2021-2022学年江苏省苏州高新一中高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省苏州高新一中高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州高新一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知，为虚数单位），则　　A． B．1 C． D．32．（5分）　　A．0 B． C．1 D．3．（5分）已知非零向量，，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）钝角三角形的面积是，，，则　　A．5 B． C．2 D．15．（5分）设，，且，，则　　A． B． C． D．6．（5分）的三内角，，所对的边分别是，，，下列条件中能构成且形状唯一确定的是　　A．， B．，， C．， D．，，7．（5分）已知，则　　A．1 B． C． D．08．（5分）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为　　A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）对于函数，下列说法正确的有　　A．是的最小正周期 B．关于对称 C．在的值域为 D．在上递增10．（5分）已知向量，满足，，，下列说法中正确的有　　A． B． C．与的夹角为 D．11．（5分）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上动点，，，则下列结论正确的是　　A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为1 C．的取值范围是 D．的面积最大值为12．（5分）中，，边上的中线，则下列说法正确的有　　A．为定值 B． C． D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）在中，，，，则　　．14．（5分）某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了、两点，在、处测得旗杆的仰角分别为，，在水平面上测得且，的距离为15米，则旗杆的高度为 　　米．15．（5分）化简：　　．16．（5分）如图在中，，点在的延长线上，，则长的最小值为 　　（保留根式）四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①；②四边形的面积为24；③四边形的周长为20这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：如图，四边形是圆柱的一个轴截面，，且_____．（1）求该圆柱的体积；（2）若用一细绳从点绕圆柱一周后到达处（如图），求细绳的最短长度．18．（12分）（1）在复数集内解方程：；（2）已知关于的方程有实数根，求实数的值及方程的实数根．19．（12分）已知函数在区间，上的最大值是6．（1）求常数的值；（2）求使得成立的的集合．20．（12分）某网红景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，，，．（1）求的长；（2）请设计一个方案，使得折线步行道最长（即最大）．21．（12分）已知向量，．（Ⅰ）求与平行的单位向量；（Ⅱ）设，若存在，使得成立，求的取值范围．22．（12分）已知锐角三角形中，．（1）计算的值；（2）求的值；（3）已知，求边上的高．
2021-2022学年江苏省苏州高新一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知，为虚数单位），则　　A． B．1 C． D．3【解答】解：因为，即，由复数相等的定义可得，，即．故选：．2．（5分）　　A．0 B． C．1 D．【解答】解：．故选：．3．（5分）已知非零向量，，，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当且，则，但与不一定相等，故不能推出，则“”是“”的不充分条件；由，可得，则，即，所以可以推出，故“”是“”的必要条件．综上所述，“”是“”的必要不充分条件．故选：．4．（5分）钝角三角形的面积是，，，则　　A．5 B． C．2 D．1【解答】解：钝角三角形的面积是，，，，即，当为钝角时，，利用余弦定理得：，即，当为锐角时，，利用余弦定理得：，即，此时，即为直角三角形，不合题意，舍去，则．故选：．5．（5分）设，，且，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，且，，，，．又，，，故选：．6．（5分）的三内角，，所对的边分别是，，，下列条件中能构成且形状唯一确定的是　　A．， B．，， C．， D．，，【解答】解：由正弦定理可化为，又，则，由于，当时，有，又，则，此时为直角三角形；当时，有．即；又、，所以，即．又，则．此时为等边三角形，综上，为直角三角形或等边三角形，形状不能唯一确定，错误．由于，满足为锐角、，所以解的个数为2，形状不能唯一确定，错误．由正弦定理可化为，又根据余弦定理，得；又，则；所以，因为、、是的内角，所以不存在，错误．根据三角形的三边关系，由、 得，又，则，所以为等腰三角形，有唯一解，正确．故选：．7．（5分）已知，则　　A．1 B． C． D．0【解答】解：，，，，则，故选：．8．（5分）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高，底面圆的半径，故细沙的体积．当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为，则，得．故此锥形沙堆的高为．故选：．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）对于函数，下列说法正确的有　　A．是的最小正周期 B．关于对称 C．在的值域为 D．在上递增【解答】解：；对于：函数的最小正周期为，故正确；对于：当时，，故错误；对于：当时，所以，故，故正确；对于：由于，故，故函数在该区间上单调递减，故错误．故选：．10．（5分）已知向量，满足，，，下列说法中正确的有　　A． B． C．与的夹角为 D．【解答】解：，，，，，，且，，，又，不与垂直．故选：．11．（5分）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上动点，，，则下列结论正确的是　　A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为1 C．的取值范围是 D．的面积最大值为【解答】解：在中，，则圆锥的母线长，半径，对于选项：圆锥的侧面积为．故选项正确；对于选项：当时，的面积最大，此时，则三棱体积的最大值为：．故选项正确；对于选项：当点与点重合时，为最大角，当点与点重合时，达到最小值，又因为点与，不重合，则，又，可得，，故选项正确；对于选项：又，所以为直角三角形时，，故错误．故选：．12．（5分）中，，边上的中线，则下列说法正确的有　　A．为定值 B． C． D．【解答】解：由题意，可得，所以，设中，角，，所对的三边分别为，，，根据余弦定理知，即，整理得，所以正确；又由余弦定理知，可得，所以（定值）所以正确；因为，即，所以，所以，所以不正确；由三角形的性质，可得，因为，所以点在以为圆心，半径为2的圆上，如图所示：当点与点重合时，可得，所以，所以，所以正确．故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）在中，，，，则　　．【解答】解：由题意可得：，结合正弦定理有：，则．故答案为：．14．（5分）某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了、两点，在、处测得旗杆的仰角分别为，，在水平面上测得且，的距离为15米，则旗杆的高度为 　15　米．【解答】解：如图所示：设旗杆的高度为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去）．故答案为：15．15．（5分）化简：　　．【解答】解：，整理得，故，即，．故答案为：．16．（5分）如图在中，，点在的延长线上，，则长的最小值为 　　（保留根式）【解答】解：在中由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，（其中，因为时，的值最大，最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①；②四边形的面积为24；③四边形的周长为20这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：如图，四边形是圆柱的一个轴截面，，且_____．（1）求该圆柱的体积；（2）若用一细绳从点绕圆柱一周后到达处（如图），求细绳的最短长度．【解答】解：（1）选择①，由题意可得圆柱的底面圆的半径，高为，（2分）则该圆柱的体积为．（5分）选择②，由题意可得圆柱的底面圆的半径，高为，（2分）则该圆柱的体积为．（5分）选择③，由题意可得圆柱的底面圆的半径，高为，（2分）则该圆柱的体积为．（5分）（2）将圆柱沿侧面展开，如图所示，，，（7分）则．（9分）故细绳的最短长度为．（10分） 18．（12分）（1）在复数集内解方程：；（2）已知关于的方程有实数根，求实数的值及方程的实数根．【解答】解：（1）由，得，方程的解为；（2）设方程的实数根为，则，即，，解得，实数的值为，方程的实数根为．19．（12分）已知函数在区间，上的最大值是6．（1）求常数的值；（2）求使得成立的的集合．【解答】解：（1），，，，的最大值为1，的最大值为，．（2）由，得，，，，，的集合为，．20．（12分）某网红景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，，，．（1）求的长；（2）请设计一个方案，使得折线步行道最长（即最大）．【解答】解（1）如右图所示：连接，在中，因为，，所以，为等腰三角形，所以，所以，所以为直角三角形，在中，由余弦定理得，即，所以，舍去），又，则在直角三角形中，．（2）在中，，，由余弦定理可得，即，整理可得，所以，即，所以，当且仅当时，等式成立，所以当设计为时，折线步行道最长．21．（12分）已知向量，．（Ⅰ）求与平行的单位向量；（Ⅱ）设，若存在，使得成立，求的取值范围．【解答】解：设向量，则有；解可得或，则，或，；根据题意，易得，，且；由可得，即，问题转化为方程在，内有解，则当时，方程不成立，所以，此时，当且仅当时取到等号，故的取值范围是，．22．（12分）已知锐角三角形中，．（1）计算的值；（2）求的值；（3）已知，求边上的高．【解答】解：（1）由于，，则，所以，由于，所以；所以；，所以，（2）由于，解得，所以；（3）由于，将代入上式整理得，由于为锐角，则，解得，则边上的高为，则，所以声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:06:39；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367