2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

1．（5分）已知复数，其中是虚数单位，则的实部为　　

A．1 B．3 C． D．

2．（5分）已知向量，，且，那么实数　　

A．1 B． C．4 D．

3．（5分）已知函数，则的零点所在区间为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知向量与的夹角为，，，则　　

A．3 B． C． D．

5．（5分）已知的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比．某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为　　米．

A． B． C． D．

7．（5分）已知菱形边长为4，，是中点，则的值为　　

A．4 B． C．16 D．

8．（5分）在中，是线段上一点，且，记，，若，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

9．（5分）已知函数在区间，上的图象是一条连续不断的曲线，若（a）（b），则在区间，上　　

A．方程没有实数根 

B．若函数单调，则必有唯一的实数根 

C．方程至多有一个实数根 

D．若函数不单调，则至少有一个实数根

10．（5分）下列三角表达式中，正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）下列命题正确的是　　

A． 

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 

C．已知不共线且，若，，三点共线，则 

D．已知向量，则在上的投影向量是

12．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是　　

A．若，则的形状是等腰三角形 

B．，，若，则这样的三角形有两个 

C．若，，则面积的最大值为 

D．若的面积，，则的最大值为1

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）实数，满足，则　　．

14．（5分）化简：　　

15．（5分）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图 ①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，点满足，则　　；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是 　　．

16．（5分）已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，则的取值范围为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17．（10分）已知复数（其中，为虚数单位）是纯虚数．

（1）求实数的值；

（2）若复数，求．

18．（12分）已知为锐角，．

（1）求，的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知在中，角，，所对的边分别是，，，______．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

20．（12分）已知中，是直角，点是的中点，为上一点，且，设，．

（1）请用，来表示，；

（2）若，求．

21．（12分）江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度．某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．

（1）当米时，求的长；

（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）求的零点；

（2）若在，上有解，求的范围；

（3）设，且在，上的最小值为，求实数的值．

2021-2022学年江苏省扬州市江都区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

1．（5分）已知复数，其中是虚数单位，则的实部为　　

A．1 B．3 C． D．

【解答】解：，

的实部为3．

故选：．

2．（5分）已知向量，，且，那么实数　　

A．1 B． C．4 D．

【解答】解：根据题意，向量，，

若，则有，解可得；

故选：．

3．（5分）已知函数，则的零点所在区间为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连续函数在上单调递增，

（1），（2），

的零点所在的区间为，

故选：．

4．（5分）已知向量与的夹角为，，，则　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：向量与的夹角为，，，

．

故选：．

5．（5分）已知的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

6．（5分）“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比．某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为　　米．

A． B． C． D．

【解答】解：在三角形中：，

由正弦定理得，，

在中，．

故选：．

7．（5分）已知菱形边长为4，，是中点，则的值为　　

A．4 B． C．16 D．

【解答】解：则，

故选：．

8．（5分）在中，是线段上一点，且，记，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，所以，

而，而，所以，

解得；

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）

9．（5分）已知函数在区间，上的图象是一条连续不断的曲线，若（a）（b），则在区间，上　　

A．方程没有实数根 

B．若函数单调，则必有唯一的实数根 

C．方程至多有一个实数根 

D．若函数不单调，则至少有一个实数根

【解答】解：由函数零点存在定理，知函数在区间，上至少有一个零点，所以若函数不单调，则至少有一个实数根；若函数单调，则函数有唯一的零点，

即必有唯一的实数根．

故选：．

10．（5分）下列三角表达式中，正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由于，故正确；

，故错误；

，故正确；

，故错误，

故选：．

11．（5分）下列命题正确的是　　

A． 

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 

C．已知不共线且，若，，三点共线，则 

D．已知向量，则在上的投影向量是

【解答】解：选项，，选项正确；

选项，当时，，此时与的夹角是钝角矛盾，选项错误；

选项，由于，，三点共线，所以选项错误；

选项，在上的投影向量是，选项正确．

故选：．

12．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是　　

A．若，则的形状是等腰三角形 

B．，，若，则这样的三角形有两个 

C．若，，则面积的最大值为 

D．若的面积，，则的最大值为1

【解答】解：中，，整理可得，即，所以正确；

中，由正弦定理可得：，，，，可得，

所以，与矛盾，所以不正确；

中，因为，，由余弦定理，而，

所以，所以，故正确；

中，由的面积，可得，可得，而，可得，

又因为，所以，可得，，则，当且仅当时，取等号，所以的最大值为1，所以正确；

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）实数，满足，则　1　．

【解答】解：，

又，

，

．

故答案为：1．

14．（5分）化简：　　

【解答】解：．

故答案为：．

15．（5分）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图 ①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，点满足，则　　；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是 　　．

【解答】解：，

，

，

如图，

的值即为在方向上的投影，

当点与点重合时，在方向上的投影，最大，

取得最大值为；

当点与点重合时，在方向上的投影，最小，

取得的最小值为．

故答案为：，．

16．（5分）已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，则的取值范围为 　　．

【解答】解：方程有三个不同的实数根等价于函数与的图象有三个交点．

不妨设，结合图象可得，，

则．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.）

17．（10分）已知复数（其中，为虚数单位）是纯虚数．

（1）求实数的值；

（2）若复数，求．

【解答】解：（1）因为为纯虚数，

则，解得．

（2）由（1）得，因为，

所以，

则，．

18．（12分）已知为锐角，．

（1）求，的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）为锐角，且，，

，．

（2），，，

．

又因为，

．

19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知在中，角，，所对的边分别是，，，______．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

【解答】解：（1）若选条件①，根据正弦定理及，可得，

又，所以，

又，所以，

又，故；

若选条件②，由，可得，

根据余弦定理，得，

又，所以；

若选条件③，在中，，所以，

又，，

所以，所以；

（2），得，

根据余弦定理可得，，

又，，，

所以，得，

所以的周长为．

20．（12分）已知中，是直角，点是的中点，为上一点，且，设，．

（1）请用，来表示，；

（2）若，求．

【解答】解：（1）由题意知，，

由，得，

所以．

（2）中，是直角，可得，

即，所以，

由（1）知：，，

又因为，所以，

所以，即．

21．（12分）江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度．某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．

（1）当米时，求的长；

（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值．

【解答】解：（1）扇形的半径，

因为圆心角为，所以，又，

在中，由余弦定理可得，，

即，

解得或（舍去），

所以的长为80米．

（2）因为，，

在中，由正弦定理可得，，

所以，

所以的面积为，

故当，即时，的面积最大为平方米，

所以此时种植郁金香的最大面积是平方米．

22．（12分）已知函数．

（1）求的零点；

（2）若在，上有解，求的范围；

（3）设，且在，上的最小值为，求实数的值．

【解答】解：（1）令，可得，即，得，

的零点是0；

（2），令，则在，单调递增，

在，上有零点，由零点存在定理得，得，

解得，

的范围是；

（3），

令，，，

，

当时，在上为减函数，在，上为增函数，

，即，则，

解得，或（舍去）；

当时，在上为增函数，，

即，则，解得（舍去）．

综上可得，．

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