2021-2022学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了已知，则复数的共轭复数是，已知，向量与的夹角为，则，在中，，，，则，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则，，则函数的零点共有，下列式子等于的是，下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。）1．（5分）已知，则复数的共轭复数是　　A． B． C． D．2．（5分）已知，向量与的夹角为，则　　A．5 B． C． D．3．（5分）在中，，，，则　　A． B． C． D．4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．根据下列条件解三角形，其中有两解的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，5．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．6．（5分）已知函数是奇函数且当时是减函数，若（1），则函数的零点共有　　A．4个 B．5个 C．6个 D．7个7．（5分）已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为　　A． B． C． D．8．（5分）已知向量，，满足，，，若向量与向量的夹角为，则的取值范围是　　A． B． C．， D．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）下列式子等于的是　　A． B． C． D．10．（5分）下列命题为真命题的是　　A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．复数的共轭复数为 D．复数为的虚部为11．（5分）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是　　A． B．若，则的面积是面积的 C．若，，则 D．若，，则当取得最小值时，12．（5分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得　　A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）利用二分法求的零点时，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是 　　．14．（5分）平面凸四边形中，，，，，为常数），若满足上述条件的平面凸四边形有且只有2个，则的取值范围是　　．15．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是 　　．16．（5分）已知在平面直角坐标系中，点、点（其中，为常数，且，点为坐标原点．如图，设点，，，，，是线段的等分点，则当时，　　．（用含，的式子表示）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，，．（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．18．（12分）已知复数，，其中为虚数单位．（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；（Ⅱ）若满足，求的值．19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角，，所对的边分别是，，，若____．（1）求；（2）若点在线段上，，，且，求．20．（12分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界，的距离分别为，，为长度单位）．吴某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．（1）求线段的长；（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．21．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，时，的值；（3）已知，，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，．（1）当时，若有两个零点，求的取值范围；（2）讨论零点的个数．
2021-2022学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。）1．（5分）已知，则复数的共轭复数是　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．2．（5分）已知，向量与的夹角为，则　　A．5 B． C． D．【解答】解：，向量与的夹角为，，，故选：．3．（5分）在中，，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：中，，，，，解得；，；．故选：．4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．根据下列条件解三角形，其中有两解的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：对于选项中：由，，，所以，再利用正弦定理可求，显然只有一解；对于选项中：由余弦定理可得，所以只有一解；对于选项中：因为，且，所以只有一解；对于选项中：因为，且，所以角有两解．故选：．5．（5分）已知，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，又，，，，，，即，，解得：，故选：．6．（5分）已知函数是奇函数且当时是减函数，若（1），则函数的零点共有　　A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：根据题意，函数是定义域为的奇函数，则，当时是减函数，且（1），则函数在上只有一个零点，若函数是奇函数且当时是减函数，则在为减函数，又由（1），则（1），则函数在上只有一个零点，故函数共有3个零点，依次为、0、1，对于，，当，解可得，当，解可得或2，当，解可得或（舍去），故，的零点共有4个；对于为偶函数，可得的零点为，，共3个，则函数的零点共有7个，故选：．7．（5分）已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为　　A． B． C． D．【解答】解：由知为中点，又为外接圆圆心，，，，，，在向量上的投影为：，向量在向量上的投影向量为：，故选：．8．（5分）已知向量，，满足，，，若向量与向量的夹角为，则的取值范围是　　A． B． C．， D．【解答】解：，，则，以方向为轴建立平面坐标系如图：其中，，，则，，由于向量与向量是，则在以为弦，并且所对应的圆周角为的圆弧上．由于，，，则，根据对称性有，，，由于直角对的弦为直径，故以为直径的圆的圆心为，半径为，根据，可知对应的轨迹为弧，不包括，两点．而，所以的几何意义是弧上的点，到的距离．根据可知，最远距离为圆心到的距离再加上半径，即，则，故选：．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）下列式子等于的是　　A． B． C． D．【解答】解：因为，故正确，根据余弦的倍角公式可得，故正确，故选：．10．（5分）下列命题为真命题的是　　A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．复数的共轭复数为 D．复数为的虚部为【解答】解：若，互为共轭复数，设，，则是实数，所以正确；若为虚数单位，为正整数，则，所以不正确；复数，所以复数的共轭复数为，所以不正确；复数为的虚部为，满足复数的定义，所以正确；故选：．11．（5分）已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是　　A． B．若，则的面积是面积的 C．若，，则 D．若，，则当取得最小值时，【解答】解：设的中点为，则，由重心性质得， 则，故错误；由，得，则，，为边上靠近点的三等分点，则的面积是面积的，故正确；在中，由余弦定理得，则，故正确；由余弦定理得，，则当时，取得最小值为，此时，故正确．故选：．12．（5分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得　　A． B． C． D．【解答】解：，，故选项错误；，，故选项正确；，，即，解得或，，舍去，，，，故选项正确；而，故选项错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）利用二分法求的零点时，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是 　　．【解答】解：，（1），（2），，（1），第二次确定的区间是．故答案为：．14．（5分）平面凸四边形中，，，，，为常数），若满足上述条件的平面凸四边形有且只有2个，则的取值范围是　　．【解答】解：如下图所示：在中：，，，由余弦定理得，；由正弦定理得，，即，，，，．过点作，垂足为，则．作关于的对称线段，点在上，则，，．若满足条件的平面凸四边形有且只有2个，则的取值范围是，．故答案为：，．15．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是 　　．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则，，则，，又，则，当，即时，的最小值是，故答案为：．16．（5分）已知在平面直角坐标系中，点、点（其中，为常数，且，点为坐标原点．如图，设点，，，，，是线段的等分点，则当时，　　．（用含，的式子表示）【解答】解：根据题意，取的中点，连接，则有，点，，，，，是线段的等分点，则也是线段、、的中点，则有，则，而，故，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，，．（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．【解答】解：（1）由，则，又，，则，则，又，，则；（2）由，则，又，，，则．18．（12分）已知复数，，其中为虚数单位．（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；（Ⅱ）若满足，求的值．【解答】解：复数为纯虚数，，解得或．设，则，将其代入可得，，化简整理可得，，即，解得，或，或，解得．19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角，，所对的边分别是，，，若____．（1）求；（2）若点在线段上，，，且，求．【解答】解：（1）若选①：因为，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，可得，因为，故．若选②：，由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得，，．选择条件③，，因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以．（2）因为，可得，可得，，在中，，由正弦定理可得，可得．20．（12分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界，的距离分别为，，为长度单位）．吴某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．（1）求线段的长；（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．【解答】解：（1）连接，连结，，，，，在中，由余弦定理：，则，，，均在以为直径的圆上，因此为的外接圆直径，由正弦定理知：；（2）由，，，得，当且仅当，即时取等号，．故当时，三角形面积取最小值为．21．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，时，的值；（3）已知，，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），所以，故函数的伴随特征向量，（2）由于，所以，由于，所以，则，故．（3）由于为函数的伴随向量，故．所以，设，由于，，所以，，由于，所以，故，整理得，所以，由于，所以；故，由于，当且仅当时，，所以在的图象上存在点使得成立．22．（12分）已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，．（1）当时，若有两个零点，求的取值范围；（2）讨论零点的个数．【解答】解：（1）当时，，令，得，故有两个零点等价于函数与函数图象有两个交点，，，故在，上单调递增，在，上单调递减，如图所示，则，解得，故的取值范围为，； （2）在单调递减，（1），即存在唯一零点1；，对称轴为，在时单调递减，在时单调递增，由△，得，的零点由△的符号决定，．当时，即对称轴，在单调递增且，由（1）（1），结合的定义，知有且只有一个零点1；．当时，因为△，所以，由（1）（1），结合的定义，知有且只有一个零点1；．当时，，△，存在唯一零点，由，（1）（1），结合的定义，知有两个零点为和1；．令（1），得，故，由，可得，，故有两个零点为和1，由，（1）（1），结合的定义，知有两个零点为和1；．当时，，，△，（1），故有两个零点，，由，，（1）（1），结合的定义，可知有三个零点，和1，其中，；．当时，△，（1），故有两个零点，，由，，（1）（1），结合的定义，可知有且只有一个零点，；综上所述，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:07:58；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367