2021-2022学年江苏省苏州市昆山中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市昆山中学高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州市昆山中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）复数为虚数单位）的虚部是　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知平行四边形中，，，对角线，交于点，则的坐标为　　
A． B． C． D．
3．（5分）设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　
A．若，，，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
4．（5分）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为　　

A． B． C． D．
5．（5分）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
6．（5分）三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是　　

A．在被抽取的学生中，成绩在区间，内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为78
D．这100名学生成绩的中位数为80
8．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为　　

A． B．2 C． D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）下列命题为真命题的是　　
A．若，为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
10．（5分）下列说法中正确的有　　
A．对于向量，，，有
B．与向量的夹角为的单位向量是
C．，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．中，是边上一点，满足，，则
11．（5分）下列四个命题正确的为　　
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
B．现有7名同学的体重（公斤）数据如下；50，55，45，60，68，65，70，则这个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68
C．新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为
D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否适到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
12．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是　　
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），，，，则这块菜地的面积为　 　．

14．（5分）化简的结果是　　．
15．（5分）如图几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 　　．

16．（5分）如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．若，则　　；若，，，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知平面向量，，满足||＝2，||＝1．
（1）若（+）•＝0，求向量与的夹角；
（2）若•＝，函数f（x）＝|sinx+cosx|，求f（）的值．



18．（12分）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
，
22
0.22
，
31
0.31
，

0.16
，
10
0.10
，


，
5
0.05
，
5
0.05
，
3
0.03
，
2
0.02
合计
100
1
（1）求表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．










19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．









20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．




21．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．






















22．（12分）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点．如图，，，点是上的动点．沿将纸片折为直二面角，并连结，，，．
（1）当平面时，求的长；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．


2021-2022学年江苏省苏州市昆山中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）复数为虚数单位）的虚部是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
的虚部为
故选：．
2．（5分）已知平行四边形中，，，对角线，交于点，则的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：平行四边形中，，，
，
，，
故选：．
3．（5分）设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　
A．若，，，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【解答】解：对于，若，，，
当时，无法判断与是否平行，故错误；
对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则，
又，所以，故正确；
对于，若，，，，
当时，无法判断与是否垂直，故错误．
故选：．
4．（5分）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题，圆锥部分高度为，
，
，
解得．
此陀螺圆柱底面的面积为．
故选：．
5．（5分）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
6．（5分）三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：一共有27个小方块，其中边缘方块有12个，
从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为：．
故选：．
7．（5分）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是　　

A．在被抽取的学生中，成绩在区间，内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为78
D．这100名学生成绩的中位数为80
【解答】解：选项，成绩在区间，的频率为，则人数为，故正确；
选项，由频率分布直方图可知，学生成绩的众数为85，故正确；
选项，全校学生成绩的平均分数为，故正确；
选项，成绩在区间，的频率为0.1成绩在区间，的频率为0.15，
成绩在区间，的频率为0.2，成绩在区间，的频率为0.45，
由，
所以这100名学生成绩的中位数在之间，设为，
则，解得，故不正确，
故选：．
8．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为　　

A． B．2 C． D．3
【解答】解：如图所示：

取的中点，连接，，，
在正方体中，易得，
又因为平面，平面，
所以平面，同理证得平面，
又因为，
所以平面平面，
因为是侧面内一点（含边界），且平面，
所以点在线段上运动，
如图所示：

在等腰中，作，且，所以，
设点到线段的距离为，
由等面积法得，
解得，
所以线段长度的取值范围是，
故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．（5分）下列命题为真命题的是　　
A．若，为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
【解答】解：设，则，故，故正确；
因为，故错误；
因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故正确；
因为，其共轭复数为，故错误；
故选：．
10．（5分）下列说法中正确的有　　
A．对于向量，，，有
B．与向量的夹角为的单位向量是
C．，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．中，是边上一点，满足，，则
【解答】解：对，向量数量积为标量，故不一定等于，故错；
对，设单位向量，则有，又．
可解得，或，，故与向量的夹角为的单位向量是或，故错；
对，存在负数，使得，则反向，则，充分性成立；
当成立，夹角为，则不一定反向，必要性不成立．
故“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件，对；
对，因为，故，故，，，故对；
故选：．
11．（5分）下列四个命题正确的为　　
A．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
B．现有7名同学的体重（公斤）数据如下；50，55，45，60，68，65，70，则这个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68
C．新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为
D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否适到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
【解答】解：．抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，
向上点数之和不小于10的基本事件有，，，，，共6种，所以所求事件的概率，故正确；
．因为，
所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故正确；
．从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为，
选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，
所以所求事件的概率，故正确；
．该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，
所以概率为，故错误；
故选：．
12．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是　　
A．
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
【解答】解：对，，所以正确；
对，，即，
的内角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故错误；
对，由正弦定理得：，得：，
整理得：，，或，故错误；
对：由题意知：、、中是最大的正数，由变形得：，，为锐角，又知为最大角，为锐角三角形，故正确；
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），，，，则这块菜地的面积为　　．

【解答】解：如图，
直观图四边形的边在轴上，在原坐标系下在轴上，长度不变，
点在轴上，在原图形中在轴上，且长度为长的2倍，过作轴，
且使长度等于，则点为点在原图形中对应的点．
四边形为四边形的原图形．
在直角梯形中，由，，得．
四边形的面积，
故答案为：．

14．（5分）化简的结果是　1　．
【解答】解：
，
故答案为：1．
15．（5分）如图几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 　　．

【解答】解：设正四棱柱和正四棱锥的高为，
则其外接球的半径为，
解得，所以，
故球的表面积为．

故答案为：．

16．（5分）如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．若，则　　；若，，，则　　．

【解答】解：由题意可知点为三角形的重心，
因为，
所以，
所以，则；
因为，，，
所以，
又，所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知平面向量，，满足||＝2，||＝1．
（1）若（+）•＝0，求向量与的夹角；
（2）若•＝，函数f（x）＝|sinx+cosx|，求f（）的值．
【解答】解：（1）设向量与的夹角为θ（0≤θ＜π）．
因为（）＝0且||＝2，||＝1．
可得（）＝＝||||cosθ+1＝2cosθ+1＝0，解得cosθ＝﹣．
又因为θ∈[0，π]，所以．
（2）由题意知．
则f（x）＝|sinx+cosx|＝
＝
＝
＝．
所以f（）＝＝．
18．（12分）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
，
22
0.22
，
31
0.31
，

0.16
，
10
0.10
，


，
5
0.05
，
5
0.05
，
3
0.03
，
2
0.02
合计
100
1
（1）求表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．
【解答】解：（1）由图表可知，，区间内，居民用水量的频率为0.16，
．
则，
频率．
（2）．
（3）由表中数据可得，月平均用水量在，有3户，设为，，，
月平均用水量在，有2户，设为，，
从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户的基本事件共10个：
分别为，，，，，，，，，，
其中来自不同分组的可能事件共6个：分别为，，，，，，
记事件户居民来自不同分组，
则（A）．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）平面，平面，，
又四边形是矩形，，
，平面，
平面，，
又是的中点，，，
，所以平面；
解：（2）底面是矩形，，
异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由（1）得平面，平面，
平面，，为直角三角形，
又是的中点，，，
在中，即为异面直线与所成角，故，
异面直线与所成角的正切值为；
解：（3）取中点为，连接，，

在中，，分别为线段，的中点，故，
平面，平面，
，
由（1）得平面，平面，，
，，又，，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．

【解答】解：（1）因为，
所以，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，
根据余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以．
21．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
【解答】解：（1）设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，
则（A），（B），
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，
则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与相互独立，与相互互斥，
（C）（A）（B），
（D）（A）（B）（A）（B），
由题意得：，
解得或，
，，．
（2）设甲同学答对了道题，乙同学答对 了道题，，1，2，
由题意得：
，，
，，
设甲乙二人共答对3道题，则，
（E），
甲乙两人共答对3道题的概率为．
22．（12分）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点．如图，，，点是上的动点．沿将纸片折为直二面角，并连结，，，．
（1）当平面时，求的长；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）平面，平面内，平面平面，
，
，
，，
的长为．
（2），平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
当且仅当，即时，三棱锥的体积最大，
取中点，连接，，
由，，，得，如图，

，，即是二面角的平面角，
，在中，，则，
，
二面角的余弦值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 15:02:49；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367