2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设，其中为虚数单位，，是实数，则　　A．1 B． C． D．22．（5分）设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数　　A． B．3 C． D．3．（5分）在锐角中，角，所对的边分别为，．若，则角等于　　A． B． C． D．4．（5分）下列命题中正确的个数为　　（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面；（2）如果直线，和平面满足，，那么；（3）如果直线，和平面满足，，，那么．A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）复数，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　A． B． C． D．6．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为　　A． B． C． D．7．（5分）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为　　A．1 B． C． D．8．（5分）已知为的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为　　A． B． C． D．二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A． B．复数的共轭复数为 C． D．10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）在中，，边上的高为2，则的取值可能是　　A． B． C．1 D．212．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是　　A．存在点，使得 B．三棱锥的体积不变 C．直线和直线异面 D．△周长的最小值为三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，，若，则实数　　．14．（5分）已知复数，为正整数，记所有可能取值的和为复数，则　　．15．（5分）在中，，，，则　　．16．（5分）已知正方形的边长为2，实数，，，2，3，则的最大值　　．四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，且为纯虚数．（1）求；（2）若，且为实数，求．18．（12分）如图，已知菱形的边长为1，其中，且，，记，．（1）求；（2）．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，、分别为棱、的中点．（1）证明：平面；（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求边的长；（2）在边上取一点，使得，求的值．21．（12分）已知，，，点为坐标原点．（1）若，，三点共线，且，求；（2）若，求的最小值．22．（12分）如图，在中，角，，所对的边分别是，，．为边上一点，记，．向量，，．（1）若，请比较与的大小；（2）若，且，求的最小值．
2021-2022学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设，其中为虚数单位，，是实数，则　　A．1 B． C． D．2【解答】解：，其中为虚数单位，，是实数，，，，解得，．则，故选：．2．（5分）设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数　　A． B．3 C． D．【解答】解：与共线，，，解得．故选：．3．（5分）在锐角中，角，所对的边分别为，．若，则角等于　　A． B． C． D．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：，，，为锐角，．故选：．4．（5分）下列命题中正确的个数为　　（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面；（2）如果直线，和平面满足，，那么；（3）如果直线，和平面满足，，，那么．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在正方体中，，平面，平面，可知（1）错误；由平面，平面，可知（2）错误；过直线过平面交平面于直线，则，又，所以，又，所以，故（3）正确．故选：．5．（5分）复数，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则　　A． B． C． D．【解答】解：，且，在复平面内对应的点关于虚轴对称，，则．故选：．6．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，圆柱的高为，圆柱底面圆的直径为，底面圆的周长为，侧面积．故选：．7．（5分）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为　　A．1 B． C． D．【解答】解：向量与共线，存在实数使得．，当且仅当时取等号．故选：．8．（5分）已知为的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：取的中点为，连接，如下图所示：因为为的重心，所以，因为，所以，所以，又，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：．二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A． B．复数的共轭复数为 C． D．【解答】解：，，，故选项、正确；又，故选项错误；，选项正确，故选：．10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：由于，则：，解得：．由于：，，利用正弦定理：，则：，整理得：，解得：，故正确；由于，，可得，解得：，或3，若，则，可得，可得，矛盾，故错误，可得，可得，可得，故错误；因为若，可得，可得，，由于，矛盾，所以，又因为，则由，故正确．故选：．11．（5分）在中，，边上的高为2，则的取值可能是　　A． B． C．1 D．2【解答】解：如图所示，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则，，因为边上的高为2，不妨设，所以，所以，对照四个选项，的取值可能是，1，2，不可能为．故选：．12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为线段，上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是　　A．存在点，使得 B．三棱锥的体积不变 C．直线和直线异面 D．△周长的最小值为【解答】解：对于，在上取，使得，由题意得，且，又，且，，且，四边形是平行四边形，，，，平面，，平面，和互为异面直线，和互为异面直线，不存在点，使得，故错误；对于，，其中为平面的距离，由题意得平面，又，，又为定值，三棱锥的体积不变，故正确；对于，当不是中点时，在上取，使得，与选项同理可知，与异面，直线与直线异面，当为中点时，、、三点共线，此时、、、四点共面，故错误；对于，三棱锥，如图，将其展开成平面图形，如图，连接分别交和与、，此时△周长最短，即为，由题意知，，根据余弦定理得，故正确．故选：．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，，若，则实数　7　．【解答】解：向量，，，，，解得实数．故答案为：7．14．（5分）已知复数，为正整数，记所有可能取值的和为复数，则　　．【解答】解：，当时，，当时，，当时，，当时，，依次循环，可得．故答案为：．15．（5分）在中，，，，则　　．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，可得．故答案为：．16．（5分）已知正方形的边长为2，实数，，，2，3，则的最大值　10　．【解答】解：正方形的边长为2，可得，，，由于，，，2，3，则可得，，即取，时，可得所求最大值为，则的最大值10，故答案为：10．四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知复数，，且为纯虚数．（1）求；（2）若，且为实数，求．【解答】解：（1），，，为纯虚数，，解得．（2）由（1）可知，，设，，，，，，为实数，，，解得，， 或．18．（12分）如图，已知菱形的边长为1，其中，且，，记，．（1）求；（2）．【解答】（1）解：，因为，即，可得，由平面向量数量积的定义可得，所以，．（2）解：，，所以，．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，、分别为棱、的中点．（1）证明：平面；（2）点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．【解答】（1）证明：取的中点，连接，，中，，分别为，的中点，，、分别为、的中点，，，，故四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；解：（2）取中点为，连接，在中，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，又，且，平面，故平面平面，因为点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，点，即点在线段（包括端点）上移动，当点运动到时，此时的最大值，最大值为2．20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求边的长；（2）在边上取一点，使得，求的值．【解答】解：（1）在中，因为，由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍，所以．（2）在中，由正弦定理知，，所以，解得，因为，所以，即为钝角，且，又，所以为锐角，所以，所以．21．（12分）已知，，，点为坐标原点．（1）若，，三点共线，且，求；（2）若，求的最小值．【解答】解：（1），，，，，，，三点共线，，，，，，，．（2），，，，，，，，当且仅当，时取等号，的最小值为．22．（12分）如图，在中，角，，所对的边分别是，，．为边上一点，记，．向量，，．（1）若，请比较与的大小；（2）若，且，求的最小值．【解答】解：（1）因为，所以，理得，所以由余弦定理可得，因为，所以，又，所以，即，即，记，则在，中由正弦定理可得：，所以，即，又因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，因为，所以，整理可得，即，由可得，展开整理得，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:08:10；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367