2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）的值是　　A． B． C． D．2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．3．（5分）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为　　A． B． C． D．4．（5分）若一个正四棱锥的高和底面边长都为，则它的侧面与底面所成角的余弦值为　　A． B． C． D．5．（5分）在中，若，，则一定是　　A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定6．（5分）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为　　A． B． C． D．7．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面，，，，点在棱上运动，则面积最小值为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有　　A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则10．（5分）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，高为，则　　A．侧棱长为4 B．异面直线与所成角为 C．二面角的余弦值为 D．与底面所成角为11．（5分）设为的外心，且，下列命题正确是　　A．若时，则 B．若，则为等边三角形 C．若时，则 D．若，，则为钝角三角形12．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则　　A．，，，四点共面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）求值：　　．14．（5分）在中，角，，，所对边分别为，，，，，，则　　．15．（5分）在三棱锥中，已知平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．16．（5分）已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为 　　，此时　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．18．（12分）如图，在正方体中，，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．19．（12分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．20．（12分）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：（1）的最小正周期；（2）在区间的取值范围．21．（12分）如图，在平行六面体中，底面为菱形，平面平面．（1）证明：；（2）若，分别为棱与上的点，且平面平面，求的值．22．（12分）如图，在中，为边上的中线，，，．（1）求；（2）设，过点的直线与边，分别交于，，且，求的值．
2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）的值是　　A． B． C． D．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，故选：．2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，圆锥的母线长为2，其侧面积为，，解得，，该圆锥的体积为：．故选：．3．（5分）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，向量与的夹角余弦值为，向量与的夹角为．故选：．4．（5分）若一个正四棱锥的高和底面边长都为，则它的侧面与底面所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【解答】解：作出正四棱锥，取的中点，连接，，，，由正四棱锥的定义知平面，，，是侧面与底面所成的角， 由，可得，可得，所以．所以侧面与底面所成角的余弦值为．故选：．5．（5分）在中，若，，则一定是　　A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定【解答】解：由于在中，若，利用正弦定理整理得：，化简得：，所以，整理得，由于，所以：．由于，所以，化简得：，由于，所以，故，所以为等边三角形．故选：．6．（5分）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，故，将代入上式得，故在方向上的投影向量为：．故选：．7．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，由于函数在上单调递增，，即，故，故选：．8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面，，，，点在棱上运动，则面积最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，作于点，作，交于点， 连接得到，，平面，，又，，，面，所以面，所以，设，由，得到，在中，，得到，，当且仅当时，等号成立．，故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有　　A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则【解答】解：对于，若，，，，只有当，相交时，才有，故错误；对于，若，，则，故正确；对于，若，，则或，故错误；对于，若，，，则，故正确．故选：．10．（5分）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，高为，则　　A．侧棱长为4 B．异面直线与所成角为 C．二面角的余弦值为 D．与底面所成角为【解答】解：易得，，选项，设上下底面的中心分别为，，则四边形为直角梯形，其中，所以，正确；选项：因为，所以与所成角即为与所成角，在等腰梯形中，，，过作于，所以与所成角的余弦值为错误；选项：点在底面的射影为的中点，设为，过作，垂足为则，，，面，，所以平面，所以，则为二面角的平面角，因为，所以，错误；选项：正四棱台中，与底面所成角与与底面所成角相等，由选项知为与底面所成角，，得，故正确．故选：．11．（5分）设为的外心，且，下列命题正确是　　A．若时，则 B．若，则为等边三角形 C．若时，则 D．若，，则为钝角三角形【解答】解：对，当时，的外心为斜边的中点，根据向量中点公式，，则，错误；对，当时，，即为重心向量式，点即为外心也为重心，为等边三角形，正确；对，当时，又为外心，点在边的高线上，也在边的垂直平分线上，，，正确；对，由选项分析得，当时，，根据共线定理推论，点恰好在上，当，时，，点在的边外，为钝角三角形．正确，故选：．12．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则　　A．，，，四点共面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．三棱锥的体积为【解答】解：对于，由图可知，是异面直线，，，，四点不共面，故错误，对于，，为与所成的角，，，，，故正确，对于，，平面截正方体截面为，而，截面为等腰三角形，故正确，对于，取的中点，连接与交于点，则为的中点，点到平面的距离等于点到平面的距离，，故正确，故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）求值：　　．【解答】解：因为，，代入原式得：原式，，故原式．故答案为：．14．（5分）在中，角，，，所对边分别为，，，，，，则　2　．【解答】解：由余弦定理得到，即，故，由正弦定理可得：，故答案为：2．15．（5分）在三棱锥中，已知平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．【解答】解：在中，，，，所以：，解得：，利用正弦定理：设的外接圆的半径为，所以，解得，设三棱锥的外接球的半径为，所以，解得，所以．故答案为：．16．（5分）已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为 　　，此时　　．【解答】解：，设，，，可得，于是，则当时，；此时，，．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．【解答】解：（1）由，得，由正弦定理得，在中，，，，，．（2）由余弦定理得，，，，，，，的周长为．18．（12分）如图，在正方体中，，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连接，，如图所示，，分别为，的中点，，且，又，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；解：（2），即为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则，，，，即异面直线与所成角的余弦值为．19．（12分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，所以；（2）由得，由，故，，故，即，解得，所以．20．（12分）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：（1）的最小正周期；（2）在区间的取值范围．【解答】解：若选①：．（1）的最小正周期为；（2）当时，，，，，故在区间的取值范围是，；若选②：．（1）的最小正周期为；（2）当时，，，，，故在区间的取值范围是，；若选③：．（1）的最小正周期为；（2）当时，，，，，故在区间的取值范围是，．21．（12分）如图，在平行六面体中，底面为菱形，平面平面．（1）证明：；（2）若，分别为棱与上的点，且平面平面，求的值．【解答】（1）证明：在平行六面体中，底面为菱形，，又平面平面，平面平面，，平面，又平面，．（2）解：设，底面为菱形，为的中点，平面平面，平面平面，平面平面，，为的中点，为的中点，平面平面，平面平面，平面平面，，为的中点，为的中点，即．22．（12分）如图，在中，为边上的中线，，，．（1）求；（2）设，过点的直线与边，分别交于，，且，求的值．【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，，所以，又，在中，由余弦定理得；（2）设，因为，所以，因为，，三点共线，所以，①又，所以，所以，②①②联立方程组得或（舍去），所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:06:51；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367