2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在棱长为1的正方体中，，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
2．（5分）三位同学各自写了一张明信片并分别署上自己的名字，将这三张明信片随机分给这三位同学，每人一张．则“恰有一位同学拿到自己著名的明信片”的概率为　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知的展开式中含的项的系数为，则实数　　
A． B．2 C． D．
4．（5分）某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取100名学生，其中参加“数学类”的有80名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有60名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有10名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是　　
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．（5分）3位教师和3位学生排成一排合影留念，师生相间的排法种数为　　
A．12 B．36 C．72 D．144
6．（5分）分析连续11次实验的甲、乙两项指数，下面是这两项指数的折线图，则　　
A．这11次实验中甲指数和乙指数均逐次增加
B．这11次实验中甲指数的极差大于乙指数的极差
C．第3次至第11次实验中甲指数和乙指数均超过80
D．第9次至第11次实验中甲指数的增量小于乙指数的增量
7．（5分）展开式中项的系数为　　
A． B．44 C． D．11
8．（5分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“1阶比增函数“，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）小明用一枚质地均匀的硬币进行抛硬币实验，则下列说法正确的有　　
A．小明抛掷硬币1次，则该硬币正面向上的概率为
B．小明连续抛掷硬币2000次，则恰有100次正面向上的概率为
C．小明连续抛掷硬币2000次，则正面向上的次数恰好为1000次
D．随着抛掷次数的增加，硬币正面向上的次数与抛掷次数的比值在附近摆动，并趋于稳定
10．（5分）数据的5组测量值为，，2，3，4，，已知，，，．若对的线性回归方程记作，则　　
附：线性回归方程中，，，其中为样本平均值．
A． B．
C．与正相关 D．时，的估计值为9
11．（5分）已知函数为自然对数的底数），若，则　　
A．
B．
C．当时，
D．当时，
12．（5分）在正三棱锥中，设，，则　　
A．的取值范围为
B．当时，正三棱锥的高为
C．变大时，正三棱锥的体积一定变大
D．变大时，正三棱锥的表面积一定变大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 　　．
14．（5分）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”， 底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为 　　．
15．（5分）已知苏锡常镇四市联考中某校学生数学成绩服从正态分布，且，则从该校学生中任选一名学生，该生的数学成绩超过70分的概率为 　　．
16．（5分）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）为鉴定某疫苗的效力，将400只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫苗，然后对这400只实验鼠注射病原菌，其结果列于如表：

发病
没发病
合计
接种

200

没接种
40


合计
80

400
（1）求，的值，并判断是否有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关？
（2）若将（1）中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取3只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变量，求的期望．
参考数据：独立性检验界值表：

0.15
0.10
0.05
0.0025
0.01

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，（注保留三位小数）．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．

19．（12分）某游客计划到常州的恐龙园、东方盐湖城、天目湖、春秋乐园这四个景点游览，若该游客游览恐龙园的概率为，游览东方盐湖城、天目湖和春秋乐园的概率都是，且该游客是否游览某个景点相互独立．记该游客游览的景点个数为随机变量．
（1）求该游客至多游览一个景点的概率；
（2）求随机变量的分布列与期望．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．是自然对数的底数）．
21．（12分）如图，在梯形中，，在线段上，且．沿将折起，使点到达点的位置，满足．

（1）证明：平面；
（2）若在梯形中，，折起后在平面上的射影恰好是与的交点，求直线
与平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在棱长为1的正方体中，，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，0，，
，，0，，
直线与所成角的余弦值为：
．
故选：．

【点评】本题考查空间线线角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
2．（5分）三位同学各自写了一张明信片并分别署上自己的名字，将这三张明信片随机分给这三位同学，每人一张．则“恰有一位同学拿到自己著名的明信片”的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数，恰有一位同学拿到自己著名的明信片包含的基本事件个数，由此能求出“恰有一位同学拿到自己著名的明信片”的概率．
【解答】解：三位同学各自写了一张明信片并分别署上自己的名字，
将这三张明信片随机分给这三位同学，每人一张．
基本事件总数，
恰有一位同学拿到自己著名的明信片包含的基本事件个数，
则“恰有一位同学拿到自己著名的明信片”的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知的展开式中含的项的系数为，则实数　　
A． B．2 C． D．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，可得含的项的系数，再根据含的项的系数为，求得的值．
【解答】解：展开式的通项公式为，
令，，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
4．（5分）某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取100名学生，其中参加“数学类”的有80名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有60名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有10名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是　　
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【分析】先求出只参加“数学类”的学生人数，再求得所有参加“理化类”研究性学习的学生人数，可得结论．
【解答】解：由题意，只参加“数学类”的学生人数为，
只参加“理化类”的学生人数为，
故所有参加“理化类”的学生人数为，
则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是，
故选：．
【点评】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
5．（5分）3位教师和3位学生排成一排合影留念，师生相间的排法种数为　　
A．12 B．36 C．72 D．144
【分析】根据题意，先排三位教师，排好后，有4个空位，选择其中连续的3个空位，安排3位学生，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，3位教师全排列，有种排法，
排好后，有4个空位，选择其中连续的3个空位，安排3位学生，有种排法，
则种排法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（5分）分析连续11次实验的甲、乙两项指数，下面是这两项指数的折线图，则　　
A．这11次实验中甲指数和乙指数均逐次增加
B．这11次实验中甲指数的极差大于乙指数的极差
C．第3次至第11次实验中甲指数和乙指数均超过80
D．第9次至第11次实验中甲指数的增量小于乙指数的增量
【分析】甲、乙指数的图象有下降的区间，故错误；结合图象，甲的极差约为4，乙的极差大于4，故错误；由折线图中各次试验数据的对应点的位置，可判断、选项．
【解答】解：选项，甲指数在第8次到第9次在减少，乙指数在第1次到第2次在减少，故错误．
选项，甲指数的最大值为第11次，最小值为第1次；乙指数的最大值为第10次，最小值为第2次；
结合图象，可知甲的极差小于乙的极差，故错误．
选项，结合图象，可知第3次至第11次实验中甲指数和乙指数都在80的上方，故正确．
选项，第9次至第11次实验中甲指数的增量大于乙指数的增量，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了频率分布折线图的性质，极差的定义，属于基础题．
7．（5分）展开式中项的系数为　　
A． B．44 C． D．11
【分析】由题意利用分类计数原理及组合数公式可求得展开式中项的系数．
【解答】解：展开式中项的系数为，
故选：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查分类计算原理与组合数公式的应用，考查运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“1阶比增函数“，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】设，条件转化为函数在上恒成立，利用参变量分类求的取值范围．
【解答】解：由条件有函数在上为增函数，
所以在上恒成立，整理得在上恒成立．
当时，函数有最小值，所以．
故选：．
【点评】本题考查单调性与导数的关系，考查不等式的恒成立问题，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（5分）小明用一枚质地均匀的硬币进行抛硬币实验，则下列说法正确的有　　
A．小明抛掷硬币1次，则该硬币正面向上的概率为
B．小明连续抛掷硬币2000次，则恰有100次正面向上的概率为
C．小明连续抛掷硬币2000次，则正面向上的次数恰好为1000次
D．随着抛掷次数的增加，硬币正面向上的次数与抛掷次数的比值在附近摆动，并趋于稳定
【分析】根据题意，由概率的定义和性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，小明抛掷硬币1次，结果有两种，正面和反面向上，其可能性是相等的，则该硬币正面向上的概率为，正确；
对于，小明连续抛掷硬币2000次，则恰有100次正面向上的概率为，错误；
对于，小明连续抛掷硬币2000次，则正面向上的次数在1000次左右，错误；
对于，由概率的定义，正确；
故选：．
【点评】本题考查概率的定义和性质，注意概率的定义，属于基础题．
10．（5分）数据的5组测量值为，，2，3，4，，已知，，，．若对的线性回归方程记作，则　　
附：线性回归方程中，，，其中为样本平均值．
A． B．
C．与正相关 D．时，的估计值为9
【分析】利用已知数值及公式先计算，再利用，可得线性回归方程，即可判断，选项，由，
可得变量与之间正相关，将代入线性回归方程中，可得，即可判断选项．
【解答】解：，，
，，
又，，
，故选项正确，
，故选项正确，
，
变量与之间正相关，故选项正确，
，
当时，，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点，属于基础题．
11．（5分）已知函数为自然对数的底数），若，则　　
A．
B．
C．当时，
D．当时，
【分析】利用导数判断出的单调性，进而得到，的大小关系，利用不等式的性质判断，，选项．
构造函数，，利用在区间的值域判断的单调性，判断选项．
【解答】解：选项，，所以在上单调递减，上单调递增．故选项错误．
选项，设，则，设，，
所以当时，，单调递增，，故当时，，．
所以，当时，单调递减；当时，．故选项错误．
选项，若，则，又，所以，故选项正确．
选项，若，则，即，又，所以，
整理得，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于综合题．
12．（5分）在正三棱锥中，设，，则　　
A．的取值范围为
B．当时，正三棱锥的高为
C．变大时，正三棱锥的体积一定变大
D．变大时，正三棱锥的表面积一定变大
【分析】由题意画出图形，由点的位置变化分析；利用等体积法求正三棱锥的高判断；分析可得当时三棱锥体积最大判断；写出表面积，利用三角函数的单调性判断．
【解答】解：如图，
三棱锥为正三棱锥，，
则，且当无限接近平面时，无限靠近，则的取值范围是，
故正确；
当时，，，
设到平面的距离为，则，解得，故正确；
当时，，
当时，三角形的面积变小，到平面的面积变小，则正三棱锥的体积变小，故错误；
正三棱锥的表面积
．
，，则在上为增函数，故正确．
故选：．

【点评】本题考查棱锥体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 　　．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】解：甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，
甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14．（5分）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”， 底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为 　　．
【分析】将四棱锥补全为长方体，利用长方体的外接球半径公式求解．
【解答】解：如图，将该四棱锥补全为一个长为4，宽为3、高为5的长方体，该长方体的外接球即为四棱锥的外接球．
设球的半径为，则，所以表面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查空间几何体的外接球问题，利用补形法求解，属于基础题．
15．（5分）已知苏锡常镇四市联考中某校学生数学成绩服从正态分布，且，则从该校学生中任选一名学生，该生的数学成绩超过70分的概率为 　0.95　．
【分析】利用正态分布曲线的对称性得到，即可求解．
【解答】解：学生成绩服从正态分布，，
，，
．
故答案为：0.95．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
16．（5分）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为 　　．
【分析】，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等条件求出．
【解答】解：，
则可以看成点到点的距离的平方，
其中点在函数上，点在直线上，

，令，解得，（1），设，
所以函数在点处的切点与直线平行，
所以点到直线的距离即点到点的距离的最小值，
点到直线直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，，
当且仅当，时，，
结合题意可知．
所以的所有可能取值构成的集合为．
故答案为：．

【点评】本题考查代数变形，考查导数的几何意义，考查切线的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）为鉴定某疫苗的效力，将400只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫苗，然后对这400只实验鼠注射病原菌，其结果列于如表：

发病
没发病
合计
接种

200

没接种
40


合计
80

400
（1）求，的值，并判断是否有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关？
（2）若将（1）中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取3只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变量，求的期望．
参考数据：独立性检验界值表：

0.15
0.10
0.05
0.0025
0.01

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，（注保留三位小数）．
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）由（1）的列联表可知，接种疫苗且发病的实验鼠的只数占样本总数的频率为，从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为0.1，服从二项分布，结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1），，列联表如下：

发病
没发病
合计
接种
40
200
240
没接种
40
120
160
合计
80
320
400
，
有的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关．
（2）由（1）的列联表可知，接种疫苗且发病的实验鼠的只数占样本总数的频率为，
从而在抽取的实验鼠中接种疫苗且发病的概率为0.1，
，
随机变量的期望为．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了二项分布的期望公式，属于基础题．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．

【分析】（1）取中点，连接、．由三角形中位线定理可得，．再由已知得到，，可得，，则四边形为平行四边形，得到．由直线与平面平行的判定可得平面；
（2）由底面为矩形，得．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面．得到．进一步得到平面．从而可得平面平面．
【解答】证明：（1）取中点，连接、．
在中，，分别为，的中点，，．
底面为矩形，且为的中点，
，，
，，则四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面；
（2）底面为矩形，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
又，平面，平面，，平面．
平面，平面平面．
【点评】本题考查空间中直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
19．（12分）某游客计划到常州的恐龙园、东方盐湖城、天目湖、春秋乐园这四个景点游览，若该游客游览恐龙园的概率为，游览东方盐湖城、天目湖和春秋乐园的概率都是，且该游客是否游览某个景点相互独立．记该游客游览的景点个数为随机变量．
（1）求该游客至多游览一个景点的概率；
（2）求随机变量的分布列与期望．
【分析】（1）根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解．
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）记“该游客游览恐龙园”为事件，“该游客游览东方盐湖城”为事件，“该游客游览天目湖”为事件，“该游客游览春秋乐园”为事件，
记“该游客至多游览一个景点”为事件，
则，，
，
其中，，，，两两互斥，相互独立，，
故该游客至多游览一个景点的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4






．
【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．是自然对数的底数）．
【分析】（1）求出时的，求出，由的正负确定函数的增减性，即可得到答案；
（2）构造函数，则不等式恒成立转化为求解的最小值，利用导数求解的单调性，求出的最小值，即可得到答案．
【解答】解：（1）函数，
当时，，
则，
令，解得，令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为对恒成立，
由（1），解得，所以，
又对恒成立，
等价于对恒成立，
令，
则不等式等价于，
又，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，的最小值为，
故，因为，则，
所以，
解得，
故实数的取值范围为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性的应用，不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
21．（12分）如图，在梯形中，，在线段上，且．沿将折起，使点到达点的位置，满足．

（1）证明：平面；
（2）若在梯形中，，折起后在平面上的射影恰好是与的交点，求直线
与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）由菱形的性质知，而，根据线面垂直的判定定理，得证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，结合余弦定理、勾股定理求出，，的长，求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，得解．
【解答】（1）证明：因为，，
所以四边形为菱形，
所以，
又，，平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为平面，平面，平面，
所以，，
又，
故以为原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，
在菱形中，，，
由余弦定理知，，
所以，，
设，则，，
在菱形中，因为，所以，
在中，由余弦定理得，，
即，
解得，
所以，，，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，二面角的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理、性质定理，以及利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．
【分析】（1），由导数的几何意义可得，即可得出曲线在，处的切线方程．
（2）令，得，列表分析随着的变化，，的变化情况，得出，不妨设，令，令，求导分析单调性，可得对任意，，则，进而可得．
【解答】解：（1），，，
所以曲线在，处的切线方程为．
（2）证明：令，得，
列表



，


0





因为有两个不等的实数根，，
所以，
不妨设，
令，
令，
，



0

1



0





极小值

（1）
所以对任意，，
所以，即，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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日期：2021/12/1 14:15:35；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394