2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）复数是虚数单位）的实部为　　

A． B．0 C．1 D．

2．（5分）“”是“向量与向量夹角为锐角”的　　

A．充要条件 B．充分条件 

C．必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）如图，在某个海域，一艘渔船以60海里小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一座小岛在其南偏东方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为　　海里．

A． B． C． D．30

4．（5分）在中，为边上的中点，过作不经过点的直线分别交直线，于，．设，，则的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）化简的值为　　

A． B．1 C． D．

6．（5分）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：

甲：与反向的单位向量为；

乙：与垂直的单位向量为；

丙：在向量上的投影向量为；

丁：在向量上的投影向量为．

其中有且只有一个人计算错误，则的值为　　

A． B．7 C． D．1

7．（5分）已知，，则的值为　　

A． B． C．或 D．或

8．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则为　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下列关于平面向量，，的判断正确的有　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）已知中的两个内角的正切值为方程的两个根，最长边的长为3，则的　　

A．最小角为 B．最短边的中线长为 

C．最长边上的高为2 D．外接圆的直径为

11．（5分）已知函数的周期为，当时，的　　

A．最小值为 B．最大值为2 C．零点为 D．增区间为

12．（5分）欧拉公式：是虚数单位，，非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位1、虚数单位以及复数中的0巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的叙述正确的有　　

A． B． 

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设，且，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为 　　．

14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为 　　．（满足即可）

15．（5分）八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图的轮廓为正八边形（图，其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为 　　．

16．（5分）已知是的重心，，，，则的大小为 　　；的面积为 　　．

四、解答题：本题共6小题，第17题满分0分，第18～22题每题满分0分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）若，求与的夹角的余弦值．

18．已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位．

（1）求；

（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

19．如图，以为始边的角，的终边与单位圆的交点分别为，，且．

（1）根据图形推导两角差的余弦公式；

（2）若，，求的值．

20．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．

问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，_______．

（1）求的值；

（2）求的值．

21．在中，，为边上一点，且．

（1）若为边上的中线，求边的最大值；

（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．

22．需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板、分别在、上），且满足腰上存在点，使得．设，米．

（1）请用表示；

（2）当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值．

2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）复数是虚数单位）的实部为　　

A． B．0 C．1 D．

【解答】解：，实部为．

故选：．

2．（5分）“”是“向量与向量夹角为锐角”的　　

A．充要条件 B．充分条件 

C．必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：根据题意，若向量与向量夹角为锐角，必有，

解可得且，

故当时，两个向量夹角不一定为锐角，如，

反之，若向量与向量夹角为锐角，必有，

故“”是“向量与向量夹角为锐角”的必要条件；

故选：．

3．（5分）如图，在某个海域，一艘渔船以60海里小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一座小岛在其南偏东方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为　　海里．

A． B． C． D．30

【解答】解：由题意及方位角可得，

，，，

因为渔船以60海里时的速度航行，所以，

所以由正弦定理得，

所以，所以．

故选：．

4．（5分）在中，为边上的中点，过作不经过点的直线分别交直线，于，．设，，则的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意可知，

又，，

则

又、、三点共线，

则，

则，

即，

故选：．

5．（5分）化简的值为　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：原式

．

故选：．

6．（5分）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：

甲：与反向的单位向量为；

乙：与垂直的单位向量为；

丙：在向量上的投影向量为；

丁：在向量上的投影向量为．

其中有且只有一个人计算错误，则的值为　　

A． B．7 C． D．1

【解答】解：若甲错误，则乙丙丁正确，由垂直于单位向量，

解得，又由在向量上的投影向量为得到，

在向量上的投影向量为，得到，

此时，不满足，所以不成立；

若乙错误，则甲丙丁正确，与反向的单位向量为，可得，

此时垂直于单位向量，不满足要求；

若丙错误，则甲乙丁正确，由甲乙可得到，由丁：在向量上的投影向量为，可得，此时满足要求，得，，；

若丁错误，则甲乙丙正确，由甲乙可得到，由丙可得，

不满足要求．

故选：．

7．（5分）已知，，则的值为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：由已知可得，又，

则，所以，

则

所以，

故选：．

8．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则为　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【解答】解：因为，

利用正弦定理，可得，，，

所以，

因为，

即，

整理得，，

（1）时，有等式成立，此时；

（2）时，有，因为，，所以，．

故为等腰或直角三角形．

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下列关于平面向量，，的判断正确的有　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：中，由知向量，反向或存在零向量，所以，所以对；

中，若满足，，但不满足，所以错；

中，因为，根据平面向量数量积定义可知，所以对；

根据向量不满足消去律可知错．

故选：．

10．（5分）已知中的两个内角的正切值为方程的两个根，最长边的长为3，则的　　

A．最小角为 B．最短边的中线长为 

C．最长边上的高为2 D．外接圆的直径为

【解答】解：由的两根为2，3，设，

若，此时，，与内角和为矛盾，故，，

又，故，故正确；

故，，由正弦定理得，可得，

设是边上的中线，则，

则，，故错误；

，解得，故正确；

外接圆的直径为．故正确．

故选：．

11．（5分）已知函数的周期为，当时，的　　

A．最小值为 B．最大值为2 C．零点为 D．增区间为

【解答】解：，

，，，

，

，，，

，，，，

的最小值为1，最大值为2，错误，正确，

令，则，，

，，，，正确，

，，，，在，上递增，正确，

故选：．

12．（5分）欧拉公式：是虚数单位，，非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位1、虚数单位以及复数中的0巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的叙述正确的有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，因为，所以，所以正确，

对于，因为，，所以，所以正确，

对于，因为，所以错误，

对于，因为，所以正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设，且，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为 　　．

【解答】解：设，则，

，，

表示以为圆心，2为半径的大圆与以为圆心，1为半径的小圆的中间部分，

在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为．

故答案为：．

14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为 　3　．（满足即可）

【解答】解：由正弦定理得，因为，故，

又有两解，即有两个解，故，所以，

故答案为：3（满足即可）．

15．（5分）八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图的轮廓为正八边形（图，其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为 　　．

【解答】解：因为八卦图为正八边形，故中心角为，

因为，所以，

即，即，

又，所以，

所以，

因为，

又为定值，所以取最大值时，即取最大值，

设，

所以，所以取最大值时，即取最大值，

又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上（在此路径上为钝角），

所以点在路径上，

延长与，延长线交于点，

则三角形为等腰直角三角形，且，

所以，即，

所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大，

即，

所以，

所以，

故答案为：．

16．（5分）已知是的重心，，，，则的大小为 　　；的面积为 　　．

【解答】解：延长交于，由是的重心，则是中点，

且，又，，

，解得，；

，

的面积为．

故答案为：；．

四、解答题：本题共6小题，第17题满分0分，第18～22题每题满分0分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）若，求与的夹角的余弦值．

【解答】解：（1）因为，所以，

即，所以或．

（2）若，则若，即，

所以，

所以，即．

所以，，，，，

．

18．已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位．

（1）求；

（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为为实数，

所以设，

所以，

所以，

又因为为纯虚数，

所以，所以，

所以．

（2）由（1）知，

所以，

因为复数在复平面上对应的点在第二象限，

所以，

所以，解得，

故的取值范围为．

19．如图，以为始边的角，的终边与单位圆的交点分别为，，且．

（1）根据图形推导两角差的余弦公式；

（2）若，，求的值．

【解答】解：（1）因为角，的终边与单位圆的交点分别为，，

所以，，

因为，则，

因为，在单位圆上，

所以，

所以，，，

（2）因为，，所以，

又，，

，

所以．

20．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．

问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，_______．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）选①，因为，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

又因为，所以；

选②因为，

所以，

所以．

又因为，所以；

选③法一：在中，由正弦定理得，

又，所以，

所以，又因为，

所以，

法二：在中，，

又，即，

所以，所以．

（2）由（1）得，又，

所以，所以，

所以，

所以

．

21．在中，，为边上一点，且．

（1）若为边上的中线，求边的最大值；

（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．

【解答】解：（1）设，，

在中，由余弦定理可得，

又，

即，①

在中，

由余弦定理可得，

即，②

由①②得，

又由①得，（当且仅当时取等号），

即，

即，

即，

综上，当且仅当时，取得最大值．

（2）因为为的平分线，设，

则，，

由为锐角三角形，

则

解得，

在中，由正弦定理得，③

在中，由正弦定理得，④

④③得，

又，

所以，

设，

又，

即，

则，，

又在上为增函数，

即，

即边的取值范围为．

22．需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板、分别在、上），且满足腰上存在点，使得．设，米．

（1）请用表示；

（2）当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值．

【解答】解：（1）如图所示：

因为，

所以，，

所以，

在中，

在中，，

由得，

所以，；

（2）由（1）得，在中，

，

中，，

所以直角梯形的面积，

因为，

所以，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

当时，（米，此时取得最小值为平方米．

当为2米时，模板的面积最小值为平方米．

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