，以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A(﹣2，﹣1)，B(0，﹣1)，设P(cosθ，sinθ)，，，再利用数量积的坐标运算得 ，然后利用三角函数的性质求解.【详解】如图所示：以点C为原点，以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A(﹣2，﹣1)，B(0，﹣1)，设P(cosθ，sinθ)，()，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量满足,且.(1)求;(2)当时,求和向量与的夹角的值.【答案】(1);(2)1，.【解析】【分析】(1) 根据，得到，再将代入求解. (2)利用求向量模的公式求解;利用向量的夹角公式，求的值.【详解】(1)∵，且，∴，则，∴;(2)，∴;∴，∵0≤θ≤π，∴.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合.【答案】(1)最小正周期Tπ, 单调递减区间为[,],(k∈Z).(2)最大值为, x的取值集合为:{x|x,k∈Z}.【解析】【分析】(1)将，利用两角和与差的正弦公式转化为：sin(2x)，再利用正弦函数的性质求解.  (2)利用正弦函数的性质，当 ，k∈Z时，函数f(x)取得最大值求解.【详解】(1)∵函数=2(sinxcoscosxsin)cosx﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2xsin(2x)，∴函数f(x)的最小正周期Tπ，由2k，k∈Z，解得函数f(x)的单调递减区间为[，]，(k∈Z).(2)∵f(x)，∴函数f(x)的最大值为，取得最大值时x的取值集合满足:，k∈Z.解得x，k∈Z.∴函数f(x)取得最大值时x的取值集合为:{x|x，k∈Z}.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量且函数,若函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并其对称轴;(3)若方程f(x)=m(m>0)在时,有两个不同实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.【答案】(1);(2), 对称轴为;(3),,.【解析】【分析】(1) 根据向量和函数，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，，再根据函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为求解.  (2)依据左加右减，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后，得到函数，令求其对称轴. (3)作出函数f(x)在上图象，根据函数y=f(x)与直线y=m在上有两个交点求解.再令，求对称轴.【详解】(1)，∵函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为，∴，∴，∴ω=1，故函数f(x)的解析式为;(2)依题意，，令，则，∴函数g(x)的对称轴为;(3)∵，∴，∴，函数f(x)在上的草图如下，依题意，函数y=f(x)与直线y=m在上有两个交点，则，令，则，∴函数f(x)在上的对称轴为，则.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.已知幂函数在上单调递增，又函数.（1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由f（x）是幂函数，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m﹣1＞0，从而求出m＝﹣1，进而g（x），由此能求出函数g（x）在R上单调递增；（2）由g（﹣x）＝2﹣x（）＝﹣g（x），得到g（x）是奇函数，从而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g（﹣1﹣t），由此能求出实数t的取值范围．【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或， 又因为在上单调递增，所以，即，即，则， 因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增. （2）因为，所以是奇函数， 所以不等式可变为， 由（1）知在上单调递增，所以，解得.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.(1)当0≤时,写出S关于的函数表达式;(2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【答案】(1),S(2)2分钟【解析】分析】(1) 根据AD=2，AB=1，0≤，确定点E，F的位置，分0≤，，两种情况，利用三角形面积公式求解. (2)先得到“一个来回”中，OE共转了2，其中点G被照到时，共转了2，再利用角度关系求解.【详解】如图所示：                                  (1)过O作OH⊥BC，H为垂足.①当0≤时，E边AB上，F在线段BH上(如图①)，此时，AE=tan，FH=tan()，∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF=1tantan().   ②当时，E在线段BH上，F在线段CH上(如图②)，此时，EH，FH，可得EF.∴S=S△OEF().综上所述，S(2)在“一个来回”中，OE共转了2，其中点G被照到时，共转了2 ∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为92(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）因为g（x）=1ogax与f（x）=3x，互为反函数，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范围；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化简得x1x2=1，4x1+x2=4x1+，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+，分m＞0和m＜0分别求出h（x）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，当k=0时不满足条件，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，解得k＞1；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，因为0＜x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，所以x1x2=1，所以则4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，因为函数y=4x+在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以当x1=时，4x1+x2取得最小值为4．（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），（i）当m＞0，1+m3x＞1，则h（x）在[0，1]上单调递减，所以≤h（x）≤，①若||≥||，即m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），②若||＜||，即m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞），（ii）当m＜0时，①若－＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），②若m=－时，h（x）=－1+在[0，1]上单调递增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m＜－时，h（x）在[0，log3（－））上单调递增，h（x）在（log3（－），1]上单调递增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，④若m=－1，h（x）=－1+在（0，1]上单调递增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；综上所述，当m＜－1时，存在上界M，M∈[||，+∞），当－1≤m≤－时，不存在上界，当－＜m＜0时，存在上界M，M∈[，+∞），当m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），当m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞）．【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.