2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则　　A．1 B．5 C．7 D．252．（5分）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为7”，事件 “点数之和为3的倍数”，则　　A．为不可能事件 B．与为互斥事件 C．为必然事件 D．与为对立事件3．（5分）已知，则　　A． B． C． D．4．（5分）已知数据，，，的平均数为3，方差为1，那么数据，，，的平均数和方差分别为　　A．3，1 B．9，3 C．10，9 D．10，105．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则6．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为　　A． B． C． D．7．（5分）在中，，若，则的值为　　A． B． C． D．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）设向量，满足，则　　A．与的夹角为 B． C． D．10．（5分）如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是　　A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大11．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是　　A．若，则 B．若，，，则该三角形有两解 C．若，则一定为等腰三角形 D．若，则一定为钝角三角形12．（5分）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　　A．直线与直线夹角为 B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若平面，则动点的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在中，若，，则　　．14．（5分）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为 　　．15．（3分）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 　　；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 　　．16．（5分）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）求证：．18．（12分）已知，，其中．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．20．（12分）2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主题．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据以组距2分成9组：，，，，，，，，，，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说明理由；（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为，和，的两组中，用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．21．（12分）如图，经过城市有两条夹角为的公路，，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站，（异于城市，为方便运输，要求（单位：．设．（1）当时，求垃圾处理站与城市之间的距离；（2）当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？22．（12分）如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．（1）当为线段中点时，求点到平面的距离；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．
2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则　　A．1 B．5 C．7 D．25【解答】解：，，．故选：．2．（5分）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为7”，事件 “点数之和为3的倍数”，则　　A．为不可能事件 B．与为互斥事件 C．为必然事件 D．与为对立事件【解答】解：同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件 “点数之和为7”，包括：，，，，，，事件 “点数之和为3的倍数”，包括：，，，，，，，故为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件，故错误，与为互斥事件，故正确，为不可能事件，故错误，事件，不能包含全部基本事件，即与不是对立事件，故错误．故选：．3．（5分）已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：由题可知，．故选：．4．（5分）已知数据，，，的平均数为3，方差为1，那么数据，，，的平均数和方差分别为　　A．3，1 B．9，3 C．10，9 D．10，10【解答】解：因为数据，，，的平均数为3，方差为1，所以，．新数据定义为．则．．故选：．5．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则【解答】解：对于，若，，，则与平行或异面，故错误．对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，，，则，故正确；对于，若，，则也可能相交，故不正确．故选：．6．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率．所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：．故选：．7．（5分）在中，，若，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，故选：．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为　　A． B． C． D．【解答】解：设正四棱锥的底面边长为，高为，因为球的体积为，所以，解得：，如图示：在正四棱锥中，，则面， 因为，侧棱，所以外接球的球心在的延长线上，由题意可得：，即，解得：，所以该正四棱锥的体积为：．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）设向量，满足，则　　A．与的夹角为 B． C． D．【解答】解：由向量，满足，则，则，，即选项错误，选项、正确；又，即选项正确，故选：．10．（5分）如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是　　A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大【解答】解：由表中数据可得，，则该市14天空气质量指数的平均值小于100，故错误，将14天的空气质量指数由小到大排列为：33，38，52，53，55，65，76，81，102，102，116，122，158，163，则该市14天空气质量指数的中位数为：，故正确，，则该市14天空气质量指数的30百分位数为55，故正确，对于，由图象可知，连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的波动最大，即方差最大，故正确．故选：．11．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是　　A．若，则 B．若，，，则该三角形有两解 C．若，则一定为等腰三角形 D．若，则一定为钝角三角形【解答】解：中，在三角形中，由大边对大角，因为，所以，再由正弦定理可得，所以正确；中，若，，，因为，且，可得该三角形有一个解，故不正确；中，，由正弦定理可得，可得，所以或，所以可得或，即可得三角形为等腰三角形或直角三角形，故不正确；中，，由正弦定理，可得，所以为钝角，所以正确；故选：．12．（5分）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　　A．直线与直线夹角为 B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若平面，则动点的轨迹长度为【解答】解：对，连接，，，，可得正△，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故正确；对，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，故正确；对，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，其长度为，故错误；对，取中点，连接如图，由，截面为等腰梯形，易得，，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故正确；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在中，若，，则　　．【解答】解：由正弦定理可得：，，，，则．故答案为：．14．（5分）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为 　　．【解答】解：，，，在复平面上对应的点分别为，，，，．故答案为：．15．（3分）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 　　；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 　　．【解答】解：如图，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆台，其体积；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆柱内部挖去一个圆锥，其表面积．故答案为：；．16．（5分）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为 　　．【解答】解：，设中角，，所对的边分别为，，，则，，，则，，当且仅当时等号成立，，即的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）求证：．【解答】证明：（1）因为点，分别为棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，点为棱的中点，所以，因为平面平面，所以平面，又平面，所以．18．（12分）已知，，其中．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）知：，因为，则，故．（2）由由，知：，由题意，得，结合（1）有，．19．（12分）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．【解答】解：（1）由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故．（2）由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为．20．（12分）2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主题．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据以组距2分成9组：，，，，，，，，，，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说明理由；（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为，和，的两组中，用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．【解答】解：（1）由图可知：解得：；（2）不低于12吨的用户的频率为：，将此频率作为概率，则估计10万用户中不低于12吨的用户数；（3），的频率为，有（人，，的频率为，有（人，共48人，根据分层抽样的原则，在，组抽取（人，记为，，在，组抽取（人，记为，，，，样本空间包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，共15个，设“抽取的这2户居民来自不同组”为事件，则事件包含的样本点为，，，，，，，，共8个，所以（C），即抽取的这2户居民来自不同组的概率为．21．（12分）如图，经过城市有两条夹角为的公路，，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站，（异于城市，为方便运输，要求（单位：．设．（1）当时，求垃圾处理站与城市之间的距离；（2）当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？【解答】解：（1）因为，且，故，故，故；（2）设，由题意，由正弦定理，，所以，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，当且仅当，即时，取得最大值，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远，此时．22．（12分）如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．（1）当为线段中点时，求点到平面的距离；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为为中点，故，设中点为，连接，则，故平面，故，所以，故，又，，故，故，设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离为；（2）由题意，，，，，平面，故平面，所以直线与平面所成角即为，故，解得，作，，连接如图，则平面，又平面，故，又，，平面，故平面，故为二面角的平面角，又，，故，故，即二面角的余弦值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:59:17；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367