2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一(下)期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一(下)期末数学试卷,共21页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题。本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.(5分)已知为虚数单位,若复数满足,则的虚部为 A. B. C.1 D.2.(5分)采用简单随机抽样的方法,从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本,则某个个体被抽到的概率为 A. B. C. D.3.(5分)在中,若,则 A. B. C. D.4.(5分)阿基米德,公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为,则圆柱的表面积为 A. B. C. D.5.(5分)甲、乙、丙3人独立地破译某个密码,每人译出密码的概率均为,则密码被破译的概率为 A. B. C. D.6.(5分)下列命题中正确的是 A.过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行 B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C.过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面7.(5分)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为 A. B. C. D.8.(5分)已知,且,则 A. B. C. D.二、多项选择题。本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分。9.(5分)某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次,向上的点数分别为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,则这10个数 A.众数为2和3 B.标准差为 C.平均数为3 D.第85百分位数为4.510.(5分)一只不透明的口袋内装有9张卡片,上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数),“从中任抽取1张卡片,结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件,“从中任抽取1张卡片,结果卡片号小于7”记为事件,“从中任抽取1张卡片,结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是 A.事件与事件互斥 B.事件与事件对立 C.事件与事件相互独立 D.(A)(B)11.(5分)1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系,并给出公式为虚数单位,为自然对数的底数),这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式,下列说法正确的是 A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B. C. D.12.(5分)如图,在正方体中,点是棱的中点,点是线段上的一个动点,则以下叙述中正确的是 A.直线平面 B.直线不可能与平面垂直 C.直线与所成角为定值 D.三棱锥的体积为定值三、填空题。本题共4小题,每小题5分,共20分。(第16题第一空2分,第二空3分)13.(5分)用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数为 人.14.(5分)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周.如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5,则该圆锥的体积为 .15.(5分)在中,,,,点在边上,且,则的值为 .16.(5分)已知点,,均位于单位圆(圆心为,半径为上,且,则 ;的最大值为 .四、解答题。本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知复数,.(1)在复平面内,设复数,对应的点分别为,,求点,之间的距离;(2)若复数满足,求.18.(12分)如图,在三棱锥中,,,分别为棱,的中点,平面平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.19.(12分)某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问50名学生,根据这50名学生对个性化作业的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间,,,,,,,,.(Ⅰ)求频率分布直方图中的值;(Ⅱ)估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率;(Ⅲ)从评分在,的受访学生中,随机抽取2人,求此2人评分都在,的概率.20.(12分)已知向量,.(1)当时,求的值;(2)设函数,当,时,求的值域.21.(12分)刍甍是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.求积术日:倍下表,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示,四边形为长方形,平面,和是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若已知.①求二面角的余弦值;②求该五面体的体积.22.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,.已知,,是边上一点.(1)求的值;(2)若.①求证:平分;②求面积的最大值及此时的长.
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题。本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.(5分)已知为虚数单位,若复数满足,则的虚部为 A. B. C.1 D.【解答】解:,,的虚部为1.故选:.2.(5分)采用简单随机抽样的方法,从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本,则某个个体被抽到的概率为 A. B. C. D.【解答】解:由题意事件“抽取一个容量为2的样本,某个被抽到”包含了5个基本事件,而总的基本事件数是事件“某个个体被抽到的”概率是故选:.3.(5分)在中,若,则 A. B. C. D.【解答】解:由正弦定理知,,,,,,设,,,,,.故选:.4.(5分)阿基米德,公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为,则圆柱的表面积为 A. B. C. D.【解答】解:设球的半径为,由题意,所以,所以可得圆柱的底面半径为,高为,所以圆柱的表面积,故选:.5.(5分)甲、乙、丙3人独立地破译某个密码,每人译出密码的概率均为,则密码被破译的概率为 A. B. C. D.【解答】解:密码被破译的概率为.故选:.6.(5分)下列命题中正确的是 A.过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行 B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C.过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面【解答】解:对于,如图在正方体中,过直线外一点有两个平面,平面,平面都与直线平行,故错误;对于,由于垂直同一条直线的两个平面平行,故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,故正确:对于,如图在正方体中,过平面外一点有两个平面,平面,平面都与平面垂直,故错误;对于,当直线与平面相交时,过该直线,不能作出与已知平面平行的平面,故错误.故选:.7.(5分)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为 A. B. C. D.【解答】解:设与的夹角为,因为,且,所以,即,所以,所以,,所以,又,,所以.故选:.8.(5分)已知,且,则 A. B. C. D.【解答】解:,整理得:;根据选项得:,所以.故选:.二、多项选择题。本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分。9.(5分)某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次,向上的点数分别为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,则这10个数 A.众数为2和3 B.标准差为 C.平均数为3 D.第85百分位数为4.5【解答】解:众数为2和3,正确,平均数为,正确,标准差,错误,这组数按照从小到大排为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,又,且8.5非整数,第85百分位数为第九个数5,错误.故选:.10.(5分)一只不透明的口袋内装有9张卡片,上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数),“从中任抽取1张卡片,结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件,“从中任抽取1张卡片,结果卡片号小于7”记为事件,“从中任抽取1张卡片,结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是 A.事件与事件互斥 B.事件与事件对立 C.事件与事件相互独立 D.(A)(B)【解答】解:样本空间为,2,3,4,5,6,7,8,,,4,,,2,3,4,5,,,,因为,所以事件与事件互斥,故正确;因为,2,3,4,5,6,8,,,2,3,4,5,6,8,,所以事件与事件不对立,故错误;,(A),(B),(A)(B),即事件与事件相互独立,故正确;因为,,所以事件与事件不互斥,故错误;故选:.11.(5分)1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系,并给出公式为虚数单位,为自然对数的底数),这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式,下列说法正确的是 A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B. C. D.【解答】解:对于,因为,所以,,所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限,故错误;对于,故正确;对于,故正确;对于:因为,,所以,所以,选项正确.故选:.12.(5分)如图,在正方体中,点是棱的中点,点是线段上的一个动点,则以下叙述中正确的是 A.直线平面 B.直线不可能与平面垂直 C.直线与所成角为定值 D.三棱锥的体积为定值【解答】解:对选项,如图,易证,,且,,平面,,平面,平面平面,又平面,直线平面,选项正确;对选项,当点为中点时,满足直线平面,证明如下:如图,连接,又为的中点,,又,底面,底面,,且,平面,又平面,,同理可证,又,平面,又,平面,选项错误;对选项,由选项的证明同理可证平面,又平面,,直线与所成角为定值,选项正确;对选项,如图,,又△的面积等于矩形面积的一半为定值,易证平面,到平面的距离也为定值,三棱锥的体积为定值,选项正确.故选:.三、填空题。本题共4小题,每小题5分,共20分。(第16题第一空2分,第二空3分)13.(5分)用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数为 900 人.【解答】解:用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,高二年级要抽取人,该校高二年级共有学生300人,每个个体被抽到的概率是,该校学生总数是,即该校学生总数为900人.故答案为:900.14.(5分)某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周.如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5,则该圆锥的体积为 .【解答】解:设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l,周长为2πl,又圆锥底面半径为5,则底面周长为2π×5,故2πl=3×2π×5,解得l=15,所以圆锥的高为,所以圆锥的体积为,故答案为:15.(5分)在中,,,,点在边上,且,则的值为 .【解答】解:在中,,,,由余弦定理,所以,因为,则所以,由正弦定理,所以,由余弦定理,即,解得或,又,,所以,则,在中,由正弦定理,即,所以,又,所以,所以的值为.故答案为:.16.(5分)已知点,,均位于单位圆(圆心为,半径为上,且,则 ;的最大值为 .【解答】解:如图在单位圆中,设,又,,由余弦定理可得,,由三角函数定义得,,即,,设点为,,,,,,,,的最大值为,故答案为:;.四、解答题。本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知复数,.(1)在复平面内,设复数,对应的点分别为,,求点,之间的距离;(2)若复数满足,求.【解答】解:(1)因为,所以.(2)因为,,所以,所以,所以.18.(12分)如图,在三棱锥中,,,分别为棱,的中点,平面平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.【解答】证明:如图所示:(1),分别为棱,的中点,,,,所以面;(2),点为棱的中点,,又平面平面,平面平面,,面,又,平面平面.19.(12分)某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问50名学生,根据这50名学生对个性化作业的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间,,,,,,,,.(Ⅰ)求频率分布直方图中的值;(Ⅱ)估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率;(Ⅲ)从评分在,的受访学生中,随机抽取2人,求此2人评分都在,的概率.【解答】解:(Ⅰ)因为,所以.(Ⅱ)由所给频率分布直方图知,50名受访学生评分不低于70的频率为,所以该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为0.68.(Ⅲ)受访学生评分在,的有(人,即为,,;受访学生评分在,的有:(人,即为,.从这5名受访学生中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.又因为所抽取2人的评分都在,的结果有3种,即,,,,,,故所求的概率为.20.(12分)已知向量,.(1)当时,求的值;(2)设函数,当,时,求的值域.【解答】解:(1)即有,即,;(2),当,时,,,即,则,则的值域为.21.(12分)刍甍是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.求积术日:倍下表,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示,四边形为长方形,平面,和是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若已知.①求二面角的余弦值;②求该五面体的体积.【解答】解:(1)证明:五面体中,因为平面,平面,平面平面,所以;(2)过点作,作,垂足分别为,,过点作,作,垂足分别为,,连结,,如图, ①由(1)及四边形为长方形知,,所以,,所以即为二面角的平面角,因为,且和是全等的等边三角形,所以,,因此,在中,,,由余弦定理,得,故二面角的余弦值为;②取中点,连结,由知,,因为,,且,是平面内两相交直线,所以平面,因为平面,所以,又,是平面内两相交直线,所以平面,在中,,,可得,所以四棱锥和的体积均为,三棱锥的体积,所以该五面体的体积为.22.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,.已知,,是边上一点.(1)求的值;(2)若.①求证:平分;②求面积的最大值及此时的长.【解答】解:(1)因为,,所以,所以的值为3;(2)①证明:因为,所以,由知,,,设,,,在中,由正弦定理得,,即,所以,在中,由正弦定理得,,即,所以,所以,即,所以平分,②在中,因为,,由余弦定理得,,而的面积;由得,所以,所以当即时,面积最大为3,此时在中,,,,所以由余弦定理求得,,在中,由余弦定理得,所以此时.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/7/30 15:02:30;用户:高中数学6;邮箱:tdjyzx38@xyh.com;学号:42412367
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