2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集，2，3，，集合，，，则　　

A． B． C．， D．，3，

2．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知向量，，．若，则　　

A． B．0 C．1 D．2

4．（5分）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．（5分）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数　　

A．图象关于点对称 B．图象关于对称 

C．在上单调递减 D．最小正周期是

7．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为　　

A． B． C． D．8

8．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即也即．

请用上述向量方法探究，如图2直线与的边，分别相交于点，．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为　　

A． 

B． 

C． 

D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．（5分）下列命题中正确的有　　

A．空间中平行于同一直线的两直线平行 

B．空间中垂直于同一直线的两直线平行 

C．空间中，两组对边分别平行的四边形是平行四边形 

D．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形

10．（5分）对于，有如下判断，其中正确的判断是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．在锐角中，一定有 

C．若，则 

D．若，则

11．（5分）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是　　

A．函数图象关于点对称 

B．函数的周期为1 

C． 

D．

12．（5分）在等腰中，，，的平分线交于．则　　

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）复数为虚数单位），则　　．

14．（5分）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，，，则．试用上述成果解决问题：已知，，，则　　．

15．（5分）如图，在等腰直角三角形中，，，将边三等分，则　　．

16．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的半径为1，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则线段最大值　　，此时　　．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知向量，，．

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值．

18．（12分）（1）若，，且，求的值；

（2）已知，，求的值．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与所成角的余弦值．

20．（12分）在平面四边形中，，，，，．

（1）求证：；

（2）求的长．

21．（12分）如图，等腰三角形中，，，，是上两点，且．

（1）若，求的长；

（2）设，求出三角形面积的表达式，并求的最小值．

可能用到的公式：

，

，

，

．

22．（12分）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．

（1）求；

（2）求的余弦值．

2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集，2，3，，集合，，，则　　

A． B． C．， D．，3，

【解答】解：全集，2，3，，集合，，

，

，

故选：．

2．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，

由，得，

得，．

．

故选：．

3．（5分）已知向量，，．若，则　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：根据题意，向量，，

则，

若，则有，解可得，

故选：．

4．（5分）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如图所示：

易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，

则由题意知，解得，

与圆弧相切于点，则，

所以在中，，

由对称性可知，，则，

所以．

故选：．

5．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，可知：

，

．

，

最大，、都小于1．

，．

而，

．

，

．

故选：．

6．（5分）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数　　

A．图象关于点对称 B．图象关于对称 

C．在上单调递减 D．最小正周期是

【解答】解：若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到，

再向下平移一个单位得到函数的图象，

即，

当时，，此时函数关于对称，故错误，

当时，，此时函数关于，对称，故错误，

当时，，，此时单调递减，故正确，

函数的最小正周期，故错误，

故选：．

7．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为　　

A． B． C． D．8

【解答】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示；

其中：，，，

则，

故原平面图形的周长为，

故选：．

8．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即也即．

请用上述向量方法探究，如图2直线与的边，分别相交于点，．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：设，则，

因为，所以，

即，

即，

所以，

即，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．（5分）下列命题中正确的有　　

A．空间中平行于同一直线的两直线平行 

B．空间中垂直于同一直线的两直线平行 

C．空间中，两组对边分别平行的四边形是平行四边形 

D．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【解答】解：由基本事实4可得空间中平行于同一直线的两直线平行，正确，

如下图，，而，相交，故错误，

空间四边形中，，故错误，

若四边形的对边，则四边形为平面四边形，又故四边形为平行四边形，正确，

故选：．

10．（5分）对于，有如下判断，其中正确的判断是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．在锐角中，一定有 

C．若，则 

D．若，则

【解答】解：对于：若，故或，则为等腰三角形或直角三角形；故错误．

对于：在锐角三角形中，由于，所以，故，故正确；

对于：由于，所以，故，整理得，

故，整理得，故，故正确；

对于：若，当，时，，故错误．

故选：．

11．（5分）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是　　

A．函数图象关于点对称 

B．函数的周期为1 

C． 

D．

【解答】解：因为是奇函数，

所以，即，

所以，是偶函数，

因为是奇函数，所以函数图像关于点对称，所以函数图像关于点对称，因此选项正确，

，

所以，是周期函数，最小正周期为4，故选项错误

因此（1），故选项正确，（2）不一定为0，故选项错误，

故选：．

12．（5分）在等腰中，，，的平分线交于．则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，，

由，，

则，，

由，

则，

即，

令，

则，

则，

则，

又，

则，

即，

对于选项、，由上可知显然正确；

对于选项，由内角平分线定理可得：，即选项错误；

对于选项，由可得：，即选项正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）复数为虚数单位），则　1　．

【解答】解：，

．

故答案为：1．

14．（5分）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，，，则．试用上述成果解决问题：已知，，，则　1　．

【解答】解：因为，，，

所以，

又当时，，

所以，

故答案为：1．

15．（5分）如图，在等腰直角三角形中，，，将边三等分，则　　．

【解答】解：由题意，不妨设，．

易得，

．

故答案为：．

16．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的半径为1，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则线段最大值　3　，此时　　．

【解答】解：由题意，可得，

又，，，

即，即，当且仅当对角互补时取等号，

所以线段最大值为3．

，，，四点共圆，又与所对弧相等，

则．

故答案为：3；．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知向量，，．

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值．

【解答】解：（1）由题意，向量，，

因为，

故，

因此，

故；

（2）设与的夹角为，

所以．

即与的夹角的余弦值为．

18．（12分）（1）若，，且，求的值；

（2）已知，，求的值．

【解答】解：（1）因为，且，

所以，

所以．

（2）将两边平方，得①，

设，将其两边平方，得②，

①②，得，

所以，

即，解得，

所以．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与所成角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：连接，，由已知四边形是矩形，

与到相平分，为的中点，又为的中点，

，

平面，平面，

平面；

（2）由（1）知，是异面直线与的夹角（或其补角），

三棱柱为直三棱柱，

，，

又，，，

，

在中，，，，

，

由余弦定理得，

直线与所成角的余弦值为．

20．（12分）在平面四边形中，，，，，．

（1）求证：；

（2）求的长．

【解答】证明：（1）由题意可知，因为，，

所以，

由四边形的内角和定理，得，

所以，

所以，

，；

（2）在中，由正弦定理，得

，即，

在中，由正弦定理，得

，即，

由①②得，，即，

由（1）知，，即，

解得，又，所以，

在中，．

21．（12分）如图，等腰三角形中，，，，是上两点，且．

（1）若，求的长；

（2）设，求出三角形面积的表达式，并求的最小值．

可能用到的公式：

，

，

，

．

【解答】解：（1）因为，，所以，，

在中，由余弦定理知，，

所以，

所以，

所以，

故，所以，即为等边三角形，

所以．

（2）在中，由正弦定理，，

所以，

同理可得，

所以

，

所以，

因为，所以，所以的最大值为1，

故的最小值为．

22．（12分）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．

（1）求；

（2）求的余弦值．

【解答】解：（1）为的中点，

，

，

，，，

，

．

（2）为的中点，

，

，

，

，

，

与的夹角相等，

则的余弦值为．

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