2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数是虚数单位）的实部为　　A． B．0 C．1 D．2．（5分）如图，正六边形中，　　A． B． C． D．3．（5分）一艘船以的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东的方向上，行驶后到达处，看到灯塔在北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离为　　．A． B． C． D．4．（5分）向量，满足，，则为　　A． B． C． D．5．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．36．（5分）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：甲：与反向的单位向量为；乙：与垂直的单位向量为；丙：在向量上的投影向量为；丁：在向量上的投影向量为．其中有且只有一个人计算错误，则的值为　　A． B．7 C． D．17．（5分）已知锐角满足，则　　A． B． C． D．8．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则为　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）下列关于平面向量，，的判断正确的有　　A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则10．（5分）已知中的两个内角的正切值为方程的两个根，最长边的长为3，则的　　A．最小角为 B．最短边的中线长为 C．最长边上的高为2 D．外接圆的直径为11．（5分）已知函数的周期为，当时，的　　A．最小值为 B．最大值为2 C．零点为 D．增区间为12．（5分）欧拉公式：是虚数单位，，非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位1、虚数单位以及复数中的0巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的叙述正确的有　　A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设，且，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为 　　．14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为 　　．（满足即可）15．（5分）八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图的轮廓为正八边形（图，其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为 　　．16．（5分）已知是的重心，，，，则的大小为 　　；的面积为 　　．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位．（1）求；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．19．（12分）如图，以为始边的角，的终边与单位圆的交点分别为，，且．（1）根据图形推导两角差的余弦公式；（2）若，，求的值．20．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，_______．（1）求的值；（2）求的值．21．（12分）在中，，为边上一点，且．（1）若为边上的中线，求边的最大值；（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．22．（12分）需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板、分别在、上），且满足腰上存在点，使得．设，米．（1）请用表示；（2）当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值．
2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数是虚数单位）的实部为　　A． B．0 C．1 D．【解答】解：，实部为．故选：．2．（5分）如图，正六边形中，　　A． B． C． D．【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得故选：．3．（5分）一艘船以的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东的方向上，行驶后到达处，看到灯塔在北偏东的方向上，这时船与灯塔的距离为　　．A． B． C． D．【解答】解：如图，依题意有，，，在中，由正弦定理得，解得，故选：．4．（5分）向量，满足，，则为　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，，，则，，故选：．5．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．3【解答】解：已知，，则，故选：．6．（5分）已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：甲：与反向的单位向量为；乙：与垂直的单位向量为；丙：在向量上的投影向量为；丁：在向量上的投影向量为．其中有且只有一个人计算错误，则的值为　　A． B．7 C． D．1【解答】解：若甲错误，则乙丙丁正确，由垂直于单位向量，解得，又由在向量上的投影向量为得到，在向量上的投影向量为，得到，此时，不满足，所以不成立；若乙错误，则甲丙丁正确，与反向的单位向量为，可得，此时垂直于单位向量，不满足要求；若丙错误，则甲乙丁正确，由甲乙可得到，由丁：在向量上的投影向量为，可得，此时满足要求，得，，；若丁错误，则甲乙丙正确，由甲乙可得到，由丙可得，不满足要求．故选：．7．（5分）已知锐角满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：锐角满足，为锐角，，则，故选：．8．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则为　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：因为，利用正弦定理，可得，，，所以，因为，即，整理得，，（1）时，有等式成立，此时；（2）时，有，因为，，所以，．故为等腰或直角三角形．故选：．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）下列关于平面向量，，的判断正确的有　　A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则【解答】解：中，由知向量，反向或存在零向量，所以，所以对；中，若满足，，但不满足，所以错；中，因为，根据平面向量数量积定义可知，所以对；根据向量不满足消去律可知错．故选：．10．（5分）已知中的两个内角的正切值为方程的两个根，最长边的长为3，则的　　A．最小角为 B．最短边的中线长为 C．最长边上的高为2 D．外接圆的直径为【解答】解：由的两根为2，3，设，若，此时，，与内角和为矛盾，故，，又，故，故正确；故，，由正弦定理得，可得，设是边上的中线，则，则，，故错误；，解得，故正确；外接圆的直径为．故正确．故选：．11．（5分）已知函数的周期为，当时，的　　A．最小值为 B．最大值为2 C．零点为 D．增区间为【解答】解：，，，，，，，，，，，，的最小值为1，最大值为2，错误，正确，令，则，，，，，，正确，，，，，在，上递增，正确，故选：．12．（5分）欧拉公式：是虚数单位，，非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位1、虚数单位以及复数中的0巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的叙述正确的有　　A． B． C． D．【解答】解：对于，因为，所以，所以正确，对于，因为，，所以，所以正确，对于，因为，所以错误，对于，因为，所以正确，故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设，且，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为 　　．【解答】解：设，则，，，表示以为圆心，2为半径的大圆与以为圆心，1为半径的小圆的中间部分，在复平面内对应的点的集合形成的图形的面积为．故答案为：．14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，请您给出一个值，使得有两解，则您给的值为 　3　．（满足即可）【解答】解：由正弦定理得，因为，故，又有两解，即有两个解，故，所以，故答案为：3（满足即可）．15．（5分）八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图的轮廓为正八边形（图，其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为 　　．【解答】解：因为八卦图为正八边形，故中心角为，因为，所以，即，即，又，所以，所以，因为，又为定值，所以取最大值时，即取最大值，设，所以，所以取最大值时，即取最大值，又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上（在此路径上为钝角），所以点在路径上，延长与，延长线交于点，则三角形为等腰直角三角形，且，所以，即，所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大，即，所以，所以，故答案为：．16．（5分）已知是的重心，，，，则的大小为 　　；的面积为 　　．【解答】解：延长交于，由是的重心，则是中点，且，又，，，解得，；，的面积为．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）因为，所以，即，所以或．（2）若，则若，即，所以，所以，即．所以，，，，，．18．（12分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位．（1）求；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为为实数，所以设，所以，所以，又因为为纯虚数，所以，所以，所以．（2）由（1）知，所以，因为复数在复平面上对应的点在第二象限，所以，所以，解得，故的取值范围为．19．（12分）如图，以为始边的角，的终边与单位圆的交点分别为，，且．（1）根据图形推导两角差的余弦公式；（2）若，，求的值．【解答】解：（1）因为角，的终边与单位圆的交点分别为，，所以，，因为，则，因为，在单位圆上，所以，所以，，，（2）因为，，所以，又，，，所以．20．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，_______．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）选①，因为，，所以，，所以，所以，所以，又因为，所以；选②因为，所以，所以．又因为，所以；选③法一：在中，由正弦定理得，又，所以，所以，又因为，所以，法二：在中，，又，即，所以，所以．（2）由（1）得，又，所以，所以，所以，所以．21．（12分）在中，，为边上一点，且．（1）若为边上的中线，求边的最大值；（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求边的取值范围．【解答】解：（1）设，，在中，由余弦定理可得，又，即，①在中，由余弦定理可得，即，②由①②得，又由①得，（当且仅当时取等号），即，即，即，综上，当且仅当时，取得最大值．（2）因为为的平分线，设，则，，由为锐角三角形，则解得，在中，由正弦定理得，③在中，由正弦定理得，④④③得，又，所以，设，又，即，则，，又在上为增函数，即，即边的取值范围为．22．（12分）需要从一块宽为6米、长不限的矩形钢板上截取一块直角梯形模板、分别在、上），且满足腰上存在点，使得．设，米．（1）请用表示；（2）当的长为多少时，模板的面积最小，并求这个最小值．【解答】解：（1）如图所示： 因为，所以，，所以，在中，在中，，由得，所以，；（2）由（1）得，在中，，中，，所以直角梯形的面积，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，当时，（米，此时取得最小值为平方米．当为2米时，模板的面积最小值为平方米．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:13:05；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367