2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）　　A． B． C． D．2．（5分）设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为　　A． B． C． D．3．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为　　A． B． C． D．4．（5分）已知正三角形的边长为4，那么的直观图△的面积为　　A． B． C． D．5．（5分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则6．（5分）向量在正方形（边长均为网格中的位置如图所示，则　　A． B． C． D．7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为　　A． B． C． D．8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为　　A．180 B．200 C．220 D．240二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9．（5分）下列命题正确的是　　A．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合 B．若，，则 C．设复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆              D．复数是关于的方程的一个根，则实数10．（5分）已知向量，则　　A． B． C． D．与向量同向的单位向量是11．（5分）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则　　A．四点，，，共面 B． C．平面 D．若，则正方体外接球的表面积为12．（5分）锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　A． B．的取值范围是 C．若，，则 D．的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：　　．14．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于　　．15．（5分）的内角，，所对的边长分别为，，，若，则　 　．16．（5分）已知在中，，，为的中点，点在边上（含端点），①若为的中点，且为锐角，则长的取值范围为 　　；②若，则的最小值为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知复数是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．18．（12分）已知的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．19．（12分）已知在中，，，分别是角，，的对边，的周长为20，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的大小．20．（12分）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．21．（12分）如图，在四边形中，，，是边长为2的等边三角形，点是边上的动点（不含端点）．（1）若，求实数，的值；（2）求的最小值．22．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，，，分别是角，，的对边，若____．（1）求角的大小；（2）若是的中点，，求面积的最大值；（3）若为的外接圆圆心，且，求实数的值．
2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）　　A． B． C． D．【解答】解：．故选：．2．（5分）设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为　　A． B． C． D．【解答】解：因为向量不共线，且向量与同方向，所以，且，解得，所以实数的值为．故选：．3．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，且，所以由余弦定理可得，解得，所以．故选：．4．（5分）已知正三角形的边长为4，那么的直观图△的面积为　　A． B． C． D．【解答】解：正三角形的边长为4，正三角形的面积为，，直观图△的面积，故选：．5．（5分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则【解答】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，对于，若，，则与平行或异面，故错误；对于，若，，，则由线面平行的判定定理得，故正确；对于，若，，，，则与相交或平行，故错误；对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误．故选：．6．（5分）向量在正方形（边长均为网格中的位置如图所示，则　　A． B． C． D．【解答】解：建立如图的平面直角坐标系，将，平移到起点为原点时终点坐标即为向量坐标，，，，故选：．7．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为　　A． B． C． D．【解答】解法一：如图为正四棱台，，，．在等腰梯形中，过作，可得，．连接，，，，过作，，，正四棱台的体积为：．解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，该棱台的记，下底面面积，上底面面积，则该棱台的体积为：．故选：．8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为　　A．180 B．200 C．220 D．240【解答】解：过作，过作，如图所示，故，由点测得点的仰角为，故知为等腰直角三角形，所以，由题意知，所以，在△中，由正弦定理可得，，即，所以．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9．（5分）下列命题正确的是　　A．设复数，在复平面内对应的点分别为，，若，则与重合 B．若，，则 C．设复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆              D．复数是关于的方程的一个根，则实数【解答】解：对于，令，，则，，满足，但与不重合，故错误，对于，虚数不能比较大小，故错误，对于，设，，，即点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故正确，对于，复数是关于的方程的一个根，复数也是关于的方程的一个根，，解得，故正确．故选：．10．（5分）已知向量，则　　A． B． C． D．与向量同向的单位向量是【解答】解：向量，，，，故正确；，，与不平行，故错误；，故错误；对于，与向量同向的单位向量是，，，故正确．故选：．11．（5分）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则　　A．四点，，，共面 B． C．平面 D．若，则正方体外接球的表面积为【解答】解：对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中，点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是，的中点，所以，又因为，所以，即选项正确；对于选项，点，，都在平面，所以与平面相交，即选项不正确；对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为2，设正方体外接球的半径为，则，即，则外接球的表面积为，即选项正确；故选：．12．（5分）锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则　　A． B．的取值范围是 C．若，，则 D．的取值范围是【解答】解：由，即，由正弦定理可得，即，即有，因为三角形为锐角三角形，所以，即，故正确；由，，且，解得，故错误；对于：因为，由正弦定理得：，即，所以，因为，，由余弦定理得：，所以，即，即，解得：舍去），故正确；而，，故正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积：　　．【解答】解：在复数范围内，，故答案为：．14．（5分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于　　．【解答】解：圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，底面半径，底面周长，圆锥的侧面积，故答案为：．15．（5分）的内角，，所对的边长分别为，，，若，则　　．【解答】解：由以及正弦定理可知：，即．因为，所以，所以．．故答案为：．16．（5分）已知在中，，，为的中点，点在边上（含端点），①若为的中点，且为锐角，则长的取值范围为 　　；②若，则的最小值为 　　．【解答】解：①由三角形三边关系有，由余弦定理，又为锐角，则，所以，即，综上，，而，为，的中点，即为中位线，故．故长的取值范围为．②由所以及，令且，所以，即，且，故，，故的最小值为．故答案为：①．②．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知复数是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．【解答】解：（1）复数．是纯虚数，，．解得．（2）复数，在复平面上对应的点位于第二象限，，，．实数的取值范围是．18．（12分）已知的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）．（2），又由（1），，与的夹角的余弦值为：．19．（12分）已知在中，，，分别是角，，的对边，的周长为20，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的大小．【解答】解：（1）在中，，由正弦定理，得，，，．（2）在中，，，，，在中，由余弦定理可得，又，．20．（12分）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【解答】（1）证明：因为平面，，所以平面，（2）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面．21．（12分）如图，在四边形中，，，是边长为2的等边三角形，点是边上的动点（不含端点）．（1）若，求实数，的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）由，是边长为2的等边三角形，所以，又，故，故，则，又，所以，．（2）令且，则，又，所以，则，所以当时，最小值为．22．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，，，分别是角，，的对边，若____．（1）求角的大小；（2）若是的中点，，求面积的最大值；（3）若为的外接圆圆心，且，求实数的值．【解答】解：选条件①时，，根据正弦定理：，所以，由于，所以．选条件②时，，利用正弦定理，即，即，因为，所以，所以，由于，所以．（2）解：依题意，所以，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，即；（3）解：取的中点，则，代入，得，，，，，，由，化简可得，，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:10:34；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367