2021-2022学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷

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一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）计算的结果是　　

A． B． C． D．

2．（5分）在锐角三角形中，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为　　

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4

4．（5分）某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩分的人数是　　

A．20 B．30 C．40 D．50

5．（5分）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是　　

A． B． C． D．

6．（5分）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为　　

A． B． C． D．

7．（5分）若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是　　

A．至少与，中一条相交 

B．至多与，中一条相交 

C．至少与，中一条平行 

D．必与，中一条相交，与另一条平行

8．（5分）如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为　　

A． B． C． D．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则　　

A．这组数据的平均数是5 B．这组数据的方差是 

C．这组数据的众数是8 D．这组数据的75百分位数是6

10．（5分）在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则　　

A． 

B．长方体的体积为 

C．直线与的夹角的余弦值为 

D．二面角的正切值为2

12．（5分）在平面四边形中，，，，则　　

A．当时，，，，四点共圆 

B．当，，，四点共圆时， 

C．当时，四边形的面积为3 

D．四边形面积的最大值为

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知是锐角，，则的值是 　　．

14．（5分）已知复数满足，的虚部为，所对应的点在第二象限，则　　．

15．（5分）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是 　　．

16．（5分）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的体积为 　　，三棱锥的内切球的表面积为 　　．

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，满足，，．求：

（1）；

（2）与的夹角．

18．（12分）从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．

（1）求组成的两位数是偶数的概率；

（2）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形．

（1）若点是的中点，证明：平面；

（2）若，，且平面平面，求直线与平面所成角的正切值．

20．（12分）已知向量，向量．

（1）若是第四象限角，且，求的值；

（2）若函数，对于，不等式（其中，恒成立，求的最大值．

21．（12分）在中，，，是边上一点，且．

（1）若，求的面积；

（2）若，求的长．

22．（12分）如图，在正方体中：

（1）证明：平面；

（2）若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）

2021-2022学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）计算的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．（5分）在锐角三角形中，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

由正弦定理可得：，

，

，

为锐角三角形，

．

故选：．

3．（5分）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为　　

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4

【解答】解：一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，

（目标未受损），（目标受损），

目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，

（目标受损）（目标受损但未完全击毁）（目标受损但击毁），

即：（目标受损但未完全击毁），

（目标受损但未完全击毁）．

故选：．

4．（5分）某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩分的人数是　　

A．20 B．30 C．40 D．50

【解答】解：由频率分布直方图得抽取成绩在分的频率为：

，

分的频率为：

，

抽取成绩分的人数是：

（人．

故选：．

5．（5分）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

在上的投影向量是：．

故选：．

6．（5分）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设直角梯形上下底和高分别为，，，它们分别为圆台的上下底半径和高，

如图，过点作于，则中，

，，

，

这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为：

．

故选：．

7．（5分）若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是　　

A．至少与，中一条相交 

B．至多与，中一条相交 

C．至少与，中一条平行 

D．必与，中一条相交，与另一条平行

【解答】解：，为两条异面直线，，为两个平面，，，，

可得图形如图：至少与，中一条相交，否则，与已知条件矛盾，所以正确；不正确；

由图1，可知不正确；

由图1可知，必与，中一条相交，与另一条平行，所以不正确；

故选：．

8．（5分）如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设倾斜角，，

，

，

，

当时，等号成立，

所以，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短．

故选：．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则　　

A．这组数据的平均数是5 B．这组数据的方差是 

C．这组数据的众数是8 D．这组数据的75百分位数是6

【解答】解：数据从小到大排列为：2，3，3，3，6，7，8，8，

则这组数据的平均数为，故项正确；

这组数据的方差为：，故项正确；

这组数据中有3个3，2个8，1个2，1个6，1个7，所以众数为3，故项错误；

因为，这组数据的75百分位数是7，故项错误．

故选：．

10．（5分）在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意得，，，

，，，，，，．

故选：．

11．（5分）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则　　

A． 

B．长方体的体积为 

C．直线与的夹角的余弦值为 

D．二面角的正切值为2

【解答】解：设，，，由题意可得，，，

解得，，，所以，故错误；

长方体的体积为，故正确；

连接，，，所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，

，，，

，所以直线与的夹角的余弦值为，故正确；

连接，，，作交于，因为平面，平面，

所以，又，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，

因为，

所以，所以，故错误．

故选：．

12．（5分）在平面四边形中，，，，则　　

A．当时，，，，四点共圆 

B．当，，，四点共圆时， 

C．当时，四边形的面积为3 

D．四边形面积的最大值为

【解答】解：如图，平面四边形中，，，，

若，则在中，，故，

故在中，，结合，故，，故，，，四点共圆，

此时，，

所以，所以，即，

故正确，错误；

由，设，则，所以，

代入数据整理得，即①；

再令②；

①②得：，故，，故正确；

由题意③，

又，代入数据整理得④；

③④并整理得：，则当时，（取得最大值），

解得，故正确．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知是锐角，，则的值是 　　．

【解答】解：因为是锐角，，

所以，

则．

故答案为：．

14．（5分）已知复数满足，的虚部为，所对应的点在第二象限，则　　．

【解答】解：设，，

，的虚部为，

①，，②，

又所对应的点在第二象限，

，，

联立①②解得，，

．

故答案为：．

15．（5分）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是 　5　．

【解答】解：如下图，

在中，

由余弦定理可知，

另外，由图可知，在点与点重合时，，，

故答案为：5．

16．（5分）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的体积为 　6　，三棱锥的内切球的表面积为 　　．

【解答】解：因为，，，在中，，

所以，又平面，所以；

因为平面，，，平面，

所以，，，故，

又，，所以平面，

又平面，所以，

所以，，，均为直角三角形，

设三棱锥的内切球的球心为，半径为，

则，

即，

解得，故三棱锥的内切球的表面积．

故答案为：．

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，满足，，．求：

（1）；

（2）与的夹角．

【解答】解：（1）由，得，

即有，

又因为，，

所以，

则，

解得；

（2）因为，，

所以与的夹角为．

18．（12分）从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．

（1）求组成的两位数是偶数的概率；

（2）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．

【解答】解：（1）设事件：“组成的两位数是偶数”，则样本空间：

，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，41，42，43，45，51，52，53，，

，14，24，32，34，42，52，，

组成的两位数是偶数的概率（A）．

（2）设事件：“组成的两位数是3的倍数”，

则，15，21，24，42，45，51，，，24，42，，

（B），，

（A）（B），

事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形．

（1）若点是的中点，证明：平面；

（2）若，，且平面平面，求直线与平面所成角的正切值．

【解答】证明：（1）在四棱锥中，底面是菱形，

连接交于点，连接，

因为底面是菱形，故点是的中点，

又因为点是的中点，故，

又因为平面，平面，

所以，平面；

解：（2）若，，且平面平面，

取的中点，连接，，

因为，且为的中点，

故，

又因为平面平面，

平面平面，平面，

故平面，

则直线与平面所成角为，

在中，，

在中，，

在中，，

故直线与平面所成角的正切值为．

20．（12分）已知向量，向量．

（1）若是第四象限角，且，求的值；

（2）若函数，对于，不等式（其中，恒成立，求的最大值．

【解答】解：（1）因为，故，

又因为是第四象限角，故，

由，得；

（2）

，

又，当时，；当，，

故，，则的最大值为．

21．（12分）在中，，，是边上一点，且．

（1）若，求的面积；

（2）若，求的长．

【解答】解：（1）由题意可得，

因为，

所以，

利用三角形的面积公式可得的面积．

所以的面积为．

（2）因为，得：，

利用诱导公式可得：，

因为由正弦定理可得，

解得：，

由正弦定理可得：，

由余弦定理可得：，整理可得：，

解方程可得：，

可得，与是边上一点矛盾，可得这样的不存在．

22．（12分）如图，在正方体中：

（1）证明：平面；

（2）若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）

【解答】解：（1）证明：连接，，

在正方体中，，

由平面，平面，得，

又因为，故平面，

又平面，故，

同理，又因为，

所以平面；

（2）过点作，交于点，

过点作，交于，

过点作，交于，

由作法可知，，，故，

又，故，则，，，四点共面，

由，，

由（1）可知，，

故，，，故平面，

平面即为所求的平面，

因为平面平面，平面平面，

设平面平面，则，

又因为，可得，同理可得，

故平面截正方体所得截面为平面六边形，

设，，

则，，，

等腰梯形的面积，等腰梯形的面积，

截面六边形面积，当，，

故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为．

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