2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．，
2．（5分）某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为　　
A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15
3．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是　　
A． B． C． D．
5．（5分）某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为　　
A．75 B．100 C．150 D．200
6．（5分）设，为正数，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数，若成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)
9．（5分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有　　
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
10．（5分）下列结论正确的是　　
A．若复数满足，则为纯虚数
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数，满足，则
11．（5分）下列等式正确的有　　
A．
B．
C．
D．
12．（5分）下列选项中，正确的是　　
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象恒过定点
C．，且为自然对数的底数，则
D．若不等式的解集为，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）若复数，则　　．
14．（5分）某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量（万件）
2
3
4
单位成本（元件）
3

7
现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则预测当时单位成本为每件 　　元．
15．（5分）某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大型庆典活动．为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”，“采访”，“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加．已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是　　．
16．（5分）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为 　　．
四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分)
17．（10分）设．
（1）求的值；
（2）求除以9的余数．
18．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线上在点，（1）处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．若f（x）_____，求实数的取值范围．
①在区间上是单调减函数；
②在上存在减区间；
③在区间上存在极小值．
19．（12分）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，，都，，使成立，求实数的取值范围．
20．（12分）为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用．为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：

无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25

接种疫苗


75
总计
150

200
（1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：，．

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划” ，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围．
22．（12分）函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对于，总有，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京市建邺高级中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．，
【分析】求解集合，集合，结合集合的交集、补集的定义求得答案．
【解答】解：集合，，
或，
，
故选：．
【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，集合交、并、补的运算，属于基础题．
2．（5分）某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为　　
A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解即可．
【解答】解：设生产线每周需要维护为事件，生产线每周需要维护为事件，
则（C），（D），
至多有一套生产线需要维护的概率为：
．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，属于基础题．
3．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“，，”为真命题，可化为，，，恒成立
即只需，即“，，”为真命题的充要条件为，
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意．
故选：．
【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．
4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是　　
A． B． C． D．
【分析】逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【解答】解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
不是偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
故选：．
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键．
5．（5分）某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为　　
A．75 B．100 C．150 D．200
【分析】由已知求出，进一步求出，则答案可求．
【解答】解：，
，
，
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
故选：．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）设，为正数，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】由，结合，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：，为正数，当时，
，
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以，
所以最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
7．（5分）已知函数，若成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】由条件可证明函数是上的奇函数，且是上的增函数，从而利用单调性解不等式．
【解答】解：函数的定义域为，且，
故函数是上的奇函数，
可化为，
又，函数是上的增函数，
，解得，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断，同时考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题．
8．（5分）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】通过分离变量，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，画出草图，然后判断实数的取值范围．
【解答】解：当，，
当，，
令，，
函数是增函数，函数是减函数，函数是增函数，
可知时，函数取得极小值，作出的图象如下：

函数有三个不同的零点，
“3个零点等价于3个交点”等价于要使直线与曲线有三个交点，则，
故选：．
【点评】本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数的判断，是综合题，难题．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)
9．（5分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有　　
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种选法，女生的选法有种选法，
则4人中男生女生各有2人选法有种选法，错误；
对于，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有种选法，正确；
对于，在10人中任选4人，有种选法，甲乙都不在其中的选法有，
故种男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内选法有种，正确；
对于，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有种，错误；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）下列结论正确的是　　
A．若复数满足，则为纯虚数
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数，满足，则
【分析】对于、选项通过举反例排除，设，通过化简运算可判断、正确．
【解答】解：若，则，故错，
设，则，
故，即，故，故对，
因，故且，
故，故，故对，
若，，则满足，故错，
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算及判断，同时考查了通过举反例判断命题的真假性，属于基础题．
11．（5分）下列等式正确的有　　
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意利用排列数、组合数的计算公式和性质，得出结论．
【解答】解：
，故正确；
，，故错误；
，故正确；
，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查排列数、组合数的计算公式和性质，属于中档题．
12．（5分）下列选项中，正确的是　　
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象恒过定点
C．，且为自然对数的底数，则
D．若不等式的解集为，则
【分析】直接利用命题的否定，指数型函数的性质，函数的导数和函数的单调性的关系，一元二次方程根和系数关系式的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：命题“，”的否定是“，”故正确；
对于：函数且的图象，当时，，所以（1），故恒过定点，故错误；
对于，且为自然对数的底数，设，所以，
当时，，当时，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以（b）（a），整理得，故，故正确；
对于：不等式的解集为，所以和3是的两根，所以，所以，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，指数型函数的性质，函数的导数和函数的单调性的关系，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（5分）若复数，则　　．
【分析】化简，从而求模．
【解答】解：，
，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的化简与运算，同时考查了复数的模，属于基础题．
14．（5分）某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量（万件）
2
3
4
单位成本（元件）
3

7
现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则预测当时单位成本为每件 　9　元．
【分析】先求出样本中心，利用回归方程经过样本中心，求出的值，得到回归方程，然后将代入求解即可．
【解答】解：由题意可得，，，
又关于的线性回归方程为，
则由，解得，
则，
当时，元件．
故答案为：9．
【点评】本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
15．（5分）某地为了庆祝建党100周年，将在7月1日举行大型庆典活动．为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等4名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”，“采访”，“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加．已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是　14　．
【分析】先分两类，每类再利用排列组合解决即可．
【解答】解：①若剪辑一人参加，则，
②若剪辑两人参加，则，
则不同安排方案的种数是，
故答案为：14．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
16．（5分）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为 　1　．
【分析】设切点为，，结合导数的几何意义与切点在直线上建立方程可得，构造函数，求出的最大值即可得到的最大值，进而求出．
【解答】解：直线 与曲线 相切，，设切点为，，
则，所以，即，
令，，
当 时，；当 时，，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，（1），
故 的最大值为 1，此时，所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数最值，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分)
17．（10分）设．
（1）求的值；
（2）求除以9的余数．
【分析】（1）分别令，，可以得到关于展开式中奇数项系数与偶数项系数的和与差；
（2）可以判断该式子是，将该式子改写成，然后利用展开式进行判断即可．
【解答】解：（1）分别令，代入原式得，
两式相加除以2得：．
（2）
，
上式从第一项起，一直到倒数第三项，每一项都可以被9整除，
而，故除以9的余数为7．
【点评】本题考查二项式定理的内容与性质，以及整除问题的解题思路，属于中档题．
18．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线上在点，（1）处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．若f（x）_____，求实数的取值范围．
①在区间上是单调减函数；
②在上存在减区间；
③在区间上存在极小值．
【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程；
（2）选①，可得在恒成立，结合二次函数的性质可得的不等式组，求得的范围；
选②，可得在，成立，由参数分离和函数的单调性，可得的范围；
选③，可得在上有极小值点，结合二次函数的图象可得的不等式，求得的范围．
【解答】解：（1）的导数为，
可得曲线上在点处的切线的斜率为1，
则切线的方程为；
（2）选①在区间上是单调减函数．
可得在恒成立，
所以，即为，
解得；
选②在上存在减区间．
可得在，成立，
则在，成立，
由在，递增，可得的值域为，，
所以，即；
选③在区间上存在极小值．
可得在上有极小值点，
所以，解得．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，，都，，使成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由函数的解集得不等式转化为方程的两根，进而求出的值；
（2）由题意可得在区间的最小值，大于等于的在区间的最小值，转化为求的最小值问题，讨论对称轴在区间的哪侧，函数的单调性的函数最小值与的关系进而求出的范围．
【解答】解：（1）证明：由得：，整理得：，因为解集为，所以，
所以方程的根是，，，；
所以实数的值是；
（2）由题意可得，，
，，在区间，为增函数，，为减函数，（2），（4），
所以函数在区间，上的最小值是（4）；
函数开口向上，且对称轴，
①当，即，（2），解得：；
②当，即，或，
所以；
③，即，（4），解得：，所以；
综上所述，的取值范围：，．
【点评】考查函数的最值问题，属于中难度题．
20．（12分）为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用．为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：

无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
25

接种疫苗


75
总计
150

200
（1）求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关；
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：，．

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）由列联表的特点，可求得，，，的值，再根据的参考公式计算其观测值，即可作出判断；
（2）先根据分层抽样的特点求得6人中有疲乏症状和无疲乏症状的人数，再结合列举法和古典概型，即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，，，，，
所以，
故有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．
（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人，
其中有疲乏症状的有人，记为，；无疲乏症状的有人，记为，，，，
则从这6人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有，，，，，，，，共8种．
故所求概率．
【点评】本题考查列联表，独立性检验，古典概型，考查对数据的分析与处理能力，属于基础题．
21．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划” ，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围．
【分析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，利用独立重复实验的概率求解即可．
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，，求出期望，报将乙大学通过的科目数为，求出概率得到分布列，然后求解期望然后求解的范围即可．
【解答】解：（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，
则，
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，
则．
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，
根据题意可知，，则，
报将乙大学通过的科目数为，随机变量满足概率为：
，
，，
，
随机变量的分布列：

0
1
2
3





，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，，则，
所以的范围为：．
【点评】本题考查离散型随机变量以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22．（12分）函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对于，总有，求实数的取值范围．
【分析】对函数求导，得，对分与讨论，可得函数的单调性；
法一：分离参数，转化为分式函数的最值问题即可求解；
法二：令，将问题转化为求即可求解；
法三：根据切线不等式，，将关于的分式不等式进行转化即可求解．
【解答】解：由题意得．
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
解法一：由，得，
设，，
则；
设，
则，
则在上单调递增；
又（1），
所以当时，，
即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以（1），
故，
即实数的取值范围为，．
解法二：由，得，
设，
则问题转化为．
又，
易知在上单调递增，
则存在唯一的，使得，
即，
则在上单调递减，在，上单调递增，
则，
设，
则，
所以函数在上单调递减，且（1），
则（1），得，
又函数在上单调递增，
所以，
即实数的取值范围为，．
解法三：由，得
考虑切线不等式与，
则，当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当时，等号成立，
即当时取最小值，为，
所以，
即实数的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立，考查等价转化思想、分类讨论思想的运用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
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日期：2021/12/1 14:16:08；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394