2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）不等式的解集是　　
A．，， B．
C． D．
3．（5分）已知数列中，，，则等于　　
A． B． C． D．2
4．（5分）已知，，则下列关系式一定成立的是　　
A． B． C． D．
5．（5分）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？　　
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列中，，，则　　
A．2 B．54 C．162 D．243
7．（5分）等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，，则使数列的前项和最大的正整数的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）设是数列的前项和，满足，且，则　　
A．10 B． C． D．11
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.
9．（5分）关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是　　
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．关于的不等式的解集为，，
10．（5分）当时，下列函数的最小值为4的有　　
A． B．
C． D．
11．（5分）设首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是　　
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
12．（5分）已知为等比数列，下列结论正确的是　　
A．若，则 B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一格3分，第二格2分.
13．（5分）命题“，”的否定为　　．
14．（5分）已知实数，满足且，则的最小值是　　．
15．（5分）已知数列满足：，设的前项和为，则当时，数列的通项公式为　　；当时，　　．
16．（5分）数列满足，若对任意，所有的正整数都有成立，则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知关于的不等式的解集为空集，函数在，上的值域为．
（1）求实数的取值集合及函数的值域；
（2）对（1）中的集合，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（10分）已知正项等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求．
19．（12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产万件时，该产品需另投入流动成本万元．在年产量不足8万件时，，在年产量不小于8万件时，．每件产品的售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．设年利润为（单位：万元）．
（1）若年利润（单位：万元）不小于6万元，求年产量（单位：万件）的范围；
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
20．（12分）设函数．
（1）若在，恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
21．（12分）设数列的前项和为，满足．且，．
（1）求证：数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和，若对任意都有，求实数的取值范围．
22．（14分）设各项均为正数的数列的前项和为，已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值使数列为等差数列；
（3）数列满足，为数列的前项和，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：，，
，，
推不出，
，
是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
2．（5分）不等式的解集是　　
A．，， B．
C． D．
【分析】将原不等式转化为，解相应的不等式组即可求得答案．
【解答】解：，
，即，
或，
解得或，
不等式的解集是，，，
故选：．
【点评】本题考查分式不等式的解法，转化为是关键，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
3．（5分）已知数列中，，，则等于　　
A． B． C． D．2
【分析】由已知条件分别求出数列的前4项，从而得到数列是以3为周期的周期数列，由此能求出．
【解答】解：数列中，，，
，
，
，
数列是以3为周期的周期数列，
，
．
故选：．
【点评】本题考查数列的第2021项的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列是以3为周期的周期数列．
4．（5分）已知，，则下列关系式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】取特值排除法：，，排除；，，排除，
【解答】解：不妨令，，，则由此排除；
令，，，则，由此排除；则由此排除
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5．（5分）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？　　
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
【分析】由每一尺的重量构成等差数列，，，利用求和公式即可得出．
【解答】解：由每一尺的重量构成等差数列，，，
该金锤共重斤．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列中，，，则　　
A．2 B．54 C．162 D．243
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得，变形可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，各项均为正数的等比数列中，，，
则，变形可得，进而可得或，
又由各项均为正数，则，
则；
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．
7．（5分）等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，，则使数列的前项和最大的正整数的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】关于的不等式的解集为，，可得：0，9分别是一元二次方程的两个实数根，且．可得，．于是，即可判断出结论．
【解答】解：关于的不等式的解集为，，
，9分别是一元二次方程的两个实数根，且．
，可得：，
．
，
可得：，．．
使数列的前项和最大的正整数的值是5．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）设是数列的前项和，满足，且，则　　
A．10 B． C． D．11
【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出，最后求出数列的通项公式，进一步确定结果．
【解答】解：当时，满足，整理得，由于，所以．
根据，整理得，
故，
故数列是以1为首项，1为公差的等差设数列．
所以，
故，所以．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等差数列的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.
9．（5分）关于的不等式的解集为，，，则下列正确的是　　
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．关于的不等式的解集为，，
【分析】先由已知可得且，，然后代入各个选项验证是否正确即可．
【解答】解：由已知可得且，3是方程的两根，正确，
则由根与系数的关系可得：，解得，，
则不等式可化为：，即，所以，错误，
，正确，
不等式可化为：，即，
解得或，正确，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，涉及到不等式的性质问题，属于基础题．
10．（5分）当时，下列函数的最小值为4的有　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断、、、的结论
【解答】解：对于，当且仅当时，最小值为4，由于，故不成立，故错误；
对于，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于：由于函数在，为增函数，且，在，为增函数，
所以，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，均值不等式的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11．（5分）设首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是　　
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
【分析】由题设逐个选项判断其正误，即可选出正确选项．
【解答】解：，，又，
数列是首项、公比均为2的等比数列，故选项正确；
又，，数列的前项和为，故选项正确；
又由可得：，当时，，又当时，，
，故选项错误；
，，数列不是等比数列，故选项错误，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前项和公式的应用，属于中档题．
12．（5分）已知为等比数列，下列结论正确的是　　
A．若，则 B．
C．若，则 D．若，则
【分析】对于，利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；
对于，利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；
对于，若，即可判断得解；
对于，由题意可得，解得，可得，即可得解成立，从而判断得解．
【解答】解：对于，若，则，故正确；
对于，，故正确；
对于，若，则，但，，不成立，故错误，
对于，若，则，，
，即成立，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、不等式的性质等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本知识，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一格3分，第二格2分.
13．（5分）命题“，”的否定为　，　．
【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．
【解答】解：特称命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定为：，，
故答案为：，．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．
14．（5分）已知实数，满足且，则的最小值是　　．
【分析】由，化为，根据求出的取值范围，把化为只含有的式子，
根据的取值范围求出的最小值．
【解答】解：由，可得，
，
，
解不等式可得，，
则，
，
当且仅当即时上式取等号，
的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意拼凑法的运用技巧，属于中档题．
15．（5分）已知数列满足：，设的前项和为，则当时，数列的通项公式为　　；当时，　　．
【分析】直接利用数列的递推关系式和数列的求和公式，得到结果．
【解答】解：数列满足：，
当时，，整理得，
转换为（常数），
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以（首项符合通项），故．
当时，，所以，
所以．
故答案为：；．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，考查转化思想，属于基础题．
16．（5分）数列满足，若对任意，所有的正整数都有成立，则实数的取值范围是　　．
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案．
【解答】解：由，可得：，，
两式相减得：，即，，
又当时，有也适合上式，，
，
当时，，此时数列单调递增；当时，；当时，，此时数列单调递减，
，
对任意，所有的正整数都有成立，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
也即对任意恒成立，
，，当且仅当时取“ “，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法、数列的单调性在求数列的项的最值中的应用及基本不等式在处理不等式恒成立问题中的应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知关于的不等式的解集为空集，函数在，上的值域为．
（1）求实数的取值集合及函数的值域；
（2）对（1）中的集合，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）通过讨论的范围，求出集合，根据函数的单调性求出即可；
（2）求出是的真子集，得到关于的不等式，求出的范围即可．
【解答】解：（1）时，的解集不是空集，
时，若不等式的解集为空集，
则△，则或，故，
时，关于的不等式的解集不是空集，
综上：，故，；
令，则，
则，
当且仅当即时，，
故，；
（2）是的必要不充分条件，
是的真子集，
，解得：．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件以及函数，不等式问题，是一道中档题．
18．（10分）已知正项等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求．
【分析】（Ⅰ）先利用等差数列的性质以及求出；再代入，，成等比数列求出公差即可求的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，直接利用数列求和的错位相减法即可求．
【解答】解：（Ⅰ），即，
，所以．（1分）
又，，成等比数列，
，即，（3分）
解得，或（舍去），
，故．（6分）
（Ⅱ），
，①
①得．②
①②得，（10分）
．（12分）
【点评】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
19．（12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产万件时，该产品需另投入流动成本万元．在年产量不足8万件时，，在年产量不小于8万件时，．每件产品的售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．设年利润为（单位：万元）．
（1）若年利润（单位：万元）不小于6万元，求年产量（单位：万件）的范围；
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由题意可知，分段求出的解析式，令，即可求出的取值范围．
（2）由（1）可知当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当，时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者的大小，较大者即为的最大值．
【解答】解：（1），
①当时，，
令得：，
解得：，
又，
，
②当，时，，
令得：，
解得：，
又，，
，
综上所述，年产量的范围为：，．
（2）由（1）可知当时，，
时，，
当，时，，当且仅当时，等号成立，
时，，
，
当时，取得最大值，最大值为15，
故当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，且最大利润是15万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
20．（12分）设函数．
（1）若在，恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【分析】（1）将不等式化简归零，然后构造函数，研究函数的单调性，令该函数的最小值大于零即可；
（2）求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解．
【解答】解：（1）由得：
在，恒成立．
令，则的最小值大于0，
，，则，
时，，则，所以．
，，则，时，，即△，所以，
即，所以．
综上，．
（2），，则，所以．
，，则，方程的根或．
，即时，，或；
，即时，，或；
③时，即时，．
，，则，，所以．
综上，时，解集为；时，解集为；时，解集为；解集为；时，解集为．
【点评】本题考查不等式的解法以及函数、方程与不等式之间的关系，以及分类讨论思想在解题中的应用．属于中档题．
21．（12分）设数列的前项和为，满足．且，．
（1）求证：数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和，若对任意都有，求实数的取值范围．
【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用和等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的范围．
【解答】解：（1）证明：分别令，2代入条件，
得，
由于且，，
所以．
所以①，
当时，②，
①②得：，
所以，
由于，
所以（常数），
所以数列为等比数列且首项为1，公比为．
所以．
（2）由，
则：，
所以．
由于单调递增，
所以：，，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
22．（14分）设各项均为正数的数列的前项和为，已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值使数列为等差数列；
（3）数列满足，为数列的前项和，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；
（2）利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；
（3）利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果．
【解答】解：（1）数列满足，
两边同除以，
整理得：，
所以，
，

利用叠加法：，
整理得．
（2）由于，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以．
假设，，，成等差数列，
故解得．
当时，，，
所以，
所以时，数列为等差数列；
（3）数列满足，
所以．
若存在正整数，，使得？
则，整理得，
由于，
所以，整理得，
所以，，
故存在整数，，满足题意．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:21:32；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394