2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为　　

A．8 B．16 C．18 D．27

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）不等式的解集为　　

A．， B．， 

C．， D．

4．（5分）已知椭圆的准线方程为，离心率为，则椭圆的标准方程为　　

A． B． C． D．

5．（5分）数列中，，，则　　

A．511 B．513 C．1025 D．1024

6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　

A． B． C． D．

7．（5分）椭圆的左、右焦点分别为和，为椭圆上的动点，若，满足的点有　　个

A．2个 B．4个 C．0个 D．1个

8．（5分）正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）若实数，，，若下列选项的不等式中，正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）对任意实数，，，下列命题为真命题的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．“”是“”的充分条件 

C．“”是“”的必要条件 

D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

11．（5分）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则下述结论正确的是　　

A．为定值 

B．的周长的取值范围是， 

C．当时， 为直角三角形 

D．当时， 的面积为

12．（5分）已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为．且满足，，则下列说法正确的有　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）命题“，”的否定是　　．

14．（5分）不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是　　．

15．（5分）椭圆的离心率为，则实数的值为　　．

16．（5分）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数” ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　　．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；

（2）经过，，两点．

18．（12分）已知等比数列中，，且是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

19．（12分）已知函数．

（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；

（2）若，，解关于的不等式．

20．（12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．

（Ⅰ）工厂第几年开始获利？

（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？

21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆相交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

22．（12分）已知各项均为正数的两个数列，满足，，且．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列，的前项和分别为，，求使得等式成立的有序数对，，．

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为　　

A．8 B．16 C．18 D．27

【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解．

【解答】解：若等比数列的首项为，公比为，则它的通项，

由已知可得：，，

则它的通项．

故选：．

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列的首项为，公比为，则它的通项，属于基础题．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解得的范围，即可判断出结论．

【解答】解：由，解得或，

故”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）不等式的解集为　　

A．， B．， 

C．， D．

【分析】根据题意，分析可得原不等式等价于且，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，原不等式等价于且，

解可得：，

及原不等式的解集为，；

故选：．

【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．

4．（5分）已知椭圆的准线方程为，离心率为，则椭圆的标准方程为　　

A． B． C． D．

【分析】由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在轴上，再由已知列关于，，的方程组，求得与的值，则椭圆标准方程可求．

【解答】解：由椭圆的准线方程为，可知椭圆的焦点在轴上，

设椭圆方程为，

由，解得，，．

椭圆的标准方程为．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．

5．（5分）数列中，，，则　　

A．511 B．513 C．1025 D．1024

【分析】直接利用构造法的应用，整理出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．

【解答】解：数列中，，，

所以，

所以（常数），

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．

所以，

所以．

所以．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　

A． B． C． D．

【分析】设五个人所分得的面包为，，，，，；则由五个人的面包和为100，得的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得的值；从而得最小的一份的值．

【解答】解：设五个人所分得的面包为，，，，，（其中；

则，，；

由，得；，；

所以，最小的1分为．

故选：．

【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．

7．（5分）椭圆的左、右焦点分别为和，为椭圆上的动点，若，满足的点有　　个

A．2个 B．4个 C．0个 D．1个

【分析】由题意画出图形，由，结合隐含条件可得，再由，可得为短轴的两个端点，则答案可求．

【解答】解：设椭圆的半焦距为，当时，

则，

如图，连接，若，则，

此时点在短轴的上下端点，即符合条件的有2个．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．（5分）正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】求出（当且仅当时取等号），问题转化为对任意实数恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数的取值范围．

【解答】解：正数，满足，

（当且仅当时取等号）．

由不等式对任意实数恒成立，

可得对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

的最大值为3，

，

故选：．

【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）若实数，，，若下列选项的不等式中，正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定、、、的结论．

【解答】解：实数，，，

则对于，成立，故正确；

对于成立，故正确；

对于成立，故正确；

对于成立，故不正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．（5分）对任意实数，，，下列命题为真命题的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．“”是“”的充分条件 

C．“”是“”的必要条件 

D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

【分析】由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．

【解答】解：逐一考查所给的选项：

取，，，满足，但是不满足，选项错误，

取，，满足，但是不满足，选项错误，

“”是“”的必要条件，选项正确，

“是无理数”，则“是无理数”，选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定 等知识，属于中等题．

11．（5分）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则下述结论正确的是　　

A．为定值 

B．的周长的取值范围是， 

C．当时， 为直角三角形 

D．当时， 的面积为

【分析】利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：设椭圆的左焦点为，则，可得为定值6，故正确；

的周长为，

为定值6，可知的范围是，的周长的范围是，故错误；

将与椭圆方程联立，可解得，，又知，，

如图，由图可知为钝角，则为钝角三角形，故错误；

将与椭圆方程联立，解得，，，，

，故正确．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

12．（5分）已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为．且满足，，则下列说法正确的有　　

A． B． C． D．

【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出，的取值范围，在求出其前项和的表达式即可判断大小；

【解答】解：数列为递增数列；

；

，

；

；故正确．

；

数列为递增数列；

；

；

；

，故正确．

；

对于任意的，；故正确，错误．

故选：．

【点评】本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）命题“，”的否定是　，　．

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定是，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

14．（5分）不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是　　．

【分析】设，将不等式恒成立的问题转化为函数图象始终在轴上方，进而根据判别式处理即可．

【解答】解：依题意，设，

因为不等式对任意实数都成立，

所以△，解得，

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．

15．（5分）椭圆的离心率为，则实数的值为　　．

【分析】分当和时两种情况，根据求得．

【解答】解：当时，，解得，

当时，解得符合题意，

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中，，的关系．

16．（5分）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数” ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　　．

【分析】先根据数列的递推式求出，所以，显然是等差数列，所以中最大，则数列的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数的取值范围．

【解答】解：由题意可知，，

则时，，

两式相减得：，

，

又，，满足，

故，

，显然是等差数列，

对任意的恒成立，

中最大，则，解得：，

故实数的取值范围是：，．

【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；

（2）经过，，两点．

【分析】（1）先求出已知椭圆的焦点坐标，则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．

【解答】解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为，则可设所求的椭圆方程为：，

代入点，解得或（舍，

所以所求椭圆方程为：，

（2）设所求的椭圆方程为：，

代入已知两点可得：，解得，，

故所求的椭圆方程为：．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．

18．（12分）已知等比数列中，，且是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

【分析】（1）根据等差中项可得，即可求出通项公式；

（2）利用分组求和即可求出．

【解答】解：（1）设等比数列公比为，则，

，且是和的等差中项，

，

即，

解得，

；

（2）；

．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．

19．（12分）已知函数．

（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；

（2）若，，解关于的不等式．

【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程的两根分别为和3，由此建立关于、的方程组并解之，即可得到实数、的值；

（2）不等式可化成，由此讨论与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．

【解答】解：（1）不等式的解集是

，3是方程的两根，

可得，解之得（5分）

（2）当时，，

，

①若，即，解集为．

②若，即，解集为．

③若，即，解集为．（14分）

【点评】本题给出二次函数，讨论不等式不等式的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．

20．（12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．

（Ⅰ）工厂第几年开始获利？

（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？

【分析】（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第年时累计的纯收入，

获利为，解得的值，可得第几年开始获利；

（Ⅱ）计算方案①年平均获利最大时及总收益；方案②总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．

【解答】解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第年时累计的纯收入为，

则，

获利为：，，即，；

又，，4，5，，17；

当时，即第3年开始获利．

（Ⅱ）①年平均收入为：（万元）

即年平均收益最大时，总收益为：（万元），此时；

②，当时，；

总收益为110万元，此时；

比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，

故选择第一种方案．

【点评】本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．

21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆相交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

【分析】（1）由长轴长即等边三角形可得，的值，进而求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线的方程．

【解答】解：（1）由题意可得，，

所以，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得右焦点，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，

，，，，

联立直线与椭圆的方程，整理可得：，

可得，，

所以

，

当且仅当，即，时三角形的面积最大为1，

所以面积的最大值为1，这时直线的方程为．

【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．

22．（12分）已知各项均为正数的两个数列，满足，，且．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列，的前项和分别为，，求使得等式成立的有序数对，，．

【分析】（1）根据递推关系可得，从而得到数列为等差数列；

（2）根据，可知数列的奇数项和偶数项，进而整合即可得的通项公式．

（3）分别求，，带入成立，则存在，，使得，即，从而，在证明不成立，从而得到，，．

【解答】证明（1）：由，

可得

即，

各项均为正数的两个数列，，

可得，

即数列是首项为1，公差的等差数列．

解（2）：由（1）可得，

，

可得①

②

将可得：．

所以是奇数项和偶数项都成公比的等比数列，

由，，

可得，，，

．

故得数列的通项公式为．

（3）由（1）和（2）可得，；

由

即．

则存在，，使得，即，

从而，

若，则，

，

又，那么，

可知与相矛盾．

可得，

根据，，，

可得，，

此时可得，．

【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式与前项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．

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日期：2021/2/24 20:22:30；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394