2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）若命题，为真命题，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

4．（5分）已知双曲线，则其焦点坐标是　　

A．， B． C． D．

5．（5分）已知焦点在轴上，长、短半轴之和为10，焦距为，则椭圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）椭圆与的关系为　　

A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

7．（5分）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则　　

A．2 B．3 C．6 D．9

8．（5分）若双曲线上的一点到它的右焦点的距离为8，则点到它的左准线的距离是　　

A．4 B．6 C．2或6 D．6

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则　　

A．实轴长为4 

B．渐近线方程为 

C．离心率为2 

D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3

10．（5分）下列命题中正确的是　　

A．当时， B．当时， 

C．当时， D．当时，

11．（5分）不等式“”的一个必要不充分条件是　　

A．或 B．或 C．或 D．或

12．（5分）下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）抛物线的准线方程是，则其标准方程是　　．

14．（5分）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则　　．

15．（5分）函数的最小值为　　．

16．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线、的倾斜角分别为、满足，则直线的斜率为　　．

四、解答题（共6大题，计70分）

17．（10分）若方程有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．

18．（12分）设正数，满足下列条件，分别求的最小值．

（1）；

（2）．

19．（12分）已知，．

（1）求对应不等式的解集；

（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围．

20．（12分）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．

（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；

（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．

21．（12分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．

（1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；

（2）若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到

22．（12分）设，分别为椭圆的左、右两个焦点．

（1）若椭圆上的点到，两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；

（2）若直线与椭圆有两个不同的交点，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定为：，．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

2．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由“” “”，反之不成立，即可判断出关系．

【解答】解：由“” “”，反之不成立，

“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）若命题，为真命题，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

【分析】因为命题，为真命题，所以转化成△．

【解答】解：因为命题，为真命题，

所以△，即，即．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数在上恒成立，属于简单题．

4．（5分）已知双曲线，则其焦点坐标是　　

A．， B． C． D．

【分析】直接利用双曲线的标准方程求解，即可得到选项．

【解答】解：双曲线，可得，

双曲线的焦点坐标为：，

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

5．（5分）已知焦点在轴上，长、短半轴之和为10，焦距为，则椭圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设椭圆方程为，由题意可得，，，解方程可得，，即可得到椭圆方程．

【解答】解：设椭圆方程为，

由题意可得，，

，

解方程可得，．

即有椭圆方程为．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，解方程的思想，考查运算能力，属于基础题．

6．（5分）椭圆与的关系为　　

A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

【分析】分别求出椭圆与的长轴、短轴、焦距、焦点和离心率，由此能求出结果．

【解答】解：椭圆中，，，，

长轴是10，短轴是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．

中，

，，，

长轴是，短轴是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．

椭圆与关系为有相等的焦距．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

7．（5分）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则　　

A．2 B．3 C．6 D．9

【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．

【解答】解：为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，

因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，

故有：；

故选：．

【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．

8．（5分）若双曲线上的一点到它的右焦点的距离为8，则点到它的左准线的距离是　　

A．4 B．6 C．2或6 D．6

【分析】根据双曲线的方程，算出双曲线的焦点坐标为．如果为双曲线右支上一点且，由双曲线的定义算出．最后算出双曲线的离心率，结合圆锥曲线的统一定义即可算出点到双曲线左准线的距离．同理求解在双曲线的左支时的结果即可．

【解答】解：双曲线的方程为，，，得，

由此可得双曲线的左焦点坐标为，右焦点坐标为

如果为双曲线右支上一点，到右焦点的距离为，

根据双曲线的定义，可得到左焦点的距离．

又双曲线的离心率，

根据圆锥曲线的统一定义，得为到左准线的距离）

因此，到左准线的距离．

如果为双曲线左支上一点，到右焦点的距离为，

根据双曲线的定义，可得到左焦点的距离．

又双曲线的离心率，

根据圆锥曲线的统一定义，得为到左准线的距离），

因此，到左准线的距离．

故选：．

【点评】本题给出双曲线上一点到右焦点的距离，求该点到左准线的距离．着重考查了双曲线的定义与标准方程、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则　　

A．实轴长为4 

B．渐近线方程为 

C．离心率为2 

D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3

【分析】利用双曲线的标准方程求解实轴长，渐近线方程，离心率，一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离，即可推出结果．

【解答】解：双曲线，，，，

可得实轴长为4；渐近线方程为：；

离心率为：2；准线方程为：，

一条渐近线与准线的交点，到另一条渐近线的距离：．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

10．（5分）下列命题中正确的是　　

A．当时， B．当时， 

C．当时， D．当时，

【分析】利用基本不等式逐个选项检验正误，即可得到正确选项．

【解答】解：当时，，选项错误；

又当时，，，当且仅当时取“ “，，即，故选项正确；

，当且仅当时取“ “，又，，故选项错误；

又，当且仅当时取“ “，故选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查应用基本不等式时等号成立的条件，属于中档题．

11．（5分）不等式“”的一个必要不充分条件是　　

A．或 B．或 C．或 D．或

【分析】先求出不等式的解集，再根据的范围进行判断即可．

【解答】解：解不等式得或，

对于：由或不能推出或，反之成立，

则或是不等式“”的一个必要不充分条件；

对于：由或不能推出或，反之成立，

则或是不等式“”的一个必要不充分条件；

对于或是不等式“”充要条件；

对于：由或不能推出或，反之也不成立，故不符合；

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件和一元二次不等式的解法，是一道基础题．

12．（5分）下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为　　

A． B． C． D．

【分析】分别求解双曲线的渐近线方程，即可得到选项．

【解答】解：的渐近线方程为：；

的渐近线方程为：；

的渐近线方程为：；

的渐近线方程为：；

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）抛物线的准线方程是，则其标准方程是　　．

【分析】利用抛物线的准线方程求出，然后写出标准方程即可．

【解答】解：抛物线的准线方程是，

可得：，解得，

所以，

故答案为：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基础题．

14．（5分）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则　　．

【分析】依题意，，由即可求得．

【解答】解：焦点在轴上的椭圆的离心率为，

，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用离心率得到关于的关系式是关键，属于基础题．

15．（5分）函数的最小值为　8　．

【分析】由，可得，将化为，函数变形为，运用基本不等式可得最小值及相应的值．

【解答】解：由，可得，

即有

，

当且仅当，即为，函数取得最小值8．

故答案为：8．

【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．

16．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的一点，直线、的倾斜角分别为、满足，则直线的斜率为　　．

【分析】由椭圆的离心率，求得，椭圆方程为：，整理得：，则，，，由，，是方程的两个根，，则，即可求得直线的斜率．

【解答】解：由题意可知：，，，

椭圆的离心率，

整理得：，

椭圆方程为：，

，则，

直线、的倾斜角分别为、，

，，

，

直线、的倾斜角分别为、满足，

，是方程的两个根，

解得：，

直线的斜率，

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．

四、解答题（共6大题，计70分）

17．（10分）若方程有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．

【分析】构造二次函数，（3），解得即可．

【解答】解：方程对应的二次函数，

方程有两根其中一根大于3一根小于3，

（3），解得，

方程有两根其中一根大于3一根小于3的充要条件是．

【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属基础题．．

18．（12分）设正数，满足下列条件，分别求的最小值．

（1）；

（2）．

【分析】利用题设条件和基本不等式求得结果即可．

【解答】解：（1），，，

，当且仅当时取“ “，

；

（2），，，

，当且仅当时取“ “，

．

【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于基础题．

19．（12分）已知，．

（1）求对应不等式的解集；

（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围．

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求对应不等式的解集；

（2）根据是的充分不必要条件的定义，即可求的取值范围．

【解答】解：（1），

，

即．

即对应不等式的解集；

（2）由，

得，

记集合，

若是的充分不必要条件，

则，

即，

，

即．

的取值范围．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式以及绝对值不等式的解法是解决本题的关键．

20．（12分）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．

（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；

（2）若双曲线上的点满足，求△的面积．

【分析】（1）设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得，结合，，的关系，可得，，即可得到所求双曲线的方程；

（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．

【解答】解：（1）设双曲线的方程为，

由，，且该双曲线过点，可得

，

，又，，

双曲线的标准方程为；

，，，

所以双曲线的离心率为：．

渐近线方程：．

（2）由，，

得，

△的面积：．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力，属于中档题．

21．（12分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．

（1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；

（2）若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到

【分析】（1）依题意，选择合适的抛物线解析式把有关数据转化为相应点的坐标，即可求得抛物线的方程；

（2）设车辆高，则得出利用（1）的方程，将点的坐标代入方程，即可求出车辆通过隧道的限制高度．

【解答】解：如图所示

（1）依题意，设该抛物线的方程为

因为点在抛物线上，

所以该抛物线的方程为

（2）设车辆高，则

故

代入方程，

解得

答：车辆通过隧道的限制高度为4.0米．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要通过题意画出图形，再根据所给的知识点求出答案是本题的关键．

22．（12分）设，分别为椭圆的左、右两个焦点．

（1）若椭圆上的点到，两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；

（2）若直线与椭圆有两个不同的交点，求的取值范围．

【分析】（1）由椭圆上的点到，两点的距离之和等于4，得，且，求得，再由隐含条件求得，则椭圆方程与焦点坐标可求；

（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，再由判别式大于0求得的取值范围．

【解答】解：（1）由椭圆上的点到，两点的距离之和等于4，

得，，

解得，，．

椭圆的方程为：，焦点坐标为；

（2）联立，得．

直线与椭圆有两个不同的交点，

△，

即，解得．

的取值范围是，．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．

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日期：2021/2/24 20:24:56；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394