2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）两实数，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

2．（5分）不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）设是虚数单位，若复数满足，则在复平面内复数对应的点的坐标为　　

A． B． C． D．

4．（5分）在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，的方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

6．（5分）设抛物线的焦点为，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则　　

A．9 B．8 C．6 D．4

7．（5分）已知等比数列的前项和为，则下列命题一定正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．当二马相逢时，良马所行路程为　　

A．1345里 B．1395里 C．1440里 D．1470里

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）若正实数，满足，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

10．（5分）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则下列结论正确的有　　

A． B． 

C．可以取负整数 D．对任意，有

11．（5分）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心为一个焦点的椭圆（如图所示）．已知它的近月点（离月球表面最近的点）距离月球表面千米，远月点（离月球表面最远的点）距离月球表面千米，为椭圆的长轴，月球的半径为千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

12．（5分）离心率为（即黄金分割比的倒数）的双曲线称为黄金双曲线．已知黄金双曲线的左、右焦点分别为，，实轴端点分别为，（其中在左侧），虚轴端点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，则下列结论正确的有　　

A． 

B． 

C．△为锐角三角形 

D．是，的等比中项

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是　　．

14．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则在该数列中，第35项是　　．

15．（5分）在三棱锥中，为中点，，若，，，，则　　．

16．（5分）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求的值．

18．（12分）已知对任意，不等式成立，记满足条件的的取值集合为，记关于的不等式的解集为．

（1）求集合与；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（12分）在直三棱柱中，，，点在棱上（不同于点，，点为棱的中点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

20．（12分）已知抛物线的焦点为，斜率为3的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点．

（1）若，求直线的方程；

（2）若，求弦的长．

21．（12分）已知数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列，偶数项是首项为2，公比为的等比数列．数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设实数，若对于任意，都有，求的最小值．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，，其中为椭圆的离心率．若，分别是椭圆的上顶点与右顶点，动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，的面积分别为，，求的最小值，并求出此时的值．

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：由两实数，满足，

．取，时，，故错误；

．取，时，，故错误；

．由函数在上单调递增，可得，故正确．

．取，时，，故错误．

故选：．

2．【解答】解：不等式可化为，解得或，

所以不等式的解集为，，．

故选：．

3．【解答】解：因为，

所以，

则在复平面内对应的点的坐标为．

故选：．

4．【解答】解：由，．

异面直线，所成角的余弦值为．

故选：．

5．【解答】解：椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，

可得，

所以，解得，

该双曲线的渐近线方程：．

故选：．

6．【解答】解：过作垂直于准线于点，准线于轴的交点为，由抛物线的方程可得，

再由抛物线的性质可得，

因为，所以，可得：，，

因为，所以，

可得，

所以，

故选：．

7．【解答】解：设等比数列的公比为，

对于：若，当为负数且时，此时，故不正确；

对于：若，无论取任何值，与同号，此时，故正确；

对于：若，当为负数且时，此时，则，故不正确；

对于：若，当为负数且时，此时，则，故不正确．

故选：．

8．【解答】解：由题设可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差为13的等差数列，

驽马每日行程构成一个首项为97，公差为的等差数列，

则，，

数列的前项和为，

数列的前项和为，

又当经过天两马相逢时，两马行程和为，

整理得：，解得：或（舍，

当二马相逢时，良马所行路程为，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．【解答】解：因为正实数，满足，

所以，当且仅当时取等号，正确；

，当且仅当时取等号，

故， 不正确；

，当且仅当时取等号，正确；

，当且仅当时取等号， 正确．

故选：．

10．【解答】解：，，

，即，

，故选项错误，、正确；

又由可得：，解得：，故选项错误，

故选：．

11．【解答】解：由题意可得：，

所以，故正确，错误，

又，

所以，故正确，错误，

故选：．

12．【解答】解：根据题意可得，

不妨设，则，

又因为，

所以，，

所以双曲线的方程为，

将代入双曲线方程，

得，

，

所以，，，，

所以，

所以在中，，故正确，

，，

所以，故正确，

，，

，，

，，

所以，，

所以是△是最大角，

所以，

所以，

所以△是直角三角形，故错误，

，

，

，

所以，

所以是，的等比中项，故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：正项等比数列满足，

，

，

当且仅当，即时，取等号，

当取最小值时，数列的公比是2．

故答案为：2．

14．【解答】解：奇数项是后一个数，

每行2个数，则第35项在18行第3个数，

从第2行开始斜行的后一个数为：1，3，6，10，，

即为 1，，，，

则19行第3个数为：，

故答案为：171．

15．【解答】解：由题意得，，，

，

，

，

，

．

，

．

故答案为：．

16．【解答】解：由椭圆的定义可得：，且，

则，

则由题意可得要满足条件只需：，

则，又，

所以椭圆的离心率的范围为，，

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）由可得：，即，

又，公差，

；

（2），

，解得：，

，，

．

18．【解答】解：（1）对任意，不等式成立，

只需满足：在上恒成立，

对于函数．

当时，．

对于函数．

故．

所以．

关于的不等式整理得，

故．

（2）由于“”是“”的充分不必要条件，

所以，

即，解得．

故参数的取值范围为，．

19．【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，

则，2，，，0，，，0，，，0，，

，，，，0，，，2，，

设平面的法向量为，

则有，令，则，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值．

（2）设，0，，则，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

因为二面角的余弦值为，

所以，

解得，

所以．

20．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，

由题意可得，可得，

所以抛物线的方程为：；

所以准线的方程为：，

设直线的方程为，设，，，，

令，可得：，

所以，，

联立，整理可得：，

，，

由抛物线的性质可得，

由题意可得，

所以可得，

所以直线的方程为：；

（2）由（1）可得，，①，

②，

可得，，，

所以③，

由①②③可得，

所以直线的方程为：．

所以弦长．

21．【解答】解：（1）由题意得，，

又，，

，即为，

解得，，

则；

（2）

，

，

所以，

设，则，

令，对称轴为，

所以随着的增大而减小，

（1），（2），

所以（2）（1），（2）（3）（4），

所以时的最大值为（2），

所以，

即的最小值为1．

22．【解答】解：（1）由题意可得解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得，，，

所以，

设，则，直线的方程为：，

所以到直线的距离，

到直线的距离，

所以，

因为在第一象限，所以，，

且，，

所以，

因为，所以，，

，，所以，

所以的最小值为2，这时，

所以直线的斜率为．

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日期：2021/4/10 17:53:02；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394