2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）集合，，则　　
A． B． C．， D．，1，
2．（5分）过的直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于　　
A． B． C．4 D．2
3．（5分）已知：棣莫弗公式为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）若，则　　
A．0 B．1 C．32 D．
5．（5分）根据长期生产经验，某企业正常情况下生产的医用口罩的过滤率，．若，，则满足，，．对如下命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则．
其中假命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知正方体的棱长为4，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）已知函数，则　　
A．在，上的最小值是1
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有2个公共点
10．（5分）斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：（1）（2），．下列选项正确的是　　
A．（8）（7）（9）
B．（1）（2）（6）（8）
C．（2）（4）
D．（1）（2）
11．（5分）如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为，正三棱锥底面边长与侧棱长均为，则下列说法正确的是　　

A．
B．正四棱锥的外接球半径为
C．正四棱锥的内切球半径为
D．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱
12．（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是　　
A．，
B．数列是等比数列
C．的数学期望
D．数列的通项公式为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某高中各年级男、女生人数统计如表：
年级
人数
性别
高一
高二
高三
男生
592
563
520
女生
528
517

按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中　　．
14．（5分）如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形中，．设，则的值为 　　．

15．（5分）若偶函数，，满足，且，时，，则方程在，内的根的个数为 　　．
16．（5分）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点五险一金（个人缴纳部分）累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3000元的部分

2
超过3000元至12000的部分

3
超过12000元至25000的部分

现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列的首项，，，2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数．
18．（12分）若，的部分图象如图所示，，．
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，若，，求，并证明．

19．（12分）如图1所示，在边长为12的正方形中，，且，，分别交，于点，，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱中
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在底边上是否存在一点，满足平面，若存在试确定点的位置，若不存在请说明理由．

20．（12分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：
汽车型号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
回访客户（人数）
250
100
200
700
350
满意率
0.5
0.5
0.6
0.3
0.2
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．
（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
（Ⅱ）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；
（Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示不满意．写出方差，，，，的大小关系．
21．（12分）已知直线过坐标原点且与圆相交于点，，圆过点，且与直线相切．
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）若圆心在轴正半轴上面积等于的圆与曲线有且仅有1个公共点．
求出圆标准方程；
已知斜率等于的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，求的最小值及此时直线的方程．
22．（12分）已知函数，且．
（1）求实数的值，并判断在上的单调性；
（2）对确定的，求在，上的零点个数．

2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）集合，，则　　
A． B． C．， D．，1，
【分析】求解函数的值域化简，求函数的定义域化简，再由交集运算得答案．
【解答】解：，1，2，3，，
由，得，
，
，1，2，3，，．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义域及值域的求法，考查交集及其运算，是基础题．
2．（5分）过的直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于　　
A． B． C．4 D．2
【分析】求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【解答】解：如图，而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为2，
则弦的中点到直线的距离等于．
故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
3．（5分）已知：棣莫弗公式为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案．
【解答】解：由，
得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的象限符号，是基础题．
4．（5分）若，则　　
A．0 B．1 C．32 D．
【分析】，当为奇数时，．当为偶数时，．可得，对，令，即可得出．
【解答】解：，
当为奇数时，．当为偶数时，．
．
对，
令，可得：．
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）根据长期生产经验，某企业正常情况下生产的医用口罩的过滤率，．若，，则满足，，．对如下命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则．
其中假命题是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】结合正态分布曲线的特点进行分析计算即可解决此题．
【解答】解：根据题意知，．由正态分布曲线得：，甲正确；
由正态分布曲线知：，乙正确；
，由正态分布曲线知：，丙正确；
，
，
，丁错误；
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线、数据分析能力和计算能力，属于容易题．
6．（5分）已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】由双曲线的方程可得，的坐标，由题意可得椭圆的的值，及离心率的值求出的值，进而求出椭圆的方程，设过的方程，与双曲线联立求出的坐标，由向量的关系可得为的中点，求出的坐标，将代入椭圆的方程可得直线的值．
【解答】解：由题意可得双曲线的左右顶点，，
由题意设椭圆的方程为：，
可得，，，
解得，
所以椭圆的方程为：；
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，且，
设，，
则，整理可得，
可得，代入直线的方程可得，
即，，
因为，则的坐标为，，
再由在椭圆上可得：，
整理可得，解得，
所以，
故选：．
【点评】本题考查双曲线及椭圆的性质，直线与圆锥曲线的综合，属于中档题．
7．（5分）已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】举特列，令，，经检验、、 都不成立，对于，由于，利用立方差公式和配方可得：，即可判断出．
【解答】解：举特列，令，，经检验、、 都不成立，
对于，，
，因此成立．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质、立方差公式和配方法，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
8．（5分）已知正方体的棱长为4，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】连结交于点，过点作，且交线段于点，则平面，分别求出点与点重合时与点与点重合时，点到平面的距离，即可得到答案．
【解答】解：在正方体中，点是的中点，
连结交于点，则为线段的中点，
所以为△的中位线，则，
又因为平面，则平面，
过点作，且交线段于点，则平面，
则点在平面内的轨迹是线段，
当点与点重合时，点到平面的距离取得最大值4，
当点与点重合时，点到平面的距离最小，
又因为是的四等分点，所以点到平面的距离最小值为3，
故点到面的距离的范围是，．
故选：．

【点评】本题考查了正方体的线面位置关系以及点到平面距离的取值范围问题，其中正确把握正方体的线面位置关系是解答本题的关键，考查了转化化归思想与逻辑推理能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）已知函数，则　　
A．在，上的最小值是1
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有2个公共点
【分析】去绝对值写出函数解析式，并画出图像，由图像判断各选项．
【解答】解：．
：在，，的最小值在时取得，，故正确．
，
．故错．
是图像的对称轴，故正确．
：当时，，当时，，故图像如图，共有2个交点．

故选：．
【点评】本题考查绝对值对函数的影响，及函数图像的画法．属于基础题型
10．（5分）斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：（1）（2），．下列选项正确的是　　
A．（8）（7）（9）
B．（1）（2）（6）（8）
C．（2）（4）
D．（1）（2）
【分析】由题意可写出前9个数，可以判断选项，通过代入可知错，可得答案．
【解答】解：由题意知：（1），（2），（3），（4），（5），（6），
（7），（8），（9）；
（8）（7）（9），错；
（1）（2）（6）（8），对；
令，（2）（4）（3），错；
因为本题为多选题，
故选：．
【点评】本题考查数列递推公式，考查数学运算能力，属于中档题．
11．（5分）如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为，正三棱锥底面边长与侧棱长均为，则下列说法正确的是　　

A．
B．正四棱锥的外接球半径为
C．正四棱锥的内切球半径为
D．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱
【分析】取的中点，证明平面平面，结合平行公理即可判断选项；设表面中心为，球心为，半径为，利用，可求出外接球的半径，即可判断选项；用等体积法求出内切球半径，即可判断选项；由且，可知多面体为三棱柱，即可判断选项．
【解答】解：对于，取的中点，连结，
正三棱锥中，，，又，，平面，
所以平面，因为平面，
则，又，所以，故选项正确；
对于，设底面中心为，球心为，半径为，
因为正四棱锥外接球的球心在上，所以，
因为正四棱锥底面边长与侧棱长均为，所以，
由，可得，解得，故选项正确；
对于，设内切球半径为，可求得侧面面积为，
由等体积法可得，解得，故选项错误；
对于，取的中点，连结，，，则和分别是和的二面角的平面角，
由，
，
故与互补，所以共面，
又因为，则为平行四边形，故，
故四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱，故选项正确．
故选：．

【点评】本题考查了空间几何体的理解和应用，主要考查了正四棱锥的外接球和内切球的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12．（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是　　
A．，
B．数列是等比数列
C．的数学期望
D．数列的通项公式为
【分析】利用已知条件求出，，推出；即可判断．推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即判断，；把代入，可判断．
【解答】解：（1）由题意可知：，，
则；
．故错误；
由题意可知：，
，
两式相加可得：
，
，
，
，数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，，故正确；
若数列的通项公式为，
则，故错误．
故选：．
【点评】本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某高中各年级男、女生人数统计如表：
年级
人数
性别
高一
高二
高三
男生
592
563
520
女生
528
517

按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中　480　．
【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出的值．
【解答】解：由题意可得，求得，
故答案为：480．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
14．（5分）如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形中，．设，则的值为 　　．

【分析】设，则，，所以，然后建立坐标系，设出点的坐标，在直角三角形中求出点的坐标，再利用向量的坐标运算性质即可求解．
【解答】解：设，则，，所以，
在直角三角形中，，
，
如图所示，建立直角坐标系，设，
则，，
即点的坐标为，
又，所以点，，，
所以，，
因为，
即，，
所以，解得，
所以，
故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15．（5分）若偶函数，，满足，且，时，，则方程在，内的根的个数为 　8　．
【分析】求出的周期，利用周期性和对称性作出的图象，结合图象，即可得出答案．
【解答】解：因为函数为偶函数，且满足，
所以，
所以的周期为4，
由，时，，
作出，在，的图象，

由图可知交点共有8个，
综上，两曲线有8个交点，
故答案为：8．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，周期性，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
16．（5分）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点五险一金（个人缴纳部分）累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3000元的部分

2
超过3000元至12000的部分

3
超过12000元至25000的部分

现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为　1790元　．
【分析】根据个数政策，先计算需要交费的金额，然后根据级数分别计算每个级数的个税金额即可．
【解答】解：需要交费的金额元，
第一级数交费，剩余元
第二级数交费元，剩余元，
第三级数交费，
合计元，
故答案为：1790元．
【点评】本题主要考查函数的应用问题，结合分段函数的意义，分别进行计算是解决本题的关键，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列的首项，，，2，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数．
【分析】（1），取倒数可得，变形为，即可证明．
（2）由（1）知，，再利用等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出．
【解答】（1）证明：，，可得，
又，
数列为等比数列，首项为，公比为．
（2）解：由（1）知，，，
，
由，则，所以．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）若，的部分图象如图所示，，．
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，若，，求，并证明．

【分析】（1）由，结合，可求得，由五点作图法即可求得，从而可得的解析式；
（2）由，得，利用同角三角函数的基本关系可求得，利用二倍角公式即可求得的值，由，利用正弦函数在的单调性即可证得．
【解答】解：（1）由，可得，
又因为，所以，
因为，由五点作图法可得，所以，
所以．
（2）由，得，
又，故，
所以，所以，
又，所以，
又在上单调递增，，，
所以．
【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，同角三角函数的基本关系、三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）如图1所示，在边长为12的正方形中，，且，，分别交，于点，，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱中
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在底边上是否存在一点，满足平面，若存在试确定点的位置，若不存在请说明理由．

【分析】（Ⅰ）根据，，三边满足，可知，而，，根据线面垂直的判定定理可知平面，又平面，根据线面垂直的性质可知；
（Ⅱ）在底边上取点，使得，过作交于，连接，由得，从而四边形为平行四边形，对边平行，由线面平行的判定定理得平面．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，，
所以，从而，
即．（3分）
又因为，而，
所以平面，又平面
所以 （6分）
（Ⅱ）在底边上存在一点，使得，满足平面，
证明：过作交于，连接，
，

，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面，
平面，此时有．（12分）

【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了学生转化的能力．属于中档题．
20．（12分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：
汽车型号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
回访客户（人数）
250
100
200
700
350
满意率
0.5
0.5
0.6
0.3
0.2
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．
（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
（Ⅱ）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；
（Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示不满意．写出方差，，，，的大小关系．
【分析】（Ⅰ）利用样本中的回访客户的总数与满意的客户人数求出对应的概率值．
（Ⅱ）根据题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
（Ⅲ）由两点分布的方差公式计算方差，，，，的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件．
由题意知，样本中的回访客户的总数是，
满意的客户人数是，
故所求概率为．
（Ⅱ），1，2．
设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件，
“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件．
根据题意，（A）估计为0.5，（B）估计为0.2，与相互独立．
所以；；
（A）（B）．
所以的分布列为：

0
1
2

0.4
0.5
0.1
所以的期望．
（Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户满意，
“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示，，，，型号汽车让客户不满意．
则，，，
，．
方差，，，，的大小关系为：．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的计算问题，也考查了方差计算问题，以及古典概型、相互独立事件概率计算问题，是中档题．
21．（12分）已知直线过坐标原点且与圆相交于点，，圆过点，且与直线相切．
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）若圆心在轴正半轴上面积等于的圆与曲线有且仅有1个公共点．
求出圆标准方程；
已知斜率等于的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，求的最小值及此时直线的方程．
【分析】（1）设，根据列出方程整理即可；
（2）利用导数表示出曲线的斜线斜率，利用，列出方程解出参数即可；
联立方程，利用根与系数关系分别表示出，，进而表示出，利用换元法以及基本不等式求出其最小值以及对应的直线方程．
【解答】解：（1）设，由题意得，，所以，
因为圆的半径为，，
所以，
整理可得的轨迹方程为；
（2）由（1）知，曲线为，设，则，
设圆与曲线的公共点为，，
则曲线在的切线斜率，
由题意，直线与圆相切于点，设圆的标准方程为，
则直线的斜率，
因为，所以，即，
又因为，即，所以，
令，则，所以，即，
解得，所以，，
故圆的标准方程为：；
设，，，，直线，
联立，则，所以，，
所以，
又因为，
则，
由于与曲线，圆均有两个不同的交点，
所以，解得，令，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以当时，的最小值为，
此时直线的方程为：
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查线段比值的最小值及相应的直线的斜率的求法，考查抛物线、直线、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22．（12分）已知函数，且．
（1）求实数的值，并判断在上的单调性；
（2）对确定的，求在，上的零点个数．
【分析】（1）对求导，由，即可求出，利用导数与函数单调性的关系，即可判断在上的单调性；
（2）对求导，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，由零点存在定理即可判断零点个数．
【解答】解：（1）的定义域为，，
所以，所以，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
又，所以当时，，
所以在上单调递增．
（2），，
因为在，上单调递增，
在，上单调递增，
所以在，上单调递增，
又，
，
由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，，使得，
从而当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
在，上的最小值，
，
由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，，使得，
从而当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
，
在，上的最小值，
由零点存在定理及的单调性，知在，上有且仅有一个零点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在定理的应用，考查运算求解能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 14:13:01；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394