2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设复数，则的虚部是　　A． B． C．1 D．2．（5分）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）如图，在等腰梯形中，，，则　　A． B． C． D．4．（5分）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为　　A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　A． B． C． D．6．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形7．（5分）如果复数满足，则的最小值为　　A．1 B． C．2 D．8．（5分）当时，取得最大值，则　　A．3 B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称，则下列说法一定正确的是　　A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数10．（5分）下列各式中，值为的是　　A． B． C． D．11．（5分）的内角，，的对边分别为，，，，则　　A． B． C． D．外接圆的面积为12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．　　A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接现写在答题卡相应位置上．13．（5分）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则　　．14．（5分）如果，是方程的两根，则　　．15．（5分）设是平面内两个不共线的向量，，，，．若，，三点共线，则的最小值是　 　．16．（5分）已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）已知，，，求的值．19．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．（1）求氢能源环保电动步道的长；（2）若_____；求花卉种植区域总面积．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．（12分）如图，在中，已知，，，为边上的中点，点在线段上，且．（1）求线段的长度；（2）设与相交于点，求的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）求在，上的单调递增区间；（2）求函数在，上的所有零点之和．22．（12分）同时定义在上的函数，，如果满足对任意，，恒成立，且，具有相同的单调性，则乘积函数也是上的单调函数．已知函数，．（1）试判断函数在区间，上的单调性，并求出其值域；（2）若函数在，上满足不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知是关于的方程的实数根，求的值．
2021-2022学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设复数，则的虚部是　　A． B． C．1 D．【解答】解：，故，其的虚部是，故选：．2．（5分）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，．与向量的方向相反的单位向量．故选：．3．（5分）如图，在等腰梯形中，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，又，，，；故选：．4．（5分）公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为　　A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：因为，，所以，则．故选：．5．（5分）已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，设与的夹角为，，则，若，则，解可得，又由，则，故选：．6．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为．若，，则的形状是　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：因为，所以，由正弦定理可得，因为，可得，因为，，，所以可得，可得，可得，又，可得，即，因为，可得，所以，则的形状是正三角形．故选：．7．（5分）如果复数满足，则的最小值为　　A．1 B． C．2 D．【解答】解：设复平面上的点，，复数在复平面上的对应点为，则，点的轨迹是以和对应的点为端点的线段．表示与的距离，显然点到直线的距离最小，最小值为1，故选：．8．（5分）当时，取得最大值，则　　A．3 B． C． D．【解答】解：因为，因为时，函数取得最大值，故，所以，故，所以，所以，解得．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称，则下列说法一定正确的是　　A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数【解答】解：由题意可设，，且，，且，对于，，故正确，对于，，故正确，对于，，故正确，对于，，当时，不为纯虚数，故错误．故选：．10．（5分）下列各式中，值为的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，故选：．11．（5分）的内角，，的对边分别为，，，，则　　A． B． C． D．外接圆的面积为【解答】解：因为，由余弦定理得，，所以，正确，由正弦定理得，所以，，，所以外接圆的面积，正确，错误，正确．故选：．12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．　　A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为【解答】解：，错误；由知，为弧的中点，又，由平行四边形刧则可知则，故，正确．由知，，设，则解得故，正确．，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接现写在答题卡相应位置上．13．（5分）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则　8　．【解答】解：为纯虚数，，解得．故答案为：8．14．（5分）如果，是方程的两根，则　　．【解答】解：由已知得，，．故答案为：．15．（5分）设是平面内两个不共线的向量，，，，．若，，三点共线，则的最小值是　4　．【解答】解：，．若，，三点共线，设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，，即，则，当且仅当，即，即，时，取等号，故最小值为4，故答案为：4；16．（5分）已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为 　　．【解答】解：由，可得，①由的面积为，可得，即，②由①②消去，可得，即有，因为，所以，解得，，设，，，所以，由，可得，，则，．故答案为：，．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），根据正弦定理可得，，，，，，在中，运用余弦定理可得，，，．（2），为钝角三角形时，角必为钝角，，，，，三角形的任意两边之和大于第三边，，即，即，，为正整数，．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）已知，，，求的值．【解答】解：（1）因为，所以，所以．又因为，所以．（2）因为，所以．因为，所以．又因为，，所以，所以，由，得，所以．19．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．（1）求氢能源环保电动步道的长；（2）若_____；求花卉种植区域总面积．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【解答】解：（1）．，，，，由余弦定理得，，．（2）选①：，在中，由正弦定理得，．，由（1）知．代入上式可得，解得，，，，，故，花卉种植区域总面积为．选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），．，，，，故，花卉种植区域总面积为．20．（12分）如图，在中，已知，，，为边上的中点，点在线段上，且．（1）求线段的长度；（2）设与相交于点，求的余弦值．【解答】解：（1）设，，则，，，，，，则，即；（2），则，，，，．21．（12分）已知函数．（1）求在，上的单调递增区间；（2）求函数在，上的所有零点之和．【解答】解：（1），由，得，故的单调递增区间为，当时，，当时，，故在，上的单调递增区间为和．（2），得，在，上的图象如图所示：因为，所以在区间，上，函数的图象与直线共有8个交点，即有8个零点，设这8个零点分别为，，，，由，得，所以函数的图象关于直线对称，所以，故在，上的所有零点之和为．22．（12分）同时定义在上的函数，，如果满足对任意，，恒成立，且，具有相同的单调性，则乘积函数也是上的单调函数．已知函数，．（1）试判断函数在区间，上的单调性，并求出其值域；（2）若函数在，上满足不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知是关于的方程的实数根，求的值．【解答】解：（1）由题意知，当，时，及均单调递增，且，，故单调递增，而单调递增，且，故在，上单调递增，而（1），（2），（1），（2），且在，上连续，故的值域为；（2）由已知当，时，等价于，即当，时，恒成立，记，则由，，得，，由知的最小值为0，故；（3）由知满足，即，即，即，令，则，上式等价于，由知单调递增，所以，故满足原方程的一定满足，即，，所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:07:47；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367