2020-2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位，复数，则的虚部是　　
A． B．3 C． D．
2．（5分）已知，则其导函数为　　
A． B．
C． D．
3．（5分）在的展开式中，的系数为　　
A． B．21 C． D．15
4．（5分）一个袋子里装有相同大小的黑球8个，红球10个，白球2个，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数满足（1），则　　
A． B．1 C． D．2
6．（5分）2021年4月21日至28日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代．某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了100份有效问卷统计得到下面的列联表，则根据列联表可知　　

愿意购买
不愿意购买
合计
男
45
10
55
女
25
20
45
合计
70
30
100
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A．该抽样方式为分层抽样
B．由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强
C．没有的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关
D．有的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关
7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的排名有　　种不同情况
A．24 B．36 C．60 D．72
8．（5分）已知定义在上的函数恰有4个零点，则实数的取值范围为　　
A．，， B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设随机变量，则下列说法正确的有　　
A． B．
C．的数学期望 D．的方差
10．（5分）设为复数，则下列说法正确的有　　
A．实数集与虚数集的交集为 B．
C．若，则为纯虚数 D．若，则
11．（5分）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则下列说法正确的有　　
A．若，则
B．若，则
C．不等式的解集为
D．方程在上有解
12．（5分）已知的展开式中第项的二项式系数记为，系数记为，，1，2，，，则下列结论正确的有　　
A．当时， B．当时，
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则的值为　　．
14．（5分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系．其定理表述如下：如果函数在闭区间，上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式（b）（a）成立，其中称为函数在闭区间，上的中值点，函数在闭区间，上的中值点为 　　．
15．（5分）在复数范围内，的所有平方根为 　　，并由此写出的一个四次方根 　　．
16．（5分）随机变量的分布如表所示：


0
1
2





若，则　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中是虚数单位．
（1）求实数，的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
18．（12分）已知的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为．
（1）求正整数的值；
（2）求展开式中的常数项．
19．（12分）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：
月份
1
2
3
4
新增微商电商个数
90
105
125
140
（1）请利用所给数据求新增微商电商个数与月份之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；
（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
附：，，，，，．
20．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数在区间，的最大值和最小值；
（2）若为的一个极值，求证：．
21．（12分）基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．
（1）求和；
（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数的图象在点，处的切线方程为，求证：；
（2）若函数的最小值为2，求实数的值．

2020-2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知为虚数单位，复数，则的虚部是　　
A． B．3 C． D．
【分析】利用虚部的定义求解即可．
【解答】解：因为，则的虚部是．
故选：．
【点评】本题考查了复数基本概念的理解与应用，属于基础题．
2．（5分）已知，则其导函数为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据导数的计算公式即可得到结论．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
3．（5分）在的展开式中，的系数为　　
A． B．21 C． D．15
【分析】由题意可得，的系数等于各个因式的根之和，计算求得结果．
【解答】解：在的展开式中，
的系数为，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
4．（5分）一个袋子里装有相同大小的黑球8个，红球10个，白球2个，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：因为第1次摸到红球，
则剩下黑球8个，红球9个，白球2个，
所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
5．（5分）已知函数满足（1），则　　
A． B．1 C． D．2
【分析】先对求导数，再求（1）可解决此题．
【解答】解：（1），（1），（1），
，．
故选：．
【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
6．（5分）2021年4月21日至28日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代．某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了100份有效问卷统计得到下面的列联表，则根据列联表可知　　

愿意购买
不愿意购买
合计
男
45
10
55
女
25
20
45
合计
70
30
100
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
A．该抽样方式为分层抽样
B．由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强
C．没有的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关
D．有的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关
【分析】利用分层抽样的按比例抽取判断选项，利用比例关系判断选项，计算卡方的数值对照临界表中的数据判断选项，．
【解答】解：由题意中表格中的数据可知，男女抽取的比例不相等，所以不是分层抽样，故选项错误；
由题意中表格中的数据可知，，所以女性顾客购买新能源车的意向较弱，故选项错误；
由题意中表格中的数据可知，，
所以有的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关，故选项错误，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了统计知识的应用，主要考查了分层抽样的应用，独立性检验的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的排名有　　种不同情况
A．24 B．36 C．60 D．72
【分析】根据题意，按甲是不是最后1名分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，甲不在前2名，乙不是最后1名，
若甲是最后1名，剩下4人没有限制，有种情况，
若甲不是最后1名，甲有2种情况，乙有3种情况，剩下3人没有限制，有种情况，
则5人有种不同情况，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
8．（5分）已知定义在上的函数恰有4个零点，则实数的取值范围为　　
A．，， B． C． D．
【分析】若恰有四个零点，则有四个根，进而可得当时，方程为，此时为方程的一个根；当时，方程为，分两种情况：①当时，方程为除有一个根外还有另一个根时，当时，方程为有2个根，
②当时，方程为只有一个根时，当时，方程为有三个根，即可得出答案．
【解答】解：因为恰有四个零点，
所以有四个根，
当时，方程为，此时为方程的一个根，
当时，方程为，
分两种情况：
①当时，方程为除有一个根外还有另一个根时，当时，方程为有2个根，
设，
先考虑与相切于点，时，
，解得，
所以方程为除有一个根外还有另一个根时，，
②当时，方程为只有一个根时，当时，方程为有三个根，
设，
所以当时，；当时，，
，△，
令，得，
又，所以，
所以在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
，
作出得图像，的图象如下：

所以，
设与相切，切点为，
所以，
解得或0，
所以切点为或，
所以或5，
所以当时，方程为只有一个根，当时，方程为有三个根时，，
当时，与只有一个根0，不合题意，
综上所述，的取值范围为，，，
故选：．
【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，数形结合思想的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设随机变量，则下列说法正确的有　　
A． B．
C．的数学期望 D．的方差
【分析】根据已知条件，结合次独立重复试验的概率公式，以及期望和方差公式，即可求解．
【解答】解：随机变量，
，故选项正确，
，，即，故选项错误，
的数学期望，故选项正确，
的方差，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了次独立重复试验的概率公式，以及期望和方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
10．（5分）设为复数，则下列说法正确的有　　
A．实数集与虚数集的交集为 B．
C．若，则为纯虚数 D．若，则
【分析】利用实数与虚数的定义即可判断选项，由复数模的定义以及共轭复数的定义即可判断选项，利用共轭复数的定义以及复数的加法运算即可判断选项，由复数模的定义即可判断选项．
【解答】解：实数集与虚数集的交集为空集，故选项错误；
设，，，则，
所以，故选项正确；
设，，，则，
因为，则，解得，则，
当时，为纯虚数，
当时，为实数，故选项错误；
设，，，所以，
故①，
则，
由①可知，，解得，
则，所以，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数基本概念的理解与应用，复数模的计算公式的应用，共轭复数定义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则下列说法正确的有　　
A．若，则
B．若，则
C．不等式的解集为
D．方程在上有解
【分析】通过函数的单调性判断，选项；不等式化简整理得，利用的单调性解不等式，判断选项；
通过举例，求出的最小值，从而判断选项．
【解答】解：设函数，则，所以在上单调递增，
若，则，即，所以，故正确，错误．
选项，，不等式整理为，即，
因为单调递增，所以，，所以解集为，故正确．
选项，不妨取，设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
即函数无零点，方程无解，错误．
故选：．
【点评】本题考查单调性与导数关系，利用函数单调性比较大小，函数的零点问题，属于中档题．
12．（5分）已知的展开式中第项的二项式系数记为，系数记为，，1，2，，，则下列结论正确的有　　
A．当时， B．当时，
C． D．
【分析】对于选项：由二项式系数的性质，即可判断；
对于选项：当时，，再判断选项；
对于选项：由，求导并令，即可判断；
对于选项：由，求导并令，即可判断．
【解答】解：的展开式中，
第项的二项式系数，第项的系数，，1，2，，，
对于选项：当时，由二项式系数的性质知，与是最大项，故错误；
对于选项：当时，，
则当，即时，，都是最大值，故正确；
对于选项，，
令得，，故正确；
对于选项，，
令得，，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用及导数的运算，同时考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则的值为　4或6　．
【分析】由题意利用组合数的性质，可得结论．
【解答】解：，，或，
解得，或，
故答案为：4或6．
【点评】本题主要考查组合数公式的性质，属于基础题．
14．（5分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系．其定理表述如下：如果函数在闭区间，上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式（b）（a）成立，其中称为函数在闭区间，上的中值点，函数在闭区间，上的中值点为 　　．
【分析】根据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，求出函数的导数，由“中值点”的定义可得：，求出的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，
函数，其导数，
则有，即，
又由，则；
故答案为：．
【点评】本题考查导数的计算和应用，关键是理解“中值点”的定义，属于基础题．
15．（5分）在复数范围内，的所有平方根为 　　，并由此写出的一个四次方根 　　．
【分析】由题意利用虚数单位的运算性质，复数的开方运算，得出结论．
【解答】解：在复数范围内，，故的所有平方根为．
，故它的四次方根为，
故它的一个四次方根，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位的运算性质，属于基础题．
16．（5分）随机变量的分布如表所示：


0
1
2





若，则　　．
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，以及期望和方差公式，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，①，
，
，即②，
联立①②解得，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的性质，以及期望与方差公式，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中是虚数单位．
（1）求实数，的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入与化简，再由题意列关于，的关系式求解．
（2）由（1）求得，代入得，由实部小于0且虚部小于0解不等式组求解即可．
【解答】解：（1）由，得，
，
由题意可得，解得．
（2）由（1）得，
则，
由题意可得，，
实数的取值范围为．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，复数的几何意义，考查计算能力，是中档题．
18．（12分）已知的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为．
（1）求正整数的值；
（2）求展开式中的常数项．
【分析】（1）由第2项与第4项的二项式系数之比为，可得，由此解得的值；
（2）在二项式展开式的通项中，令的幂指数等于零，求得的值，可得常数项．
【解答】解：（1）第2项与第4项的二项式系数之比为，
，
即，
化简可得，解得．
（2）由（1）得二项式展开式的通项为，
令，则，
常数项为第3项，
即．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：
月份
1
2
3
4
新增微商电商个数
90
105
125
140
（1）请利用所给数据求新增微商电商个数与月份之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；
（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
附：，，，，，．
【分析】（1）根据已知条件，先结算出，的平均值，则可推得，将样本中心代入到线性回归方程中，可得的值，即可求得回归直线方程为，将代入到该方程中，即可求解．
（2）由已知条件，求出，，，
再结合拟合公式，即可求解．
【解答】解：（1）由表中数据可得，，，
则，，
故所求回归直线方程为，
令，则．
（2），，，
，
故线性回归方程的拟合效果非常好．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，掌握线性回归方程恒过样本中心是解题的关键，属于基础题．
20．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数在区间，的最大值和最小值；
（2）若为的一个极值，求证：．
【分析】（1）先结合导数符号与函数单调性之间的关系求出函数的单调性，进而求出极值，再比较极值和端点值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（2）为的一个极值，所以，即，进而可证．
【解答】解：（1），
令，解得或，
在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示，

0



2

3



0

0



0
单调递增

单调递减

单调递增

所以当时，取得最小值；当时，取得最大值．
（2）证明：因为是的一个极值，所以有两个解，
所以△，即，且，即，
所以．
【点评】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于中档题．
21．（12分）基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，其分布密度函数，的最大值为，且．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．
（1）求和；
（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
【分析】（1）根据已知条件，结合正态分布的性质和对称性，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
（3）的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1），
，解得，
，
．
（2）设“至少有一名学生进入面试”为事件，
，，
，
（A），
故10人中至少有一人进入面试的概率0.8223．
（3）的可能取值为0，1，2，3，4，
，

，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及离散型随机变量期望的求解，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数的图象在点，处的切线方程为，求证：；
（2）若函数的最小值为2，求实数的值．
【分析】（1）对求导，得到的图象在点，处的切线方程，然后构造函数，再证明即可；
（2）根据函数的最小值为2，可得，然后构造函数，求出的范围，再结合条件求出的值．
【解答】解：（1）证明：由，得，
函数的图象在点，处的切线方程为
，即，
，
设，则，
当时，，单调递减；
当，时，，单调递增，
所以，即．
（2）因为函数的最小值为2，所以（1），
从而有，又，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以（1），
故（1），解得．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
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日期：2021/12/1 14:12:00；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394