2020-2021学年江苏省南京一中高二(下)期中数学试卷
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一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知为虚数单位,复数满足,则
A. B. C. D.
2.(5分)质点运动规律,则在时间,△,相应的平均速度等于
A.△ B. C.△ D.△
3.(5分)如图,空间四边形中,,点为的中点,点在线段上,且,则
A. B. C. D.
4.(5分)2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛.现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案的种数为
A.12 B.24 C.36 D.48
5.(5分)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数,则
A.5050 B.4851 C.4950 D.5000
6.(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人与下三人等,问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?” “钱”是古代一种重量单位),这个问题中戊所得为
A.钱 B.钱 C.钱 D.钱
7.(5分)函数的部分图象大致为
A. B.
C. D.
8.(5分)定义方程的实数根叫做函数的“保值点”.如果函数与函数的“保值点”分别为,,那么和的大小关系是
A. B. C. D.无法确定
二、多项选择题:本大题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,选错得0分,部分选对得2分.
9.(5分)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质,下列函数中具有性质的是
A. B. C. D.
10.(5分)在的展开式中,下列说法正确的有
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为0
C.系数最大的项为第4项和第5项
D.存在常数项
11.(5分)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.则
A.某学生从中选3门,共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法
D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法
12.(5分)已知为坐标原点,,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线右支上,则下列结论正确的有
A.若,则双曲线的离心率
B.若是面积为的正三角形,则
C.若为双曲线的右顶点,轴,则
D.若射线与双曲线的一条渐近线交于点,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若抛物线上的点到焦点的距离为10,则到轴的距离是 .
14.(5分)函数在上单调递增,则实数的取值范围为 .
15.(5分)已知复数对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位)
甲:;乙:;丙:;丁:.
在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数 .
16.(5分)三封信随机放入两个不同的信箱中,共有种方法, ;在的展开式中,项的系数为 (用数字作答)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数,
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)若对,恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.
问题:已知等差数列的前项和为,,_____,若数列满足,求数列的前项和.
19.(12分)为了了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表:
时间
人数
学生类别
,
,
,
,
,
,
性别
男
6
9
10
10
9
4
女
5
12
13
8
6
8
学段
初中
8
11
11
10
7
高中
(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在,的概率;
(2)设参加公益劳动时间在,的学生中抽取3人进行面谈.记为抽到高中的人数,求随机变量的概率分布.
20.(12分)如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,平面平面,,分别为,的中点,,在棱上且满足,连接,.
(1)证明:平面;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
21.(12分)已知椭圆的离心率为,过椭圆的左、右焦点,分别作倾斜角为的两条直线,且这两条直线之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,过点作与轴垂直的直线与椭圆交于点,求证:直线过定点.
22.(12分)已知函数为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若为整数,函数恰好有两个零点,求的值.
2020-2021学年江苏省南京一中高二(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知为虚数单位,复数满足,则
A. B. C. D.
【分析】由虚数单位的运算性质化简等式右边,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得.
【解答】解:由,
得,
故选:.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位的运算性质,是基础题.
2.(5分)质点运动规律,则在时间,△,相应的平均速度等于
A.△ B. C.△ D.△
【分析】利用平均变化率的公式,代入数据,计算可求出平均速度.
【解答】解:根据平均变化率的公式,
则在时间,△平均速度为△,
故选:.
【点评】本题考查函数的平均变化率公式,注意平均速度与瞬时速度的区别.
3.(5分)如图,空间四边形中,,点为的中点,点在线段上,且,则
A. B. C. D.
【分析】根据条件可得出,然后代入进行向量的数乘运算即可.
【解答】解:为的中点,点在线段上,且,且,
,,
.
故选:.
【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算,考查了计算能力,属于基础题.
4.(5分)2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛.现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案的种数为
A.12 B.24 C.36 D.48
【分析】根据题意,按小张或小赵是否入选分2种情况讨论,①小张、小赵只有一人选,②若小张、小赵都入选,分别计算其情况数目,由加法原理,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2种情况讨论,
①若小张、小赵只有一人选,则有选法;
②若小张、小赵都入选,则有选法,
共有选法种,
故选:.
【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于基础题.
5.(5分)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数,则
A.5050 B.4851 C.4950 D.5000
【分析】本题考查二项展开式系数,第行第个数应为
【解答】解:依据二项展开式可知,第行第个数应为,
故第100行第3个数为
故选:.
【点评】本题考查二项展开式的基础知识,属于基础题.
6.(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人与下三人等,问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?” “钱”是古代一种重量单位),这个问题中戊所得为
A.钱 B.钱 C.钱 D.钱
【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决.
【解答】解:由题意,可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为,,,,.
则,,,,成等差数列,设公差为.
,
.
整理上面两个算式,得:
,
解得,
.
故选:.
【点评】本题主要考查将实际问题转化数学问题并加以解决的能力,以及等差数列知识点的掌握程度.本题属基础题.
7.(5分)函数的部分图象大致为
A. B.
C. D.
【分析】根据题意,由函数的解析式求出的值,分析选项排除,又由当时,,排除,即可得答案.
【解答】解:根据题意,函数,则,
即函数图像与轴交点在轴下方,排除,
当时,,排除,
故选:.
【点评】本题考查函数的图像分析,注意特殊值的应用,属于基础题.
8.(5分)定义方程的实数根叫做函数的“保值点”.如果函数与函数的“保值点”分别为,,那么和的大小关系是
A. B. C. D.无法确定
【分析】根据新定义,求出方程与的实数根,,然后利用反证法进行判断求解即可.
【解答】解:由题意可得,,,
所以,,
假设,则,则,
所以,
所以,则,这与矛盾
故假设不成立,所以,
故.
故选:.
【点评】本题考查了新定义问题,解决此类问题,关键是读懂题意,理解新定义的本质,把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中,运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可,属于中档题.
二、多项选择题:本大题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,选错得0分,部分选对得2分.
9.(5分)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质,下列函数中具有性质的是
A. B. C. D.
【分析】由题意可得具有性质,则存在,,使得.对选项一一分析,即可得到结论.
【解答】解:由题意函数具有性质,则存在,,使得.
对于选项,的导数为,存在,,使得;
对于选项,的导数为,不存在,,使得;
对于选项,的导数,不存在,,使得;
对于选项,的导数为,存在,,使得.
综上,具有性质的函数为.
故选:.
【点评】本题考查新定义的理解和应用,考查运算能力,属于基础题.
10.(5分)在的展开式中,下列说法正确的有
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为0
C.系数最大的项为第4项和第5项
D.存在常数项
【分析】利用二项式定理以及展开式的通项,赋值法对应各个选项逐个判断即可.
【解答】解:选项:所有项的二项式系数和为,故正确;
选项:令,则,所以所有项的系数的和为0,故正确;
选项:二项式的展开式的通项为,
第四项为,第五项为,
显然第五项的系数最大,故错误;
选项:令,解得,故不存在常数项,故错误;
故选:.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,涉及到二项式系数和以及展开式的通项的应用,考查了学生的运算能力,属于中档题.
11.(5分)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.则
A.某学生从中选3门,共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法
D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法
【分析】根据题意,依次分析选项中计算是否正确,综合即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于,某学生从中选3门,6门中选3门共有种,故错误;
对于,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有种排法,故错误;
对于,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析:将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有种排法,故正确;
对于,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有种排法,若课程“乐”不排在最后一周,
有种排法,则共有种排法,故正确.
故选:.
【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题.
12.(5分)已知为坐标原点,,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线右支上,则下列结论正确的有
A.若,则双曲线的离心率
B.若是面积为的正三角形,则
C.若为双曲线的右顶点,轴,则
D.若射线与双曲线的一条渐近线交于点,则
【分析】可得的中垂线与双曲线有交点,结合离心率公式,可判断;由等边三角形的性质和余弦定理,求得,由双曲线的定义和,,的关系,可判断;求得,,可判断;由三角形的三边关系和双曲线的定义,可判断.
【解答】解:对于,因为,所以的中垂线与双曲线有交点,即有,解得,故正确;
对于,因为是面积为的正三角形,所以,
在,,
所以,故,故正确;
对于,因为为双曲线的右顶点,则,又轴,则,所以,故错误;
对于,由,所以,故正确.
故选:.
【点评】本题考查双曲线的定义和性质,以及三角形的余弦定理和三边的关系,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若抛物线上的点到焦点的距离为10,则到轴的距离是 9 .
【分析】根据抛物线的性质得出到准线的距离为10,故到轴的距离为9.
【解答】解:抛物线的准线为,
点到焦点的距离为10,
点到准线的距离为10,
点到轴的距离为9.
故答案为:9.
【点评】本题考查了抛物线的性质,属于基础题.
14.(5分)函数在上单调递增,则实数的取值范围为 , .
【分析】求导,根据导数与函数单调性的关系,即可求得的取值范围.
【解答】解:由,求导,,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在单调递减,
由题意可知,,,,
即,且,
解得,,
故答案为:,.
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系,以及函数单调性的应用,考查转化思想和计算能力,属于中档题.
15.(5分)已知复数对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位)
甲:;乙:;丙:;丁:.
在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数 .
【分析】由题意可设,分别求出甲、乙、丙、丁的结果,再根据有且只有两个人的陈述正确,可推断出甲丁正确,从而求出,的值,得到复数.
【解答】解:由题意可设,
,
,,,,
丙丁不可能同时正确,乙丁不可能同时正确,且甲、乙、丙可以知二推一,
甲丁正确,
此时,,,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了简单的合情推理,考查了复数的运算,是高考新题型,属于基础题.
16.(5分)三封信随机放入两个不同的信箱中,共有种方法, 8 ;在的展开式中,项的系数为 (用数字作答)
【分析】由题意利用分步计数原理求得,再利用二项展开式的通项公式,求得项的系数.
【解答】解:三封信随机放入两个不同的信箱中,共有种方法,则.
在展开式中,
故项的系数为,
故答案为:8,84.
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,二项展开式的通项公式,属于中档题.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数,
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)若对,恒成立,求实数的取值范围.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)根据函数的单调性求出端点值和极值,从而求出的最小值,得到关于的不等式,求出的范围即可.
【解答】解:(1),
令,解得:或,
令,解得:,
故函数的单调增区间为,,单调减区间为,;
故的极大值为,极小值(3);
(2)由(1)知在,上单调递增,在,上单调递减,在,上单调递增,
又,(3),(3),
,
对,恒成立,
,即,
.
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
18.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.
问题:已知等差数列的前项和为,,_____,若数列满足,求数列的前项和.
【分析】选①,选②,选③,均设公差为,由已知列式求得首项与公差,可得数列的通项公式,代入,求得数列的通项公式,再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解.
【解答】若选①,设公差为,
由,,得,
解得,,
又,,
则,
;
若选②,设公差为,
,,
又,,则,
则,
,,
,
则
;
若选③,
,,即.
又,,
则.
,,
则
.
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和,考查数列的分组求和,考查运算求解能力,是中档题.
19.(12分)为了了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表:
时间
人数
学生类别
,
,
,
,
,
,
性别
男
6
9
10
10
9
4
女
5
12
13
8
6
8
学段
初中
8
11
11
10
7
高中
(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在,的概率;
(2)设参加公益劳动时间在,的学生中抽取3人进行面谈.记为抽到高中的人数,求随机变量的概率分布.
【分析】(1)由图表直接利用随机事件的概率公式求解即可;
(2)的所有可能取值为0,1,2,3,由古典概型概率公式求概率,从而求出分布列.
【解答】解:(1)100名学生中共有男生48名,
其中共有29人参加公益劳动时间在,,
设男生中随机抽取1人,抽到的男生参加公益劳动时间在,的事件为,
则(A);
(2)的所有可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
随机变量的分布列为:
0
1
2
3
.
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查概率求值问题,是中档题.
20.(12分)如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,平面平面,,分别为,的中点,,在棱上且满足,连接,.
(1)证明:平面;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【分析】(1)利用重心的性质,结合条件可得,然后利用县里平行的判定定理证明即可;
(2)以为正交基底,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,然后根据,进行求解,即可求出所求.
【解答】(1)证明:在中,因为,分别为,的中点,,
所以为重心,所以,又,所以.
平面,平面,
平面.
(2)解:因为平面平面,,平面平面,平面,
所以平面,
连结,则,以为正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,0,,,1,,,0,,,0,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,,,
则,取,则,,
所以平面的一个法向量为,,,
所以,,
所以直线和平面所成角的正弦值为.
【点评】本题主要考查了线面平行的判定,以及线面所成角的求法,利用向量法进行求解是解题的关键,同时考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
21.(12分)已知椭圆的离心率为,过椭圆的左、右焦点,分别作倾斜角为的两条直线,且这两条直线之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,过点作与轴垂直的直线与椭圆交于点,求证:直线过定点.
【分析】(1)由两条直线的距离可得,解得,由离心率公式和,,的关系,解得,,可得椭圆方程;
(2)设,,,,直线的方程为,则,,与椭圆方程联立,运用韦达定理,求得直线的方程,由直线恒过定点的求法,可得结论.
【解答】解:(1)因为过椭圆的左右焦点的倾斜角为的两条直线的距离为,
所以,所以,
又因为椭圆的离心率为,解得,,
所以椭圆的方程为;
(2)证明:设,,,,直线的方程为,则,,
因为直线与坐标轴不垂直,
所以直线的方程为,
所以,
由,可得,
所以,,
所以,
所以直线过定点.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及直线和椭圆的位置关系,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
22.(12分)已知函数为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若为整数,函数恰好有两个零点,求的值.
【分析】(1)由题意,,分和两种情况讨论的正负号,即可得单调区间;
(2)由(1)可知,要使得函数恰好有两个零点,则且的极大值应大于0;因为为整数,所以只需验证即可得出结果.
【解答】解(1)由题意,
①若,对,恒成立,在单调递增;
②若,则,当时,,时,,
所以在单调递增,在,单调递减,
(2)由(1)知,若函数恰好有两个零点,则,且在处有极大值,也是最大值;,
,
又为整数且,
当时,且,
当时,且,
当时,且,
当时,且,
故的值为:,,.
【点评】本题考查了含参数的函数单调性的求法,函数的零点,函数的极值等知识点,以及分类讨论的思想方法和灵活解决问题的能力,属于综合题.
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日期:2021/12/1 15:57:07;用户:高中数学12;邮箱:sztdjy76@xyh.com;学号:26722394
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