2021-2022学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）。1．（5分）已知向量，且，则　　A．2 B． C．8 D．2．（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　A．2 B． C． D．3．（5分）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为　　A． B． C． D．4．（5分）某学习小组6名学生在一次数学小测验中的得分（单位：分）如下：82，84，86，90，97，97，则该组数据的30百分位数是　　A．82 B．83 C．84 D．975．（5分）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　A． B． C． D．6．（5分）下列选项正确的是　　A．空间三点确定一个平面 B．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直7．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，使得恰有一个解的是　　A． B． C． D．8．（5分）已知，函数，若，则　　A． B． C．1 D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）所谓“民以食为天”，粮食问题就是人类生存的底线问题，是国家经济发展的底线问题，是社会维持稳定的底线问题．2021年，我国全国粮食总产量13657亿斤，连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法正确的是　　A．2021年的粮食总产量比2020年的粮食总产量高 B．2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量低 C．2020年和2021年的薯类所占比例保持稳定 D．2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是小麦10．（5分）从装有3个红球和2个白球的袋中任意取出2个球，有如下几对事件：①“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，恰好有1个红球”；②“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；③“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；④“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，至少有1个红球”．其中是互斥事件的有　　A．① B．② C．③ D．④11．（5分）在棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有　　A．三棱锥的外接球的表面积为 B．异面直线和所成的角为 C．直线和平面所成的角为定值 D．的最小值为12．（5分）如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交边于点，则下列结论正确的有　　A． B． C． D．与夹角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知为虚数单位，且复数满足，则复数的模为 　　．14．（5分）　 　．15．（5分）已知平面四边形中，，，，且是正三角形，则的值为 　　．16．（5分）已知样本数据，，，的平均数和方差分别为77和123，样本数据，，，的平均数和方差分别为和，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则　　，　　．四、解答题（本大题共6小题，计70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数，．（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；（2）若是纯虚数，求的值．18．（12分）如图，三棱柱中，为中点，为中点．（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面．19．（12分）某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：，，，，，，，，，，，．（1）求这100名学生成绩的平均值；（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在，和，内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在，内的概率．20．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记的内角，，的对边分别为，，，已知_______．（1）求；（2）若，求面积的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）求方程在，上的解集；（2）求证：函数有且只有一个零点，且．
2021-2022学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）。1．（5分）已知向量，且，则　　A．2 B． C．8 D．【解答】解：，，解得．故选：．2．（5分）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　A．2 B． C． D．【解答】解：因为复数，所以，所以的虚部为．故选：．3．（5分）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为　　A． B． C． D．【解答】解：甲通关的概率为，乙通关的概率为，甲、乙两人都不通关的概率为，故选：．4．（5分）某学习小组6名学生在一次数学小测验中的得分（单位：分）如下：82，84，86，90，97，97，则该组数据的30百分位数是　　A．82 B．83 C．84 D．97【解答】解：，所以该组数据的30百分位数是第2位数，所以该组数据的30百分位数是84．故选：．5．（5分）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：在上的投影向量为．故选：．6．（5分）下列选项正确的是　　A．空间三点确定一个平面 B．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，空间中不共线的三点确定一个平面，错误；对于，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，错误；对于，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，错误；对于，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，正确；故选：．7．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，使得恰有一个解的是　　A． B． C． D．【解答】解：选项，，没有满足题意的，即选项错误；选项，，所以满足题意的有两个，即选项错误；选项，因为为钝角，所以，而选项中的，所以没有满足题意的，即选项错误；选项，由正弦定理知，，因为为钝角，所以只有一解，即选项正确．故选：．8．（5分）已知，函数，若，则　　A． B． C．1 D．【解答】解：，函数，，，，为锐角，为钝角，，，则．故选：．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）所谓“民以食为天”，粮食问题就是人类生存的底线问题，是国家经济发展的底线问题，是社会维持稳定的底线问题．2021年，我国全国粮食总产量13657亿斤，连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法正确的是　　A．2021年的粮食总产量比2020年的粮食总产量高 B．2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量低 C．2020年和2021年的薯类所占比例保持稳定 D．2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是小麦【解答】解：2020年的粮食总产量为亿斤，2021年的粮食总产量高亿斤，因为，故正确；因为，所以2021年的稻谷产量比2020年的稻谷产量高，故错误；2020年和2021年的薯类所占比例都为，故正确；由统计图可得2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米，故错误．故选：．10．（5分）从装有3个红球和2个白球的袋中任意取出2个球，有如下几对事件：①“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，恰好有1个红球”；②“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；③“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，都是红球”；④“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，至少有1个红球”．其中是互斥事件的有　　A．① B．② C．③ D．④【解答】解：对于①，“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，恰好有1个红球”都是取到1红1白，①中两个事件为相等事件，故①中两个事件为相等事件；对于②，“取出2个球，恰好有1个白球”与“取出2个球，都是红球”不能同时发生，是互斥事件；对于③，“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，都是红球”不能同时发生，是互斥事件；对于④，“取出2个球，至少有1个白球”与“取出2个球，至少有1个红球”能同时发生，不是互斥事件．故选：．11．（5分）在棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有　　A．三棱锥的外接球的表面积为 B．异面直线和所成的角为 C．直线和平面所成的角为定值 D．的最小值为【解答】解：对，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故正确；对，连接，，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质可得△为正三角形，故，故异面直线和所成的角为，故正确； 对，当在时，直线和平面平行，所成的角为，当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故错误；对，由题意，，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示，则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故，不妨设与，，四点共面，则易得当，，三点共线时，取得最小值，此时，故正确；故选：．12．（5分）如图所示，中，，，，点为线段中点，为线段的中点，延长交边于点，则下列结论正确的有　　A． B． C． D．与夹角的余弦值为【解答】解：由，为线段的中点，，，故正确；，，共线，，又，，在同一直线上，，解得，，，，故错误；，，，，，故正确；，与夹角的余弦值为，，，故错误．故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知为虚数单位，且复数满足，则复数的模为 　　．【解答】解：为虚数单位，且复数满足，，则复数的模为．故答案为：．14．（5分）　　．【解答】解：，故答案为：．15．（5分）已知平面四边形中，，，，且是正三角形，则的值为 　2　．【解答】解：在中，，，，，且是正三角形，．故答案为：2．16．（5分）已知样本数据，，，的平均数和方差分别为77和123，样本数据，，，的平均数和方差分别为和，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则　70　，　　．【解答】解：，解得：；，，，，故，故．故答案为：70；130．四、解答题（本大题共6小题，计70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数，．（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；（2）若是纯虚数，求的值．【解答】解：（1）在复平面内对应的点在第四象限，，解得，故的取值范围为．（2）是纯虚数，，解得，故．18．（12分）如图，三棱柱中，为中点，为中点．（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面．【解答】证明：（1）取中点，连接，， 因为中，为中点，为中点，所以且，三棱柱中，四边形为平行四边形，所以且，因为为中点，所以且，所以且，所以为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，由（1）知，所以，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面．19．（12分）某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：，，，，，，，，，，，．（1）求这100名学生成绩的平均值；（2）若采用分层抽样的方法，从成绩在，和，内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在，内的概率．【解答】解：（1）根据题意，得到，这100名学生的成绩的平均值为，因此，这100名学生成绩的平均值为71.5分；（2）设“抽取2人中恰好有1人成绩在，内”为事件，由题设可知，成绩在，和，内的频率分别为0.20和0.15，则抽取的7人中，成绩在，内的有4人，成绩在，内的有3人．记成绩在，内4位同学为，，，，成绩在，的3位同学位，，．则从7人中任取2人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种，其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、．、、，共12种，所以，，这2个人中恰好有1人成绩在，内的概率为．20．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记的内角，，的对边分别为，，，已知_______．（1）求；（2）若，求面积的取值范围．【解答】解：（1）选①：由正弦定理及，得，所以，所以．即，因为，，所以，又，所以．选②：因为，所以，由余弦定理知，，又，所以．选③：由正弦定理及，得，所以，由余弦定理知，，因为，所以．（2）由正弦定理得，，所以，所以，因为，所以，，所以，所以，，故面积的取值范围为．21．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示：作，垂足为，显然，不重合，作，垂足为．在中，，所以为中点，且，所以，解得：；因为，，，所以，则；因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，则平面，又平面，所以，则平行四边形为矩形，且面积为48；所以四棱锥的体积为．（2）因为底面为平行四边形，所以，又因为平面，位平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．由（1）知平面，所以平面，又因为、平面，所以且，所以二面角的平面角即．在中，，由余弦定理得．所以二面角的余弦值为．22．（12分）已知函数．（1）求方程在，上的解集；（2）求证：函数有且只有一个零点，且．【解答】解：（1）函数，整理得，即或，①当时，，则，又，，所以；②当，则，又，，所以或，所以；所以方程在，上的解集为．（2）设，当时，则，此时在单调递增．在也单调递增，所以在单调递增，且，，即，当时．根据，所以，所以此时在没有零点；当时，所以，所以，此时在没有零点；综上，在有唯一零点．所以，且，所以．令，因为，所以，又，则，所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:59:06；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367