2021-2022学年江苏省南京师大附中江宁分校高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京师大附中江宁分校高一（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京师大附中江宁分校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知，则的模是　　
A． B．10 C． D．2
2．（5分）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于　　
A．1 B． C．0.25 D．0.75
3．（5分）在中，若，则该三角形的形状一定是　　
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（5分）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为　　
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
5．（5分）在平面直角坐标系中，点、、．以线段，为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为　　
A． B． C． D．
6．（5分）若，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
8．（5分）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则　　

A． B． C． D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．（5分）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则　　
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．（5分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是　　
A．若，则
B．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，，与向量同方向的单位向量为
11．（5分）下列命题中正确的是　　
A．在复数范围内解方程的根为，则
B．若，，且，，则
C．在中，，，，则
D．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为
12．（5分）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是　　
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　　．
14．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，且该三角形有两解，则的取值范围为 　　．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则　　（用数字作答）
16．（5分）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 　　．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）设向量，已知与垂直．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
19．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若，，点是边上的一点，且______．
求线段的长．
①是的高；②是的中线；③是的角平分线．
20．（12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

21．（12分）某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植．为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立．
（1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率；
（2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物的概率；
（3）经调研，农作物的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率．
村庄
农作物
甲村
乙村

250
150

250
350
22．（12分）已知函数．
（1）若，为锐角，，，求及的值；
（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，，，求及的值．

2021-2022学年江苏省南京师大附中江宁分校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知，则的模是　　
A． B．10 C． D．2
【解答】解：，
，
，
的模为．
故选：．
2．（5分）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于　　
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【解答】解：因为，，所以，在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中．
故选：．
3．（5分）在中，若，则该三角形的形状一定是　　
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：因为，
所以，即，
所以，
所以三角形为等腰三角形．
故选：．
4．（5分）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为　　
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【解答】解：因为数据10，8，，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有，
将得分按照从小到大的顺序排列为：
6，7，8，8，8，8，9，10，
因为为整数，
所以这组数据的75百分位数为．
故选：．
5．（5分）在平面直角坐标系中，点、、．以线段，为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
则，，
所以，，
故较长的对角线长为．
故选：．
6．（5分）若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为，，，，则有（A）（B），（C），（D），
对于，（A）（C），，（A）（C），不正确；
对于，（C）（D），，（C）（D），不正确；
对于，（A）（D），，（A）（D），甲与丁相互独立，正确；
对于，（B）（C），，（B）（C），不正确．
故选：．
8．（5分）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则　　

A． B． C． D．3
【解答】解：正八边形的每一个内角为，如图，

作，，则，为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
则．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．（5分）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则　　
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【解答】解：对于，两组数据的平均数的差为，故错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；
对于，标准差，
两组样本数据的样本标准差相同，故正确；
对于，，2，，，为非零常数，
的极差为，的极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故正确．
故选：．
10．（5分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是　　
A．若，则
B．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，，与向量同方向的单位向量为
【解答】解：选项：当时，左式成立，此时不一定成立，故选项错误；
选项：，，，
设向量夹角为，，则向量夹角为，
故在上的投影为，故投影向量为，
故选项正确；
选项：将已知平方可得：，由此可得：，
设向量夹角为，则，即，
设与的夹角为，则，将代入可得：，
即，故选项错误；
选项：，故设与同向的向量为，
由已知有，故，解得：，
故与同向的向量为，故选项正确．
故选：．
11．（5分）下列命题中正确的是　　
A．在复数范围内解方程的根为，则
B．若，，且，，则
C．在中，，，，则
D．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为
【解答】解：对，在复数范围内解方程可化为，
，，
又，，正确；
对，，，
，，，
又，
，且，
，正确；
对，由正弦定理得，
又，，且，
或，又，
或，错误；
对，在复平面内，，，设为，
又四边形为平行四边形，
，，，，，
，，，，
，点对应的复数为，正确．
故选：．
12．（5分）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是　　
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
【解答】解：在中，由已知得，，

则，，
由正弦定理得，
所以处与处之间的距离为，故正确；
在中，由余弦定理得，
又，解得．
所以灯塔与处之间的距离为，故正确，
，
，
灯塔在处的西偏南，故正确；
灯塔在的南偏东，
在灯塔的北偏西，故错误；
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　，，　．
【解答】解：向量，，与的夹角为锐角，
，且，
的取值范围为，，，
故答案为：，，．
14．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，且该三角形有两解，则的取值范围为 　　．
【解答】解：因为该三角形有两解，
所以，即，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则　　（用数字作答）
【解答】解：因为，且，
所以，所以，
则，
故答案为：．
16．（5分）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：作出函数的大致图象如下图所示，

令，则可化为，
依题意，要使函数恰好有六个零点，则方程在，内有两个不同的实数根，
，解得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由正弦定理及，知．
（2）由余弦定理知，，
因为，所以，
所以，，
所以．
18．（12分）设向量，已知与垂直．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
【解答】解：（1）根据题意，若与垂直，则，即，
即，
变形可得，则有；
（2）根据题意，若，，则，
若，则，，
，且，则，
故．
19．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若，，点是边上的一点，且______．
求线段的长．
①是的高；②是的中线；③是的角平分线．
【解答】解：（1）在中，，，分别为，，所对的边，且，
可得，
由余弦定理可得．
，
．
（2）选①是的高，
，，，
，
，
的面积，
．
选②是的中线，
是的中线，
，
，
，，，
，
．
选③是的角平分线，
，，，
，
，
．
20．（12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

【解答】解：（1）本次考试成绩的平均数为．
（2）因为前3组频率之和为，前4组频率之和为，
所以第65百分位数在第4组中，设为，
则，解得．
第65百分位数是73．
（3）第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有4人，记为、、、，第六组有3人，记为、、，
从中随机抽取2人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有21种，其中至少1人成绩优秀的情况有15种，
所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率为．
21．（12分）某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植．为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立．
（1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率；
（2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物的概率；
（3）经调研，农作物的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率．
村庄
农作物
甲村
乙村

250
150

250
350
【解答】解：（1）记“甲村选择种植农作物”为事件，“乙村选择种植农作物”为事件，
则（A），（B）；
（2）因为甲村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，，
乙村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，．
随机抽取的4户中有0户选择种植农作物的概率为：
，
有1户选择种植农作物的概率为：
，
记“至少有2户选择种植农作物”为事件，
则（C）；
（3）记“甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村”为事件，
则（D）．
22．（12分）已知函数．
（1）若，为锐角，，，求及的值；
（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；
（3）已知，，，求及的值．
【解答】解：（1），
，
，为锐角，即，，．
，，
，，
，，
．
综上，，．
（2），
对任意都有恒成立，
恒成立，即恒成立，
设，则，，，则．
设，由对勾函数的性质可知，函数在区间，上为增函数，
，，
故的最大值为．
（3），
，


，

即，
且，
当时，，，，；
当时，与相矛盾，不符合题意．
综上所述，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:06:29；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367