2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）的值为　　A．1 B． C． D．2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为　　A．6 B．6.5 C．7 D．5.53．（5分）设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　A．2 B．1 C． D．4．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　A． B． C． D．5．（5分）设函数在区间，内有零点，则的值为　　A． B．0 C．1 D．26．（5分）已知，则　　A． B． C． D．7．（5分）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵” ，其中，，当“阳马”（即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为　　A． B． C． D．8．（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列有关复数的说法正确的是　　A．若复数，则 B．若，则是纯虚数 C．若是复数，则一定有 D．若，，则10．（5分）已知，是不同的平面，，是不同的直线，则使得成立的充分条件是　　A．， B．，， C．， D．，，11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列说法正确的是　　A．若有两解 B．若，有两解 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为钝角三角形，则的取值范围是12．（5分）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　A． B．直线过边的中点 C． D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。13．（5分）　　．14．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 　　．15．（5分）在平面直角坐标系中，点、、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 　　．16．（5分）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是 　　，此时外接圆的半径为 　　．四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．（1）求实数；（2）定义复数的一种运算“”： ，求．18．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在，内，将笔试成绩按照，，，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．19．（12分）已知，为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．20．（12分）在中，，，分别为角，，的对边，，，且，．（1）求角大小；（2）为边上一点，，且 ______，求的面积．（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．21．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．（1）求证：；（2）当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．22．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，，，为边上两点，，．（1）求的长；（2）过线段中点作一条直线，分别交边，于，两点，设，，求的最小值．
2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）的值为　　A．1 B． C． D．【解答】解：．故选：．2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为　　A．6 B．6.5 C．7 D．5.5【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为，即在第6位和第7位上的数字和的平均数．故选：．3．（5分）设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　A．2 B．1 C． D．【解答】解：，，，，，，三点共线，，，，，故选：．4．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，，故圆锥的底面半径为．故选：．5．（5分）设函数在区间，内有零点，则的值为　　A． B．0 C．1 D．2【解答】解：由，可得在上单调递增，由（1），（2），可得在内存在零点，则．故选：．6．（5分）已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：，， 则，故选：．7．（5分）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵” ，其中，，当“阳马”（即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解答】解：由已知可得，平面，则，解得．此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径，三棱柱的外接球的体积为．故选：．8．（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，根据题意得，解得，，，，，，又、、三点共线，，，当且仅当，即时，等号成立．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）下列有关复数的说法正确的是　　A．若复数，则 B．若，则是纯虚数 C．若是复数，则一定有 D．若，，则【解答】解：对于，设，，则，若，则，，故正确；对于，设时，，而不是纯虚数，故错误；对于，当时，则，，，故错误；对于，令，，则，，，，，若，，则，故正确．故选：．10．（5分）已知，是不同的平面，，是不同的直线，则使得成立的充分条件是　　A．， B．，， C．， D．，，【解答】解：若，，则，平行，相交，异面，错误，若，，，根据线面平行的性质，则，正确，若，，根据线面垂直的性质，则，正确，若，，，根据线面，面面平行的性质，则，平行，异面，相交，错误．故选：．11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列说法正确的是　　A．若有两解 B．若，有两解 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为钝角三角形，则的取值范围是【解答】解：选项，，有两解，故正确；选项，，是锐角，是确定的，至多有一解，故错误；选项，为锐角三角形，，所以，即，，，，，故正确；选项，事实上，当时，恰好有，；当时，必有，故错误．故选：．12．（5分）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　A． B．直线过边的中点 C． D．若，则【解答】解：对于，，，，故正确；对于，若直线必过边的中点，则与矛盾，故错误；对于，由奔驰定理得：，，故正确；对于，，，，，，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。13．（5分）　　．【解答】解：．故答案为：．14．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 　　．【解答】解，是直线与所成的角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，，，，，直线与所成的角为，故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系中，点、、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 　　．【解答】解：在平面直角坐标系中，点、、，，，，，，，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．故答案为：．16．（5分）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是 　　，此时外接圆的半径为 　　．【解答】解：因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，由正弦定理得，由题意可得，当时，三角形的面积最大，此时，，，解得，设外接圆的半径为，，可得，可得．故答案为：；3．四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．（1）求实数；（2）定义复数的一种运算“”： ，求．【解答】解：（1）复数，，，，是“理想复数”， ，．（2）由（1）知，，则，，由，得．18．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在，内，将笔试成绩按照，，，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，解得．（2）应聘者笔试成绩的众数为：，应聘者笔试成绩的平均数为：．（3）由频率分布直方图可知：，中有：，，中有：，，中有：，，中有：，设分数线定为，则，，，解得．故分数线为65．19．（12分）已知，为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1），．（2），为锐角，则，而，则，于是，．．20．（12分）在中，，，分别为角，，的对边，，，且，．（1）求角大小；（2）为边上一点，，且 ______，求的面积．（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．【解答】解：（1），，且，，，，在三角形中，，，故；（2）选①：因为为的平分线，所以，又因为，所以，即，则，又由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去）．所以；选②：因为为的中点，则，，则，故有，即，又由余弦定理可得，解得，所以．21．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．（1）求证：；（2）当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）在三棱锥中，面面，面面，又，面，面，又面，； （2）取中点，连接，，如图，因，于是得平面，是与平面所成角，即，令，则，因，即有，由（1）知，则有，过作于，在平面内过作交于点，从而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得．，，显然是斜边中点，则，中，由余弦定理得．二面角的余弦值为．22．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，，，为边上两点，，．（1）求的长；（2）过线段中点作一条直线，分别交边，于，两点，设，，求的最小值．【解答】解：（1）在与中分别有正弦定理可得：和，两式相除可得：又因为，所以可得，因为，，所以，因为，所以，，又，在中，由余弦定理可得，可得，在和中由余弦定理可得：，即，可得，所以；（2）因为，所以，得，得，所以，同理：设，，得，因为为中点，所以，所以可得：，可得：，，当且仅当：时取等号，即，，所以的最小值．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:57:25；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367