2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数为虚数单位），则　　

A．的实部为3 B．的虚部为 

C． D．的共轭复数为

2．（5分）某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（5分）某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为7，8，8，12，11，10，14，16，则它们的分位数是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

4．（5分）为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，，，，则此三角形　　

A．无解 B．一解 

C．两解 D．解的个数不确定

6．（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是　　

A． B． C． D．

7．（5分）若，则实数的值为　　

A．3 B． C．2 D．4

8．（5分）已知，，．若点是所在平面内一点，且，则的最大值为　　

A．13 B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位．被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　

A． 

B．为纯虚数 

C．的共轭复数为 

D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．对于任意两个向量，若，且与同向，则 

B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 

C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 

D．若，则与的夹角是钝角

11．（5分）在中，，，是角，，的对边，已知，，则以下判断正确的是　　

A．的外接圆面积是 

B． 

C．可能等于16 

D．作关于的对称点，则的最大值是

12．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　

A．事件发生的概率为 

B．事件发生的概率为 

C．事件发生的概率为 

D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知样本1，2，4，，的平均数是3，标准差是2，则　　．

14．（5分）在中，，，，是中点，在边上，，则　　；的值为 　　．

15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　　．

16．（5分）已知的外心为，满足，则的最小值是 　　．

四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知向量．

（1）若且，求；

（2）若与互相垂直，求实数的值．

18．（12分）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．

（1）求；

（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．

19．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数在区间上的值域；

（Ⅱ）若，，且，求．

20．（12分）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．

（1）求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；

（2）求样本数据的平均数与方差．

21．（12分）如图，在凸四边形中，已知，．

（1）若，，求的值；

（2）若，四边形的面积为4，求的值．

22．（12分）已知中，，，分别为角，，的对边，且．

（1）求角；

（2）若，，为角的平分线，求的长；

（3）若，求锐角面积的取值范围．

2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数为虚数单位），则　　

A．的实部为3 B．的虚部为 

C． D．的共轭复数为

【解答】解：，

的实部为，故错误，

的虚部为1，故错误，

，故错误，

，故正确．

故选：．

2．（5分）某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：由题意可知：，高一年级、高二年级、高三年级的学生人数比例为：，

从高二年级的学生中抽取了3人，从高一年级的学生中应抽取4人．

故选：．

3．（5分）某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为7，8，8，12，11，10，14，16，则它们的分位数是　　

A．12 B．13 C．14 D．15

【解答】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，10，11，12，14，16；

计算，所以该组数据的分位数是．

故选：．

4．（5分）为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，

基本事件总数，

抽取的两个脱贫村为同一乡镇包含的基本事件个数，

则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为．

故选：．

5．（5分）在中，，，，则此三角形　　

A．无解 B．一解 

C．两解 D．解的个数不确定

【解答】解：在中，，，，

则，

可得，

可得此三角形有两解．

故选：．

6．（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有种结果，

绝对值为3的基本事件有，，，，，六种结果，

故所求概率．

故选：．

7．（5分）若，则实数的值为　　

A．3 B． C．2 D．4

【解答】解：若，即，即，

即，即，

即，即，

则实数，

故选：．

8．（5分）已知，，．若点是所在平面内一点，且，则的最大值为　　

A．13 B． C． D．

【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设

则，，，

，，

所以，即，

故，，

所以，

当且仅当即时等号成立．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位．被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　

A． 

B．为纯虚数 

C．的共轭复数为 

D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称

【解答】解：选项：，故错误；

选项：， 为纯虚数，故正确；

选项：， 的共轭复数为，故正确．

选项：，，

所以 与 实部相等，虚部互为相反数，

故复数， 在复平面内的对应点关于实部对称，故 错误．

故选：．

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．对于任意两个向量，若，且与同向，则 

B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 

C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 

D．若，则与的夹角是钝角

【解答】解：对于任意两个向量，若，且与同向，

但是不能说，因为向量不能比较大小，所以不正确；

已知，为单位向量，若，

则在上的投影为：，投影向量为，所以正确；

存在负数，使得，则与反向共线，夹角为，此时成立，

当成立时，则与夹角满足，则与不一定反向共线，

即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故正确，

若，则与的夹角是钝角或平角，所以不正确；

故选：．

11．（5分）在中，，，是角，，的对边，已知，，则以下判断正确的是　　

A．的外接圆面积是 

B． 

C．可能等于16 

D．作关于的对称点，则的最大值是

【解答】解：对于，在中，，，分别是角，，的对边，已知，，

由，可得，可得的外接圆的面积是，故正确；

对于，，故正确；

对于，，，

可得，，不可能等于16，故错误；

对于，作关于的对称点，设到的距离为，可得，

即有，由，即，

当且仅当取得等号，可得，

则的最大值是．故错误．

故选：．

12．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　

A．事件发生的概率为 

B．事件发生的概率为 

C．事件发生的概率为 

D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为

【解答】解：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，抽取的两个小球的标号情况共有20种，

其中两个小球标号之和大于5的情况有：，，，，，，，，，，，共11种，

两个小球标号之积大于8的情况有：，，，，，，，，共8种，

所以（A），（B），

因为，

所以，，

对于，（A），故选项错误；

对于，（A），故选项正确；

对于，（B），故选项正确；

对于，至少抽到一个有标号为3的小球的概率为，故选项正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知样本1，2，4，，的平均数是3，标准差是2，则　10　．

【解答】解：样本1，2，4，，的平均数是3，

，

即，①

又标准差是2，

，

即，②

由①②联立，消去得，

；

由、的对称性知，．

故答案为：10．

14．（5分）在中，，，，是中点，在边上，，则　　；的值为 　　．

【解答】解：如图，

，，

是的中点，，且，，，

，

又，

，解得．

故答案为：．

15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　9　．

【解答】解：可化为：

，

故原式化为，

由正余弦定理得：，化简得．

故答案为：9．

16．（5分）已知的外心为，满足，则的最小值是 　　．

【解答】解：依题意作图，取的中点，连接，，

在中，记，，，

因为的外心为，则，

因为，

又，

所以，

同理可得，

由得，，

即，

在中，由余弦定理得，

，

又，当且仅当时，等号成立，所以．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知向量．

（1）若且，求；

（2）若与互相垂直，求实数的值．

【解答】解：（1），，

，且，

，，

．

（2），，

与互相垂直，

，

，

或．

18．（12分）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．

（1）求；

（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．

【解答】解：（1）设，

则，

，

，

在复平面上所对应的点在第一象限，

，，

，

．

（2），，

，，，

，，

．

19．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数在区间上的值域；

（Ⅱ）若，，且，求．

【解答】解：，

由得，

所以，

所以，

故在区间上的值域为；

因为，，且，

所以

所以，

因为，

若，则，不符合题意；

所以，

所以，

．

20．（12分）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．

（1）求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；

（2）求样本数据的平均数与方差．

【解答】解：（1）这300个样本数据中女生人数为人，

因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为0.05+0.2+0.3+0.25＝0.8，

所以85%分位数为：；

（2）样本的平均数为：

（1×0.025+3×0.1+5×0.15+7×0.125+9×0.075+11×0.025）×2＝5.8，

方差为：

[（1﹣5.8）2×0.025+（3﹣5.8）2×0.1+（5﹣5.8）2×0.15+（7﹣5.8）2×0.125+（9﹣5.8）2×0.075+（11﹣5.8）2×0.025]×2＝6.16．

21．（12分）如图，在凸四边形中，已知，．

（1）若，，求的值；

（2）若，四边形的面积为4，求的值．

【解答】解：（1）在中，因为，，

所以，

在中，由正弦定理得：，

所以，

因为，

所以，

所以．

（2）在，中，由余弦定理得，

，

，

从而，①，

由，得：，②，

①②得，，

所以．

22．（12分）已知中，，，分别为角，，的对边，且．

（1）求角；

（2）若，，为角的平分线，求的长；

（3）若，求锐角面积的取值范围．

【解答】（1）由得，

，，

，；

（2）设，由得．

解得，即角平分线的长度为；

（3）设外接圆半径为，由，

即，，

的面积，

，，，

，

，，，，，

，，

．

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