2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷一、单选题。（本大题共8小题，共40分）1．（5分）复数的虚部是　　A．1 B． C． D．2．（5分）已知向量，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．3．（5分）在中，，，，则边长　　A． B． C． D．4．（5分）已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为　　A． B． C． D．5．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为　　A． B． C． D．6．（5分）对于复数，若满足，则的取值范围是　　A． B． C． D．7．（5分）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积比为　　A． B． C． D．8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：①；②平面；③与平面所成角的大小等于；④与所成的角等于．其中正确的是　　A．①② B．①③ C．②④ D．③④二、多选题。（本大题共4小题，共20分）9．（5分）在复平面内，下列说法正确的是　　A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是虚数10．（5分）设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是　　A．若，，则 B．若，，，，则 C．、是两条异面直线，若，，，，则 D．若，，，，则11．（5分）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有　　A． B．若，则是等腰三角形 C．若，则 D．若是锐角三角形，则12．（5分）如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点．则　　A． B．点、、、四点共面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为三、填空题。（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知，，点满足，则点的坐标是 　　．14．（5分）在中，点是边上的动点，若，则　　．15．（5分）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　．16．（5分）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围是 　　．四、解答题。（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值．18．（12分）在中，角、、所对的边分别为，，．已知的周长为，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的大小．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，点是棱上的点（不与端点重合），平面与棱交于点．求证：（1）平面；（2）．20．（12分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．（1）证明：是直角三角形；（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？22．（12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足．（1）求角的大小；（2）求的最大值．
2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题。（本大题共8小题，共40分）1．（5分）复数的虚部是　　A．1 B． C． D．【解答】解：根据复数的概念得，的虚部是，故选：．2．（5分）已知向量，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，则，错误；，故错误；，，故错误；，．故，正确．故选：．3．（5分）在中，，，，则边长　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，，所以，由正弦定理，可得，解得边长．故选：．4．（5分）已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为　　A． B． C． D．【解答】解：如图所示，直观图△的高为，底边长为；所以△的面积为：．故选：．5．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，因为侧面展开图是一个半圆，所以，则，因为圆锥的表面积等于，所以，解得．故选：．6．（5分）对于复数，若满足，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：满足的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是，半径为2，表示点到点的距离，又，故的取值范围为．故选：．7．（5分）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积比为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆柱底面半径为，则球的半径为，圆柱和圆锥的高均为，，，，．故选：．8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：①；②平面；③与平面所成角的大小等于；④与所成的角等于．其中正确的是　　A．①② B．①③ C．②④ D．③④【解答】解：当几何体为阳马时，平面，对于①，平面，所以，又，，故平面，所以，故①正确；对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确；对于③，由①知，平面，连，则是与平面所成的角，因为，，所以，故③不正确；对于④，因为，所以是与所成的角，因为，所以，故④不正确．故选：．二、多选题。（本大题共4小题，共20分）9．（5分）在复平面内，下列说法正确的是　　A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是虚数【解答】解：对于，，故错误；对于，，故正确；对于，若，则由复数不能比较大小得错误，故错误；对于，若复数满足，则由复数的性质得是虚数，故正确．故选：．10．（5分）设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是　　A．若，，则 B．若，，，，则 C．、是两条异面直线，若，，，，则 D．若，，，，则【解答】解：对于：若，，则或，故错误，对于：若，，，，当和为异面直线时，则，故错误；对于、是两条异面直线，若，，，，则，故正确；对于：若，，，，则，故正确；故选：．11．（5分）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有　　A． B．若，则是等腰三角形 C．若，则 D．若是锐角三角形，则【解答】解：对于，故正确；对于：若，则，整理得：或，即或，故为直角三角形和等腰三角形，故错误；对于：若，即，利用正弦定理得：，故，故正确；对于是锐角三角形，所以，整理得：，故，整理得：，故正确；故选：．12．（5分）如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点．则　　A． B．点、、、四点共面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为【解答】解：对于，假设，由题意可知，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，由长方体的性质可知，与平面不垂直，故假设不等式，故选项错误；对于，连结，，，由于，分别为，的中点，所以，又在长方体中，，所以，则点，，，四点共面，故选项正确；对于，由题意可知，平面，所以即为与平面所成的角，在中，，，则，故选项正确；对于，连结，，因为，则，利用等体积法，故选项正确．故选：．三、填空题。（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知，，点满足，则点的坐标是 　　．【解答】解：设，，，，解得，．故答案为：．14．（5分）在中，点是边上的动点，若，则　1　．【解答】解：在中，点是边上的动点，，，三点共线，，，故答案为：1．15．（5分）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　．【解答】解：，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得：，故答案为：16．（5分）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围是 　　．【解答】解：，，，又由余弦定理，可得，，即，，，，为锐角三角形，，由正弦定理，可得，即，，，，，，，面积，，，故面积的取值范围是．故答案为：．四、解答题。（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值．【解答】解法以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，；，，，．法；，所以，而，但，所以与重合，所以．18．（12分）在中，角、、所对的边分别为，，．已知的周长为，且．（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的大小．【解答】解：（1）由及正弦定理可知：（2分）又从而（4分）（2）三角形面积（6分）（8分）（10分）（12分）又，（14分）19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，点是棱上的点（不与端点重合），平面与棱交于点．求证：（1）平面；（2）．【解答】证明：（1）由题意，底面是菱形，可得，因为平面，且平面，根据线面平行的判定定理，可得平面．（2）由（1）知平面，又由平面，且平面平面，根据线面平行的性质定理，可得．20．（12分）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点．（1）证明：是直角三角形；（2）若，且当直线与平面所成角正切值为时，直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在圆上，，平面，，平面，平面，，是直角三角形．（2）解：如图，过作于，平面，，平面，则就是要求的角．（8分）平面，是与平面所成角，（9分），又，．（10分）在中，，（11分）在中，，故与平面所成角正弦值为．（12分）21．（12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？【解答】解：（1）已知： （公里），在中，由，得（公里）．于是，由于：，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．（2）在中，，得（公里），在中，，由：，得（公里），由：（分钟）知，汽车能先到达 处．22．（12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足．（1）求角的大小；（2）求的最大值．【解答】解：（1）由．得，，由为三角形内角，可得：．（2），，，当即时，取得最大值．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:10:12；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367