2021-2022学年江苏省南通市如东县、海安市高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南通市如东县、海安市高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省南通市如东县、海安市高一（下）期末数学试卷
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）设集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
2．（5分）若，则　　
A． B．8 C． D．5
3．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是　　
A． B． C． D．
5．（5分）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知是定义域在上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是　　
A．（4）
B．的图象关于直线对称
C．
D．若，则
7．（5分）一个表面被涂上红色的棱长为的立方体，将其适当分割成棱长为的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是　　
A． B． C． D．
8．（5分）在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　
A．1 B．3 C．2 D．4
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9．（5分）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则　　
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
D．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
11．（5分）已知向量，，，，函数，则　　
A．若的最小正周期为，则的图象关于点，对称
B．若的图象关于直线称，则可能为
C．若在，单调递增，则
D．若的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则的最小值为
12．（5分）如图1所示，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，将，和分别沿，及所在的直线折起，使，，三点重合于点，得到三棱锥如图2所示），设为底面内的动点，则　　

A．
B．二面角的余弦值为
C．直线与所成的角中最小角的余弦值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若数据，，，的方差为18，则数据，，，的方差为 　　．
14．（5分）已知菱形的边长为1，，，，则　　．
15．（5分）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上．若以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则　　．

16．（5分）有如下解法求棱长为的正四面体的体积：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该正四面体的“生成正方体”（如图一），正四面体的体积．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为 　　．


四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，底面为矩形的四棱锥中，平面．，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．

18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且____．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
19．（12分）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为“学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在，之间，其得分的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从得分在，，，，，这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．

20．（12分）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂，设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
21．（12分）如图，是圆的直径，是圆上异于，一点，直线平面，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正切值．

22．（12分）已知函数．
（1）求函数的周期；
（2）若不等式对任意，恒成立，求整数的最大值；
（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在，上有解，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省南通市如东县、海安市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）设集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：因为，，
则．
故选：．
2．（5分）若，则　　
A． B．8 C． D．5
【解答】解：，
，
．
故选：．
3．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
所以．
故选：．
4．（5分）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，正三棱锥中，，

取的中点，连接，，
则在上，且，
又，，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为．
故选：．

5．（5分）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，两个非零向量，满足，
四边形是矩形，且，
．
．
．
．
向量与的夹角为．
故选：．

6．（5分）已知是定义域在上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是　　
A．（4）
B．的图象关于直线对称
C．
D．若，则
【解答】解：由可得．函数图象关于对称，错误；
因为为奇函数，即，
所以，
所以，正确；
因为（4），正确；
若，则（5），正确．
故选：．
7．（5分）一个表面被涂上红色的棱长为的立方体，将其适当分割成棱长为的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：将棱长为的立方体分割为棱长为的小立方体总个数为，
其中包含原来大立方体8个顶点的小立方体有3个面被涂红，每个顶点只会被分割到一个小立方体，
所以总共有（个，
包含原来大立方体12条棱但不包含顶点的小立方体有两个面被涂红，
由于每条棱左右有两个顶点，
所以在除去大立方体8个顶点后每条棱长度为，
所以总共个两面涂红的小立方体，
所以抽取一个，两面涂红的小立方体概率为，
故选：．
8．（5分）在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　
A．1 B．3 C．2 D．4
【解答】解：，
，
即，
即，
得，
整理得，
，，
，
，
当且仅当，即，，时取等号，
，，
，
则面积的最大值为．
故选：．
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9．（5分）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则　　
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
【解答】解：对，第一枚正面朝上的概率是，故错误；
对，第一枚正面朝上的概率（A），三枚硬币朝上的面相同的概率（B），又，因为（A）（B），故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故正确；
对，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故错误；
对，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故正确．
故选：．
10．（5分）下列说法正确的是　　
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
D．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
【解答】解：对于，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是，故正确；
对于，8个数据70百分数为，第70百分位数为第6个数为23，故正确；
对于，一组数据1，2，3，3，4，5的众数是3，平均数是3，故错误；
对于，甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为，故正确．
故答案为：．
11．（5分）已知向量，，，，函数，则　　
A．若的最小正周期为，则的图象关于点，对称
B．若的图象关于直线称，则可能为
C．若在，单调递增，则
D．若的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则的最小值为
【解答】解：



，
对：当时，，令，
解得，当时，，所以的图象关于点，对称，故错误；
对：如的图象关于直线称，则，
则，所以当时，，故正确；
对：因为函数在，上递增，所以，解得，故正确；
对的图象向左平移个单位长度后得到，
若该函数为偶函数，则，解得，
又，所以，故错误．
故选：．
12．（5分）如图1所示，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，将，和分别沿，及所在的直线折起，使，，三点重合于点，得到三棱锥如图2所示），设为底面内的动点，则　　

A．
B．二面角的余弦值为
C．直线与所成的角中最小角的余弦值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【解答】解：根据题意，，，，，平面，
故平面，平面，故，故正确；
取为中点，又，所以，

又，故三角形为等腰三角形，连接，则，
根据二面角的定义，显然即为所求二面角，
在三角形中，，，
又，故，
故二面角的余弦值为，则错误；
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
由平面，，
故，因此，
因为平面，故是与平面内的所有直线所成的最小的角，
故，故正确；
因为，，两两垂直，
故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为2，2，4的长方体的外接球半径相等，
故其外接球半径，
故外接球表面积，故正确．
故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若数据，，，的方差为18，则数据，，，的方差为 　2　．
【解答】解：设数据，，，的方差是，
则，解得，
故答案为：2．
14．（5分）已知菱形的边长为1，，，，则　　．
【解答】解：如图，





，
故答案为：．

15．（5分）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上．若以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则　　．

【解答】解：由题意可得，，
所以，，，
由，，
则，
故答案为：．
16．（5分）有如下解法求棱长为的正四面体的体积：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该正四面体的“生成正方体”（如图一），正四面体的体积．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为 　2　．


【解答】解：设等腰四面体的“生成长方体”的长，宽，高，分别是，，，由条件可知，
，解得：，，，
所以该四面体的体积．
故答案为：2．
四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，底面为矩形的四棱锥中，平面．，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．

【解答】证明：（1）设的中点为，连，，
则易得四边形是平行四边形
则，平面，平面
所以平面
（2）平面，平面

又，
平面
平面



18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且____．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
【解答】解：（1）若选①：在中，由，
可得，，
根据正弦定理，得，
又，，
，，
若选②：在中，，
，
根据正弦定理，得，
，
，
，则，
若选③：在中，，，
根据正弦定理，得，
又，
，
，
又，，则，
（2），，
，
又由余弦定理得，
，外接圆的直径为，，
故外接圆的面积，
19．（12分）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为“学习航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在，之间，其得分的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从得分在，，，，，这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．

【解答】解：（1）根据题意知，解得，
所以这100名同学得分的平均数是：．
（2）由条件知从，抽取3名，从，中抽取2名，从，抽取1名，分别记为，，，，，，因此样本空间可记为
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，
设“这2名同学的得分不在同一组”为事件，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，包含样本点的个数为11，
所以（A），
即这2名学生的得分不在同一组的概率为．
20．（12分）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂，设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
【解答】解：（1）记事件为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故．
（2）记事件为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故．
21．（12分）如图，是圆的直径，是圆上异于，一点，直线平面，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正切值．

【解答】解：（1）因为平面，，平面，
所以，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
因为，，所以，
所以，
因为平面，
所以三棱锥的体积，
在中，因为，
由余弦定理，得，
因为，所以，
所以的面积，
记点到平面的距离为，
则，解得；
（2）由（1）知，，，
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
在平面中，过作，垂足为，
连接，因为，，平面，

所以平面，
所以即为二面角的平面角，
因为，，
所以，，
在中，，
所以二面角的正切值为．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的周期；
（2）若不等式对任意，恒成立，求整数的最大值；
（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在，上有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，，
可得函数的周期为；
（2）因为，所以，
所以，
所以当时，的最小值为1，
当时，的最大值为2，
所以，
由题意得，，
所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以整数的最大值为4；
（3）由题意知，，
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，
整理得：，
即在区间上有解，
令，
式可转化为：在内有解，
所以，
又因为和在为增函数，所以在为增函数，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以，
综上所述：的取值范围为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:58:17；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367