2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在中，设角，，所对的边长分别为，，，，，的面积，则等于　　
A． B． C．或 D．
2．（5分），的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为　　
A．20 B．30 C．36 D．40
4．（5分）古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，表示正四面体的棱长；在正方体中，表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为、正四面体（正四面体棱长为、正方体（棱长为的“玉积率”分别为，，，那么的值为　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为．则实数值为　　
A．2 B．1 C． D．
6．（5分）设为平面上一点，过点的直线在平面上的射影为，为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：（其中和只能是锐角），称为最小张角定理．直线与平面所成的角是，若直线在内的射影与内的直线所成角为，则直线与直线所成的角是　　

A． B． C． D．
7．（5分）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）双曲线的右焦点为，右准线为，点是双曲线上一点，记点到直线的距离为，双曲线的离心率为，则下列条件中是的充分不必要条件有　　
A． B． C． D．
10．（5分）在直角梯形中，，，，为中点，现将沿折起，得到一个四棱锥，则下列命题正确的有　　
A．在沿折起的过程中，四棱锥体积的最大值为
B．在沿折起的过程中，异面直线与所成的角恒为
C．在沿折起的过程中，二面角的在大小为
D．在四棱锥中，当在上的射影恰好为的中点时，与平面所成的角的正切为
11．（5分）在中，角，，所对的边长分别为，，，下列命题正确的有　　
A．若，，，则有两解
B．若，则一定是锐角三角形
C．是是充要条件
D．若，则形状是等腰或直角三角形
12．（5分）已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有　　

A．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
B．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，恒成立，则的取值范围为　　．
14．（5分）已知为椭圆的右焦点．直线与椭圆相交于，两点，，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为　　．
15．（5分）在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，则的最小值为　　，当最小时，的面积为　　．
16．（5分）已知菱形的边长为2，对角线，现将沿折起，使得二面角为，则折得几何体的外接球的表面积为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，：方程表示焦点在轴上的椭圆；：方程表示双曲线．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）在①，②，③这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．
在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，_____，，．
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求的长．

19．（12分）如图在直棱柱中，，、、的中点分别为、、．
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20．（12分）如图，四边形的四个顶点共圆，，，．
（1）求和的值；
（2）求四边形的周长的最大值．

21．（12分）如图，在平面四边形中，，，，现将沿翻折至△，记二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值．

22．（12分）如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，、分别为椭圆的左、右顶点，过点、作斜率分别为、，直线和直线分别与椭圆交于点，（其中在轴上方，在轴下方）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线恒过椭圆的左焦点，求证：为定值．


2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在中，设角，，所对的边长分别为，，，，，的面积，则等于　　
A． B． C．或 D．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，结合范围，可求，或，分类讨论，利用余弦定理即可求解的值．
【解答】解：因为，，的面积，
解得，
因为，
所以，或，
当时，由余弦定理可得，
当时，由余弦定理可得，
则的值为：，．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．
2．（5分），的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为　　
A．20 B．30 C．36 D．40
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用甲社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率，即得应从甲社区中抽取低收入家庭的户数．
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于，
甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为，
故选：．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
4．（5分）古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，表示正四面体的棱长；在正方体中，表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为、正四面体（正四面体棱长为、正方体（棱长为的“玉积率”分别为，，，那么的值为　　
A． B． C． D．
【分析】把球的体积用直径表示，把正四面体及正方体的体积用棱长表示，分别求得“玉积率”，作比得结论．
【解答】解：直径为的球的体积，则；
如图，

正四面体的棱长为，则底面外接圆的半径为，
正四面体的高，
则其体积，得；
正方体的体积，则．
的值为．
故选：．
【点评】本题考查球、正四面体、正方体的体积计算，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为．则实数值为　　
A．2 B．1 C． D．
【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为．
可得，解得．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
6．（5分）设为平面上一点，过点的直线在平面上的射影为，为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：（其中和只能是锐角），称为最小张角定理．直线与平面所成的角是，若直线在内的射影与内的直线所成角为，则直线与直线所成的角是　　

A． B． C． D．
【分析】由已知可得公式中的，，代入求得值即可．
【解答】解：由题意，，，
则直线与直线所成的角满足，
又，，．
故选：．
【点评】本题考查线面角与线线角的求法，是基础的计算题．
7．（5分）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【分析】画出图象，结合图象，问题转化为和所成的角，结合余弦定理求出的余弦值，从而确定答案．
【解答】解：作的中点，作，，连接，，，
异面直线与所成角即和所成的角，
如图示：
，
显然，
在等边中，，
在等边中，
而，故是等边三角形，故，
在中，，，，
故，
由异面直线的夹角的范围是，，
故和所成的角是的补角，
故和所成的角的余弦值是，
即异面直线与所成角的余弦值是，
故选：．
【点评】本题考查了异面直线的夹角，考查余弦定理的应用以及转化思想，数形结合思想，是一道基础题．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，，，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值．
【解答】解：设双曲线的左焦点为，连接，，，
由可得，四边形为矩形，
可设，则，，，
在直角三角形中，可得，
即为，
解得，
又在直角三角形中，，
即为，
即为，
即有，
故选：．

【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）双曲线的右焦点为，右准线为，点是双曲线上一点，记点到直线的距离为，双曲线的离心率为，则下列条件中是的充分不必要条件有　　
A． B． C． D．
【分析】由双曲线的定义可得，推得，考虑选项中的集合应为的真子集，可得结论．
【解答】解：由双曲线的定义可得，即，
，即有，可得，
由充分不必要条件的定义可得，正确；，不正确．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及充分不必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题．
10．（5分）在直角梯形中，，，，为中点，现将沿折起，得到一个四棱锥，则下列命题正确的有　　
A．在沿折起的过程中，四棱锥体积的最大值为
B．在沿折起的过程中，异面直线与所成的角恒为
C．在沿折起的过程中，二面角的在大小为
D．在四棱锥中，当在上的射影恰好为的中点时，与平面所成的角的正切为
【分析】对于，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，再根据体积公式即可求出；
对于，根据异面直线所成的角即可求出；
对于，平面平面，即二面角二面角的在大小为，
对于，先判断为直线与平面所成的角，再解三角形即可求出．
【解答】解：对于，沿折起得到，四棱锥，由四棱锥底面积是固定值，要使得体积最大，
需要四棱锥的高最大，即平面平面，此时，由已知得，
则，故正确；
对于，在沿折起的过程中，，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
又，，为的中点，可知，即异面直线与所成的角恒为，故正确；
对于，由翻折前知，，，且，则平面，又平面，
所以平面平面，即二面角二面角的在大小为，故错误；
对于，如图连接，，由选项可知，平面，又平面，则，
又由已知得，且，则平面，所以为直线与平面所成的角，
在直角三角形中，，
所以与平面所成的角的正切为，故正确．
故选：．

【点评】本题考查了立体几何综合问题，考查了体积，线线角，线面角，面面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力和运算求解能力，属于中档题．
11．（5分）在中，角，，所对的边长分别为，，，下列命题正确的有　　
A．若，，，则有两解
B．若，则一定是锐角三角形
C．是是充要条件
D．若，则形状是等腰或直角三角形
【分析】对于，根据已知条件，求出，及的值，即可判断；
对于，假设为钝角△，不妨设，，计算，推出矛盾，而直角没有正切值，从而判断选项；
对于，由正弦定理即可判断．
对于，利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，可得或，从而判断选项．
【解答】解：对于，，，，所以，，，只有一解，故错；
对于，假设为钝角△，不妨设，，
，，与题设矛盾．
不是直角三角形，直角没有正切值，为锐角三角形，故选项正确；
对于，因为由正弦定理可得，所以正确；
对于，由正弦定理，化简已知等式得：，
，
，又和都为三角形的内角，
或，即或，
则为等腰或直角三角形，故正确．
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件，命题的真假的判断，三角恒等变换，正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
12．（5分）已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有　　

A．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
B．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
【分析】，由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断选项；
，由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断选项；
，建立空间直角坐标系，设，，，由与所成的角为，可得点的轨迹方程，从而判断选项；
，由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而判断选项．
【解答】解：对于，，，所以，
则的中点到中点的距离为，
中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，
其面积为，故错误；
对于，平面，即为到直线的距离，
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，
所以点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故正确；
对于，如图，建立空间直角坐标系，设，，，
，，，，2，，，
化简得，即，
所以的轨迹为双曲线，故正确；
对于，与平面所成的角为，所以，
则，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故错误．
故选：．

【点评】本题主要考查命题真假的判断，立体几何与解析几何的综合，抓住解析几何几种特殊曲线的定义是解题的关键，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若，恒成立，则的取值范围为　，　．
【分析】由已知恒成立问题转化为最值问题，然后求三角函数的最值即可求解．
【解答】解：由已知在上恒成立，
只需，
又，
当时，，
所以当即时，，
所以，
故的取值范围为：，．
【点评】本题考查了恒成立问题转化为最值的问题，涉及到求三角函数的最值，属于基础题．
14．（5分）已知为椭圆的右焦点．直线与椭圆相交于，两点，，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为　　．
【分析】分别设出，的坐标，代入椭圆方程，利用作差法及已知条件可得，再由椭圆半焦距及隐含条件得到关于，的方程，联立求得，的值，则答案可求．
【解答】解：设，，，，，，
则，，
两式作差可得，，
即，
直线，直线的斜率，
，即，①
又，，则，②
联立①②解得，．
椭圆的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，训练了“点差法”在求解弦中点问题中的应用，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，则的最小值为　　，当最小时，的面积为　　．
【分析】通过余弦定理求出的表达式，利用基本不等式求出的最小值，当最小时，由余弦定理可解得，的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，可得，
由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
当最小时，，，，
由余弦定理可得，
所以解得，，
又，
则．
故答案为：，．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
16．（5分）已知菱形的边长为2，对角线，现将沿折起，使得二面角为，则折得几何体的外接球的表面积为　　．
【分析】设两三角形外心分别为，，球心为，中点为，由题意知，求出，，由此求出球半径，从而能求出四面体的外接球的表面积．
【解答】解：如图，设两三角形外心分别为，，球心为，中点为，菱形的边长为2，对角线，
由题意知，，
，，
球半径，
四面体的外接球的表面积为．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了四面体外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，：方程表示焦点在轴上的椭圆；：方程表示双曲线．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】分别求出，为真时的集合，根据集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：由且：方程表示焦点在轴上的椭圆；
则，
由且：方程表示双曲线，
则，则，
若是的充分不必要条件，
则，，，
则，解得：，
故的范围是，．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆，双曲线的定义，是一道基础题．
18．（12分）在①，②，③这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．
在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，_____，，．
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求的长．

【分析】（1）若选①，由正弦定理结合已知可求，结合位锐角三角形，可得无解，不符合题意．
若选②，由正弦定理可得，可得，利用余弦定理可求，结合位锐角三角形，故无解，不符合题意．
若选③，利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换，化简已知等式可得．
（2）由余弦定理可得，由已知，可得，，解得的值，在中，由余弦定理可得，进而可求的值．
【解答】解：（1）若选①，，
又由正弦定理，可得，
所以，
因为位锐角三角形，故无解，不符合题意．
若选②，，由正弦定理可得，
因为，，可得，
所以，
因为位锐角三角形，故无解，不符合题意．
若选③，，
可得，整理可得，
由正弦定理可得，，
又，
所以可得，
因为，可得，
由为锐角，可得，
（2）因为，，，
由余弦定理可得，
因为为边上一点，且，且，，
解得，
所以在中，由余弦定理，
可得，
整理得，
解得，或．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）如图在直棱柱中，，、、的中点分别为、、．
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

【分析】（1）证明，即可得出平面；
（2）根据所给角的大小得出，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【解答】（1）证明：直棱柱中，
平面，
，，
又，分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形，
，平面，
又平面，
，
，是的中点，
，又，
平面．
（2）解：，
为异面直线与所成的角，即，
，
平面，为直线与平面所成的角，
，，，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，0，，，1，，，，，，0，，
，2，，，1，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，1，，
，，
二面角的余弦值为．

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）如图，四边形的四个顶点共圆，，，．
（1）求和的值；
（2）求四边形的周长的最大值．

【分析】（1）由余弦定理可解，（2）由余弦定理及基本不等式可解．
【解答】解：（1）设，，
整理得：，，
解得：，（舍去）．
．
又在中，，
．
（2）四边形的四个顶点共圆，
，，
在中，，即，
，
又，当且仅当时取等号，
，
，，
，
四边形的周长的最大值为：．
【点评】本题考查了余弦定理的应用和基本不等式的结合求最大值，属于综合性题目．
21．（12分）如图，在平面四边形中，，，，现将沿翻折至△，记二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值．

【分析】（1）过作，交于，连接，推导出，从而平面，由此能证明．
（2）推导出，过作平面，交于点，则，连接，则是直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：过作，交于，连接，
在平面四边形中，，，，
将沿翻折至△，
，
，平面，
平面，．
（2）解：在平面四边形中，，，，
将沿翻折至△，二面角的大小，
，
过作平面，交于点，则，
连接，则是直线与平面所成的角，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，、分别为椭圆的左、右顶点，过点、作斜率分别为、，直线和直线分别与椭圆交于点，（其中在轴上方，在轴下方）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线恒过椭圆的左焦点，求证：为定值．

【分析】（1）根据题意可得，解得，，进而可得椭圆的方程．
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得，解得，，进而可得，，同理设直线的方程为，，，得，，由，解得．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，
联立椭圆的方程得，
所以，，
所以，，
所以，，
设直线的方程为，，
联立椭圆的方程得，
所以，即，
所以，
所以，，
又过点，，，，，，
所以，
即，
又，，
所以，
所以，即，
所以的定值为3．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，解题需要一定的运算能力，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:09:35；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394